數(shù)列綜合問題課件

1、數(shù)列綜合問題 數(shù)列綜合問題一、教材分析一、教材分析: 數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是學習高等數(shù)學的基礎，在高考中占有重要的地位. 考綱要求:“理解數(shù)列的概念, 了解通項公式的意義, 了解遞推公式, 掌握等差數(shù)列, 等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式, 并能解決簡單的問題.” 教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后, 因為數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù), 這樣安排既有利于認識數(shù)列的本質(zhì), 也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解. 數(shù)列綜合以數(shù)列為引線和依托, 結合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識, 題型新穎, 解法靈活, 能有效地考查學生的思維能力、創(chuàng)新意識和實踐能力.、地位與作用、地位與作用數(shù)列綜合問題

2、、重點、難點與關鍵、重點、難點與關鍵 根據(jù)高考考試說明的要求,結合對歷屆高考試題的分析, 本節(jié)內(nèi)容的教學重點是: 利用數(shù)列的通項公式與前項和等有關知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題. 而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關系的綜合性試題, 特別是與不等式的綜合是教學的難點. 從教學實踐來看, 學生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒, 總覺得難以掌握, 因此教學的關鍵是運用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解, 同時注意培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì), 特別是排除萬難的精神.數(shù)列綜合問題 二、高考回顧二、高考回顧 “在知識的交匯點設置能力型問題”是指導高考命題的思想之一. 數(shù)列是高中數(shù)學知識結構的一個重要的交匯點. 數(shù)

3、列綜合題在每年高考中都會重點考查.下面列表對近兩年高考試題作分類統(tǒng)計, 統(tǒng)計如下表: 從上表可以看出, 2004年的15份理科試題中, 每套試題均有一道解答題. 其中處在壓卷題位置的有8道; 2005年的16份理科試題中, 除廣東卷外每套試題均有一道解答題, 其中處在壓卷題位置的有5道. 由此不難得知, 數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容, 其命題熱點是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關系的綜合性試題, 其中, 以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點列為命題載體, 有著高等數(shù)學背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點. 數(shù)列綜合問題 2004年年2005年年全國全國1分奇、偶項的遞推數(shù)列的通項分奇、

4、偶項的遞推數(shù)列的通項等比數(shù)列的公比與前等比數(shù)列的公比與前n n項和項和 全國全國2通項與前通項與前n 項和、等比數(shù)列的判定項和、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國全國3數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國全國4導數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限導數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限 北京北京抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限 上海上海點列、等差數(shù)列、探索性問題點列、等差數(shù)列、探索性問題涉及兩個數(shù)列的應用性問題涉及兩個數(shù)列的應用性問題 天津天津函數(shù)迭代、數(shù)列的

5、通項與極限函數(shù)迭代、數(shù)列的通項與極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限 重慶重慶數(shù)列不等式、數(shù)列項大小比較數(shù)列不等式、數(shù)列項大小比較數(shù)學歸納法、數(shù)列不等式數(shù)學歸納法、數(shù)列不等式 遼寧遼寧函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明 山東山東同全國卷同全國卷1導數(shù)、等比數(shù)列的判定導數(shù)、等比數(shù)列的判定 江蘇江蘇數(shù)列前項的和、探索性問題數(shù)列前項的和、探索性問題數(shù)列不等式的證明數(shù)列不等式的證明 浙江浙江點列問題、等比數(shù)列的判定點列問題、等比數(shù)列的判定點列問題、等差數(shù)列的判定點列問題、等差數(shù)列的判定 福建福建涉及兩個數(shù)列的應用性問題涉及兩個數(shù)列的

6、應用性問題遞推公式、數(shù)列不等式遞推公式、數(shù)列不等式 湖北湖北遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限 湖南湖南解析幾何、遞推數(shù)列的綜合解析幾何、遞推數(shù)列的綜合應用探索性問題、數(shù)列不等式應用探索性問題、數(shù)列不等式 廣東廣東三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題 無無 江西江西同全國卷同全國卷1數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明 數(shù)列綜合問題三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略 由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強、由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強、區(qū)分度高區(qū)分度高, 因此大多數(shù)同學

