2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第四講數(shù)列求和學(xué)案新人教版

1、第四講數(shù)列求和知識梳理雙基自測知識點(diǎn)一公式法求和(1)如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：sn_na1d_n2n_.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：sn注意等比數(shù)列公比q的取值情況，要分q1，q1.知識點(diǎn)二分組求和法一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減如若一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可用分組求和法求其前n項(xiàng)和知識點(diǎn)三倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等且等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等

2、差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的知識點(diǎn)四錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的知識點(diǎn)五裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和知識點(diǎn)六并項(xiàng)求和法在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩合并求解，則稱之為并項(xiàng)求和如an是等差數(shù)列，求數(shù)列(1)nan的前n項(xiàng)和，可用并項(xiàng)求和法求解形如an(1)nf(n)類型，可考慮采用兩項(xiàng)合并求解1常見的裂項(xiàng)公式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；()；(6).題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔?/p>

3、打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和為sn.()(2)sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和()(3)當(dāng)n2時(shí)，.()(4)求數(shù)列的前n項(xiàng)和可用分組求和()解析(1)因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1.則其前n項(xiàng)和為sn.(2)因?yàn)閟in21sin289sin22sin288sin23sin2871，所以sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和(3)因?yàn)?(4)因?yàn)閿?shù)列是由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的和數(shù)列，所以求數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用分組求和題組二走進(jìn)教材2(必修5p6

4、1t4改編)sn等于(b)abcd解析由sn得sn得，sn，sn.3(必修5p47b組t4改編)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若an，則s5等于(b)a1bcd解析an，s5a1a2a51.4(必修5p47t4改編)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，前n項(xiàng)和為9，則n(b)a9b99c10d100解析因?yàn)閍n.所以sna1a2a3an(1)()()1.所以19，即10，所以n99.故選b題組三走向高考5(2017課標(biāo)，15,5分)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a33，s410，則_.解析本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算及裂項(xiàng)相消法求和設(shè)公差為d，則ann.前n項(xiàng)和sn12n，2，222.6(2020課標(biāo)，

5、16,5分)數(shù)列an滿足an2(1)nan3n1，前16項(xiàng)和為540，則a1_7_.解析令n2k(kn*)，則有a2k2a2k6k1(kn*)，a2a45，a6a817，a10a1229，a14a1641，前16項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)和s偶517294192，前16項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)和s奇54092448，令n2k1(kn*)，則有a2k1a2k16k4(kn*)a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k1)28146k4k(3k1)(kn*)，a2k1k(3k1)a1(kn*)，a32a1，a510a1，a724a1，a944a1，a1170a1，a13102a1，a15140a1

6、，前16項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)和s奇a1a3a158a12102444701021408a1392448.a17.考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一分組求和法師生共研例1 (1)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為(c)a2nn21b2n1n21c2n1n22d2nn2(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn159131721(1)n1(4n3)，則s15s22s31的值是(d)a13b76c46d76解析(1)sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.(2)因?yàn)閟n159131721(1)n1

7、(4n3)，所以s15(15)(913)(4953)57(4)75729，s22(15)(913)(1721)(8185)41144，s31(15)(913)(1721)(113117)12141512161，所以s15s22s3129446176.名師點(diǎn)撥分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和變式訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an2nn，則其前20項(xiàng)和為(c)a379b399c419d439(2)(2021信陽模擬)已知數(shù)列an中

8、，a1a21，an2則數(shù)列an的前20項(xiàng)和為(c)a1 121b1 122c1 123d1 124解析(1)令數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s20a1a2a3a202(12320)420419.(2)由題意知，數(shù)列a2n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列a2n1是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前20項(xiàng)和為10121 123.考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法多維探究角度1形如bn(an為等差數(shù)列)型例2 sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an0，a2an4sn3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解析(1)由a2an4sn3，可知a2an14sn13.可得aa2(an1an)

9、4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，則tnb1b2bn.角度2形如an型例3 (2021西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(4,2)，令an，nn.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s2 022等于(c)a1b1c1d1解析由f(4)2可得42，解得，則f(x)x.an，s2 022a1a2a3a2 022()()()()1.角度3形如bn(an為等比數(shù)列)型例4 (2021

