函數(shù)的連續(xù)性與間斷點65208PPT課件

1、1第1頁/共20頁2第2頁/共20頁3上面的定義用 “ ”語言表達如下： )()(lim00 xfxfxx就稱函數(shù) )(xf在點 連續(xù)。 定義定義2 2 設(shè)函數(shù) )(xfy 在點 0 x的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù) )(xf當(dāng) 0 xx 時的極限存在， ),(0 xf即 0 x處的函數(shù)值 且等于它在點 此定義經(jīng)常用來判斷 函數(shù)在某點的連續(xù)性 定義定義3 3 設(shè)函數(shù) )(xfy 在點 0 x的某一鄰域內(nèi)有定義，若對于 , 0 , 0 使得對于適合不等式 0 xx的一切 ,x對應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 )()(0 xfxf就稱函數(shù) 在點 連續(xù)。 )(xf)(xf第3頁/共20頁4第4頁/共20頁5在

2、區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)， 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。 如函數(shù) xyxyxyln, 1,sin3是連續(xù)函數(shù)。但 xyxy1,tan不是連續(xù)函數(shù)。 第5頁/共20頁6證明：函數(shù)xysin是連續(xù)函數(shù)。證：),(x設(shè) 當(dāng)x有增量 x 時，則 xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx 12cosxx .2sin2sin)sin(xxxxy 又因為當(dāng)0 時， sinxxxxxxy 222sin2sin)sin(0當(dāng)0 x 時， 由夾逼準則得. 0y 這

3、就證明了 xysin在),(內(nèi)連續(xù)。 第6頁/共20頁7)(xf則函數(shù) 在點 0 x不連續(xù)， 0 x稱為函數(shù) )(xf的不連續(xù)點 而點 設(shè)函數(shù) )(xf在點 0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義。 有下列情形之一： （1）在0 x沒有定義； （2） 雖在 有定義，但 )(lim0 xfxx不存在； （3） 雖在 有定義，且 )(lim0 xfxx存在，但 );()(lim00 xfxfxx或間斷點。 )(xf若函數(shù) 第7頁/共20頁8例1 函數(shù) 112xxy在點 1x沒有定義， 2)1(lim11lim121xxxxx 令 1x時, 2y則該函數(shù)在 1x處連續(xù)。 所以， 1x稱為該函數(shù)的可去間斷點可去間

4、斷點。 。Oxy1x為函數(shù)的間斷點。 所以 第8頁/共20頁9例2 函數(shù) ,21,)(xxfy. 1, 1xx, 1lim)(lim11xxfxx而.21)1(fxyO。.改變函數(shù)的定義，令 1)1(f則該函數(shù)在 1x成為連續(xù)。 1x也稱為該函數(shù)的可去間斷點可去間斷點。 xyO。.第9頁/共20頁10例3 函數(shù), 1, 0, 1)(xxxfy. 0, 0, 0 xxxxyO。 1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx所以 )(lim0 xfx不存在。 0 x稱為 該函數(shù)的跳躍間斷點跳躍間斷點。 第10頁/共20頁11例4 正切函數(shù) xytan在2 x處沒

5、有定義， 所以 2 x是函數(shù) xytan的間斷點。 Oxy2 2 23 xxtanlim2 所以，稱 2 x為函數(shù) xytan的無窮間斷點無窮間斷點。 第11頁/共20頁12第12頁/共20頁13第13頁/共20頁14例6 下列函數(shù)在指出的點處間斷，說明這些間斷點屬于那一類，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。 . 1, 1,3, 1, 14; 0,1cos3;2,tan; 2, 1,2311222xxxxxyxxykkxkxxxyxxxxxy 2,1,0, , 2 第14頁/共20頁15解 2, 1,231122xxxxxy 231lim221xxxx21lim1xxx21x是

6、可去間斷點，屬于第一類間斷點可去間斷點，屬于第一類間斷點。補充定義：. 21yx時時，當(dāng)當(dāng)則該函數(shù)在1x點連續(xù)。0123lim222xxxx231lim222xxxx2x是無窮間斷點，屬于第二類間斷點無窮間斷點，屬于第二類間斷點。第15頁/共20頁16xxkxtanlim ,kkxkxxxy2102,tan 2 1cossinlim0 xxxxxxxtanlim0當(dāng)0k時，所以 0 x是可去間斷點，屬于第一類間斷點可去間斷點，屬于第一類間斷點 補充定義：補充定義： .10yx時時，當(dāng)當(dāng)則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù)。 當(dāng)0k時，則 kx 是無窮間斷點無窮間斷點。 0tanlim2xxkx 所以

7、 2 kx是可去間斷點可去間斷點。屬于第一類 補充定義：補充定義： . 02ykx時，時，當(dāng)當(dāng) 則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù)。第16頁/共20頁17 0,1cos32xxy 時時，當(dāng)當(dāng)0 x函數(shù)在 -1 到 +1 之間變動無限多次， 0 x所以 是振蕩間斷點振蕩間斷點， 屬于第二類間斷點第二類間斷點。 1, 1,3, 1, 14xxxxxy 01lim0101xfx23lim0101xfx則 1x是跳躍間斷點，屬于第一類間斷點跳躍間斷點，屬于第一類間斷點。 第17頁/共20頁18解1,1, 011,1, 01,xxxxxxxx例7 討論函數(shù) xxxxfnnn2211lim)(的連續(xù)性，若有間斷點 判斷其類型。 ,1,1, 11, 0lim2xxxxnn1,1, 01,)(xxxxxxf,1, 11, 01, 111lim22xxxxxnnn第18頁/共20頁19 11lim0101fxfx 11lim0101