7、解此類問題時思維因此大多數(shù)同學解此類問題時思維常常受阻常常受阻, 甚至無從下手甚至無從下手, 下面我結合近幾年下面我結合近幾年的高考題的高考題, 就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點探討一點探討.數(shù)列綜合問題 1、數(shù)列各部分知識的綜合、數(shù)列各部分知識的綜合 求解策略求解策略 解純數(shù)列綜合題,要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關性質(zhì)求解.本題的關鍵是注意到akn的雙重身份既是等比數(shù)列的第n項, 又是等差數(shù)列的第kn項,先求出通項kn,再求出其前n項的和. 例1. 已知an為等差數(shù)列(公差d), an中的部分項組成的數(shù)列ak1,ak2,，akn,為等比數(shù)列，其中k1=1,

8、k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+kn 的值.數(shù)列綜合問題例例2. 已知函數(shù)已知函數(shù) 是定義在是定義在R上的不恒為零的函數(shù)上的不恒為零的函數(shù), 且且對于任意的對于任意的 , 都滿足都滿足 若若 , 求證求證:數(shù)列數(shù)列 是等比數(shù)列是等比數(shù)列. )(xfRba,).()()(abfbafbaf)()2(, 2) 2(*Nnnfafnn na2 2、數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)列與函數(shù)的綜合 分析一分析一: 由于已知條件只有函數(shù)關系式和由于已知條件只有函數(shù)關系式和 的表達式的表達式, 要要求證數(shù)列求證數(shù)列 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, 關鍵是求出關鍵是求出 , 可以嘗試數(shù)可以嘗試數(shù)學歸納法學歸納法.證法一

9、證法一: 由已知可得由已知可得: 猜想猜想: , 用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明(略略).na na)2(nf,),(3)(),(2)()()(232afaafaafaafaafaf)()(1afnaafnn數(shù)列綜合問題分析三分析三: 設法將設法將 轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三證法三: 所以所以, 即即 是公差為是公差為 首項為首項為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列.)2(nf,2)2 (2) 2 (2)2 (2)22 ()2 (1111nnnnnnfffff, 12)2(2)2(11nnnnffnnf2)2(, 1)21(2 f 分析二分析二: 將所給函數(shù)關系式適當變形將所給函數(shù)關系式適

10、當變形, 根據(jù)其形式特點根據(jù)其形式特點 構造另一個函數(shù)構造另一個函數(shù), 設法用此函數(shù)求出設法用此函數(shù)求出 . 證法二證法二: 當當 時時, 由由 可得可得: 令令 則則 )(naf0ba)()()(abfbafbafbbfaafababf)()()(,)()(xxfxg).()()()()(nnnagaafbgagabg數(shù)列綜合問題 求解策略求解策略 解數(shù)列與函數(shù)的綜合題解數(shù)列與函數(shù)的綜合題, 一般要一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系聯(lián)系. 本題是一道已知抽象函數(shù)關系本題是一道已知抽象函數(shù)關系, 利用函利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題數(shù)迭

11、代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題. 所提供的所提供的三種證法中三種證法中, 證法一思路自然證法一思路自然, 但較為繁瑣但較為繁瑣; 證證法二技巧性強法二技巧性強; 證法三思維跨度大證法三思維跨度大, 但三種證但三種證法都體現(xiàn)了一個不變的事實法都體現(xiàn)了一個不變的事實: 充分應用已知條充分應用已知條件變形轉(zhuǎn)化件變形轉(zhuǎn)化, 根據(jù)其形式特點構造新的數(shù)列根據(jù)其形式特點構造新的數(shù)列, 然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解.數(shù)列綜合問題3、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列與不等式的綜合 法一法一: (數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法) 當當n=1n=1時時, , 不等式成立不等式成立. .假設假設n=kn=k時時, , 成立

