兩角和與差的正弦余弦正切公式

1、.兩角和與差的正弦余弦正切公式教學(xué)目標(biāo)1能根據(jù)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦公式，并靈活運用(重點)2能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式(難點)3掌握兩角和與差的正切公式及變形應(yīng)用(難點、易錯點)基礎(chǔ)初探教材整理1兩角和與差的余弦公式閱讀教材P128“思考”以下至“探究”以上內(nèi)容，完成下列問題.名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R兩角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，Rcos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_【解析】逆用兩角和的余弦公式可得cos 75co

2、s 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0教材整理2兩角和與差的正弦公式閱讀教材P128“探究”以下內(nèi)容，完成下列問題1公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sin cos cos sin 、R兩角差的正弦S()sin()sin cos cos sin 、R2.重要結(jié)論輔助角公式y(tǒng)asin xbcos xsin(x)(a，b不同時為0)，其中cos ，sin 判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)對于任意，R，sin()sin sin

3、都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解：(1).根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得(2).當(dāng)45，0時，sin()sin sin .(3).當(dāng)30，30時，sin()sin sin 成立(4).因為sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正確【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3兩角和與差的正切公式閱讀教材P129“探究”以下至“例3”以上內(nèi)容，完成下列問題名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1兩角差的正切T()t

4、an()，k(kZ) 且tan tan 1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立()(2)對任意，R，tan()都成立()(3)tan()等價于tan tan tan()(1tan tan )()解：(1).當(dāng)0，時，tan()tantan 0tan ，但一般情況下不成立(2).兩角和的正切公式的適用范圍是，k(kZ)(3).當(dāng)k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)時，由前一個式子兩邊同乘以1tan tan 可得后一個式子【答案】(1)(2)(3)小組合作型靈活應(yīng)用和、差角公式化簡三角函數(shù)式(1)(2016濟寧高一檢測)()ABCD(2)化簡求值：；si

5、n(75)cos(45)cos(15)；(2016遵義四中期末)tan 20tan 40tan 20tan 40.(1)化簡求值應(yīng)注意公式的逆用(2)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值解：(1)sin 30.【答案】C(2)原式tan(4575)tan 120.原式.設(shè)15，則原式sin(60)cos(30)cos cos 0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.原式.1公式T()，T()是變形較多的兩個公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示出或求出第三個2化

6、簡過程中注意“1”與“tan ”、“”與“tan ”、“”與“cos ”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化再練一題1化簡求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3).解：(1)原式cos(6116)cos 45.(2)原式sin(1317)sin 30.(3)原式.給值求值(2016普寧高一檢測)已知，0，cos，sin，求sin()的值. 【導(dǎo)學(xué)號：00680069】可先考慮拆角，然后再利用sin()sin()求值解：因為，所以.所以sin.又因為0，所以cos，所以sin()sin()sin.1本題屬于給值求值

7、問題，求解時，關(guān)鍵是從已知角間的關(guān)系入手，分析出已知角和待求角的關(guān)系如本題中巧用()這一關(guān)系2常見角的變換為(1)2()，2()；(2)，；(3)()；(4)()再練一題2已知cos ，tan ，求cos()解：因為，cos ，所以sin .因為，tan ，所以cos ，sin .所以cos()cos cos sin sin .給值求角已知sin ，sin ，且，為銳角，求的值解：sin ，為銳角，cos .又sin ，為銳角，cos .cos()cos cos sin sin .又，0，因此.1求解該類問題常犯的錯誤是對角的范圍討論程度過大(小)，導(dǎo)致求出的角不合題意或者漏解2求角的大小，要

8、解決兩點：(1)確定所求角的范圍，(2)求角的某一三角函數(shù)值，特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值再練一題3若把本例題的條件改為“，且cos()，sin ”，試求角的大小解：，(0，)，由cos()，知sin().由sin ，知cos .sin sin()sin()cos cos()sin .又，.探究共研型輔助角公式的應(yīng)用探究1函數(shù)ysin xcos x(xZ)的最大值為2對嗎？為什么？【提示】不對因為sin xcos xsin.所以函數(shù)的最大值為.探究2函數(shù)y3sin x4cos x的最大值等于多少？【提示】因為y3sin x4cos x5，令cos ，sin ，則y5(sin

9、 xcos cos xsin )5sin(x)，所以函數(shù)y的最大值為5.探究3如何推導(dǎo)asin xbcos xsin(x)公式【提示】asin xbcos x，令cos ，sin ，則asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan 確定，或由sin 和cos 共同確定)當(dāng)函數(shù)ysin xcos x(0x2)取得最大值時，x_.可先用公式S將函數(shù)化為yAsin(x)形式再求最大值對應(yīng)的x值解：函數(shù)為ysin xcos x222sin，當(dāng)0x2時，x，所以當(dāng)y取得最大值時，x，所以x.【答案】1對于形如sin cos

10、，sin cos 的三角函數(shù)式均可利用特殊值與特殊角的關(guān)系，運用和差角正、余弦公式化簡為含有一個三角函數(shù)的形式2在解法上充分體現(xiàn)了角的變換和整體思想，在三角函數(shù)求值化簡的變換過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則再練一題4函數(shù)f(x)sin xcos的值域為()A2，2BC1，1D解：f(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函數(shù)f(x)的值域為，故選B【答案】B構(gòu)建體系1(2016清遠期末)化簡：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()ABCD解：原式sin(2181)sin 60.故選D【答案】D2已知是銳角，sin ，則cos

11、等于() ABCD解：因為是銳角，sin ，所以cos ，所以cos.故選B【答案】B3函數(shù)ysin xcos x的最小正周期是()ABC2D4解：ysin xcos xsin，所以T2.【答案】C4計算_解：tan 451.【答案】15已知，均為銳角，sin ，cos ，求.解：，均為銳角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos cos sin ，.學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)達標(biāo)一、選擇題1若，則(1tan )(1tan )等于()A1B1C2D2解：(1tan )(1tan )1(tan tan )tan tan 1tan()(1tan tan )ta

12、n tan 1tan (1tan tan )tan tan 2.【答案】C2cos sin 化簡的結(jié)果可以是()AcosB2cosCcosD2cos解：cos sin 222cos.【答案】B3(2016北京高一檢測)在ABC中，A，cos B，則sin C等于()ABCD解：因為cos B且0B，所以sin B又A，所以sin Csin(AB)sincos Bcossin B.【答案】A4若sin ，則cos() ABCD解：因為sin ，所以cos ，故coscos cos sin sin .【答案】A5若sin ，tan()1，且是第二象限角，則tan 的值為()ABC7D解：由sin

13、，且是第二象限角，可得cos ，則tan ，所以tan tan()7.【答案】C二、填空題6計算_.解：原式tan(4515).【答案】7若sin()，sin()，則_.解：由題意得sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，得sin cos ，得cos sin ，得2.【答案】2三、解答題8設(shè)方程 12x2x120的兩根分別為，求cos cos sin cos cos sin sin sin 的值解：由題意知，故原式cos()sin()2sin2sin 2sin22.9.如圖311，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于A、B兩點，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為、.圖311(1)求tan()的值；(2)求2的值解：由條件得cos ，cos .，為銳角，sin ，sin .因此tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，又，為銳