10、遼寧凌源二中聯(lián)考)已知數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為sn，tn，且an0,6sna3an，nn*，bn，若對任意的nn*，ktn恒成立，則k的最小值是(c)ab49cd解析當(dāng)n1時(shí)，6a1a3a1，解得a13或a10(舍去)，又6sna3an，6sn1a3an1，兩式作差可得6an1aa3an13an，整理可得(an1an)(an1an3)0，結(jié)合an0可得an1an30，an1an3，故數(shù)列an是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，an3(n1)33n，則bn，tn，k.故選c名師點(diǎn)撥裂項(xiàng)相消法求和在歷年高考中曾多次出現(xiàn)，命題角度凸顯靈活多變在解題中，要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列an的通

11、項(xiàng)公式，達(dá)到求解的目的(1)直接考查裂項(xiàng)相消法求和解決此類問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則，.(2)與不等式相結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和解決此類問題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式變式訓(xùn)練2(1)(角度1)(2021衡水中學(xué)調(diào)研卷)在數(shù)列an中，an，又bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn_.(2)(角度2)求和s(a)a5b4c10d9(3)(角度3)an是等比數(shù)列，a2，a5，bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為

12、(a)abcd解析(1)由已知得an(12n)，所以bn4，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn44.(2)s5，故選a(3)a5a2q3，q3，q，a11，ann1，bnb1b2b3bn.故選a考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法師生共研例5 (2019天津)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nn*)解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意，得解得故an33(n1)3n，bn33n13n.所以，an的通項(xiàng)公式為an3n，bn的通項(xiàng)公式為bn3n.(2)a1c

13、1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)記tn131232n3n，則3tn132233n3n1，得，2tn332333nn3n1n3n1.所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26tn3n23(nn*)名師點(diǎn)撥用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的模板第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列anbn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn(公比q)的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則可用此法求和第二步：(乘公比)設(shè)anbn的前n項(xiàng)和為tn，然后兩邊同乘以q.第三步：(錯(cuò)位相減)乘以公比q后，向后錯(cuò)開一位，使含有qk(kn*)的項(xiàng)對齊，然

14、后兩邊同時(shí)作差第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和化簡，從而表示出tn.用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法(2)在寫出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn”的表達(dá)式(3)“snqsn”化簡的關(guān)鍵是化為等比數(shù)列求和，一定要明確求和的是n項(xiàng)還是n1項(xiàng)，一般是n1項(xiàng)(4)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論求解變式訓(xùn)練3(1)12x3x2nxn1_.(2)(2020課標(biāo)，17,12分)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，a

15、1為a2，a3的等差中項(xiàng)求an的公比；若a11，求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和解析(1)當(dāng)x0時(shí)，12x3x2nxn11；當(dāng)x1時(shí)，12x3x2nxn1123n，當(dāng)x0且x1時(shí)解法一：記sn12x3x2nxn1，則xsnx2x2(n1)xn1nxn，兩式相減得：(1x)sn1xx2xn1nxnnxn，sn解法二：12x3x2nxn1(xx2x3xn)，綜上可知12x3x2nxn1(2)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q11(舍去)，q22.故an的公比為2.記sn為nan的前n項(xiàng)和由(1)及題設(shè)可得，an(2)n1.所以sn12(2)n(2)n1，

16、2sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以sn.考點(diǎn)四倒序相加法師生共研例6 設(shè)f(x)，若sfff，則s_.分析利用f(x)f(1x)1求解解析f(x)，f(1x).f(x)f(1x)1.sfff，sfff，得2s2 021.s.名師點(diǎn)撥倒序相加法應(yīng)用的條件與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和相加的方法求解變式訓(xùn)練4設(shè)f(x)，則fff(1)f(2)f(2 022)_.解析f(x)，f(x)f1.令sfff(1)f(2)f(2 022)則sf(2 022)f(2 021)f(1)ff.2s4 043，s.名師講壇素養(yǎng)提升數(shù)列的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用例7 一次展覽會(huì)上展出一套由寶石串聯(lián)制成的工藝品，如圖所示若按照這種規(guī)律依次增加一定數(shù)量的寶石，則第5件工藝品所用的寶石數(shù)為_66_顆；第n件工藝品所用的寶石數(shù)為_2n23n1_.(結(jié)果用n表示)分析設(shè)第n個(gè)圖有寶石an顆，逐項(xiàng)研究，尋找規(guī)律解析解法一：設(shè)第n個(gè)圖有寶石an顆，則a16，a26541，a3a2542625(12)4，a4a3543635(123)4，a5a4544645(1234)466，an6(n1)5(123(n1)42n23n1.解法二：設(shè)第n個(gè)圖有an顆寶石，則a