12、成立. . 當當n=k+1n=k+1時時, , 即即n=k+1n=k+1時時, , 成立成立. .綜上綜上, , 可知可知 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n成立成立., 11221a12 kak. 1) 1(21322122221kakaaakkkk1) 1( 21kak12 nan例例3. (2004年重慶卷年重慶卷)設數(shù)列設數(shù)列 滿足滿足 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù) 成立；成立； na).3 , 2 , 1( ,1, 211naaaannn12) 1 (nan證明n.,), 2 , 1( ,)2(1并說明理由的大小與判斷令nnnnbbnnab數(shù)列綜合問題法二法二: (數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法) 當當n

13、=1n=1時時, ,不等式成立不等式成立. .假設假設n=kn=k時時, , 成立成立. . 當當n=k+1n=k+1時時, , 由函數(shù)由函數(shù) 的單調(diào)性和歸納假設有的單調(diào)性和歸納假設有 . .只需證只需證: ,: ,即證即證只需只需 , , 顯然成立顯然成立. .即即n=k+1n=k+1時時, ,結論成立結論成立. .因此因此, , 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n成立成立.12 kak)1(1)(xxxxf1211211kkaaakkk3212112kkk32)12112(2kkk0121k12 nan法三法三: 由遞推公式得由遞推公式得, , ,將上述各式相加并化簡得將上述各式相加并化簡得 (n

14、 )又又n=1時時, 顯然成立顯然成立. 所以所以 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n成立成立.2121212nnnaaa,12222221nnnaaa.12212122aaa1222) 1( 2211) 1( 222121212nnnaanaann212nan數(shù)列綜合問題2)解法一解法一: 1) 12 () 1( 21)1211 (1)11 (1211nnnnnnnnnananabbnnnnn., 0. 12141)21(12) 1(212nnnbbbnnnnn故由解法二解法二: 又又 .0)1121(11)121212(11nnnnnnn,221nnbb, 0nb.1nnbb)12 (11) 21

15、(11122222221221naannaaannanabbnnnnnnnnn數(shù)列綜合問題 求解策略求解策略 證明數(shù)列不等式問題證明數(shù)列不等式問題, , 一般可采用數(shù)一般可采用數(shù)學歸納法、分析法、綜合、比較法、放縮法等方法來證學歸納法、分析法、綜合、比較法、放縮法等方法來證明明. . 有時要綜合使用幾種方法有時要綜合使用幾種方法. .其中其中(1)(1)中證法一、證法中證法一、證法二都利用了數(shù)學歸納法二都利用了數(shù)學歸納法, , 證法一、證法三都將目標鎖定證法一、證法三都將目標鎖定為證明為證明 去掉了根式去掉了根式, , 利用放縮法得證利用放縮法得證; ;證法二證法二, , 看到遞推關系與函數(shù)看

16、到遞推關系與函數(shù) 的關系的關系, , 利用函數(shù)單利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證調(diào)性和分析法得證. . 證法三利用迭加證法三利用迭加, , 變更了遞推關系變更了遞推關系, , 這是對遞推公式常用的變形方式之一這是對遞推公式常用的變形方式之一. (2). (2)中利用比較中利用比較法法, , 方法一是作商法方法一是作商法, , 方法二并不是直接作差方法二并不是直接作差, , 而是利而是利用平方差用平方差, , 消除了根式消除了根式, , 簡化了運算簡化了運算, , 在不等式的證明在不等式的證明中中, , 觀察式子的結構特征再合理地進行放縮觀察式子的結構特征再合理地進行放縮, , 是成功的是成功的關關

17、鍵鍵. 122 nanxxxf1)(數(shù)列綜合問題 求解策略求解策略 數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體, ,以以數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關知識數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關知識聯(lián)系在一起聯(lián)系在一起. . 該類問題往往以曲線上的點的無限運動為背該類問題往往以曲線上的點的無限運動為背景景, , 解決問題的關鍵是尋求點的坐標間的相互聯(lián)系解決問題的關鍵是尋求點的坐標間的相互聯(lián)系, , 得到得到遞推關系遞推關系, ,再運用數(shù)列知識進行求解再運用數(shù)列知識進行求解. .例例4.4.（20042004浙江浙江) )OBCOBC的三個頂點坐標

18、分別為的三個頂點坐標分別為(0,0)(0,0)、(1,0)(1,0)、(0,2),(0,2),設設P P1 1為線段為線段BCBC的中點的中點, , 為線段為線段COCO的中點的中點, , 為線段為線段 的中點的中點, ,對于每一個正整數(shù)對于每一個正整數(shù)n, n, 為線段為線段的中點的中點, ,令令 的坐標為的坐標為 , ., .(1)(1)求求 (2)(2)證明證明(3)(3)若記若記 證明證明 是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .,444Nnyybnnn nb4 4、數(shù)列與解析幾何的綜合、數(shù)列與解析幾何的綜合2P3P1OP3nP1nnPPnP),(nnyx121nnnyya2ny;,321naaaa

19、及;,414Nnyynn數(shù)列綜合問題5 5、數(shù)列應用問題、數(shù)列應用問題 例例5.(20015.(2001年全國卷年全國卷) )從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā), , 某地某地 投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設, , 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). . 根據(jù)根據(jù) 規(guī)劃規(guī)劃, , 本年度投入本年度投入800800萬元萬元, ,以后每年投入將比上年減少以后每年投入將比上年減少 , , 本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400400萬元萬元, , 由于該項建設對旅由于該項建設對旅 游業(yè)的促進作用游業(yè)的促進作用, , 預計今后的旅游業(yè)每年會比上年

20、增加預計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加 (1)(1)設年設年n n內(nèi)內(nèi)( (本年度為第一年本年度為第一年) )總投入為總投入為 萬元萬元, ,旅游總收入旅游總收入 為為 萬元萬元, , 寫出寫出 的通項公式的通項公式; ; (2) (2)至少經(jīng)過幾年至少經(jīng)過幾年, , 旅游業(yè)的總收入才能超過總投入旅游業(yè)的總收入才能超過總投入? ?51.41nanbnnba , 求解策略求解策略 解數(shù)列應用題的關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)解數(shù)列應用題的關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題列問題( (等差、等比數(shù)列、遞推關系模型等差、等比數(shù)列、遞推關系模型), ), 然后利用相關然后利用相關知識求解知識求解. . 解題時首先

21、要讀懂題目解題時首先要讀懂題目, , 理解題意理解題意, , 對陌生的對陌生的背景、文字敘述比較長的題目背景、文字敘述比較長的題目, , 要充滿信心要充滿信心, , 從問題中盡從問題中盡可能多地獲取信息可能多地獲取信息, ,大膽聯(lián)想大膽聯(lián)想, ,合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題. .數(shù)列綜合問題 總之總之, , 數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點的交匯不等式、幾何等知識點的交匯, , 因此要加因此要加強數(shù)學知識的綜合運用強數(shù)學知識的綜合運用, , 要有意識的運用要有意識的運用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分

22、類討論的思想來探求解題思路想來探求解題思路. . 同時要鼓勵合理的猜同時要鼓勵合理的猜想、要重視數(shù)學歸納法的運用想、要重視數(shù)學歸納法的運用. . 數(shù)列綜合問題四、教法分析四、教法分析 新的課程標準指出, 教學過程也是學生的認識過程, 學生在教學活動中始終處于主體地位, 教師則應成為學習活動的促進者, 而非單純的知識傳授者, 其基本任務也就在于促進和增強學生的數(shù)學學習過程. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點和學生的認知規(guī)律, 我采用: 問題探究式、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)式等方法進行教學, 同時采用討論式組織課堂教學. 在教學中我都是先提出問題, 讓學生觀察分析、自主探索、歸納總結, 從而真正使學生養(yǎng)成獨立思考, 仔細觀察, 認真分析, 嚴謹推理的學習習慣, 并提高他們的自學能力與探索意識.同時鼓勵學生相互交流，從而促使學生真正成為自覺投入且積極建構的學習活動中的主體.數(shù)列綜合問題五、評價分析五、評價分析 本節(jié)內(nèi)容的設計從教學內(nèi)容的引入、展開、揭示等方面出發(fā), 教給學