概率論知識點總結(jié)經(jīng)典實用

1、概率論知識點總結(jié)第一章 隨機(jī)事件及其概率第一節(jié) 基本概念隨機(jī)實驗：將一切具有下面三個特點：（1）可重復(fù)性（2）多結(jié)果性（3）不確定性的試驗或觀察稱為隨機(jī)試驗，簡稱為試驗，常用 e 表示。隨機(jī)事件：在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件。不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事情，記為。 必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事情，記為。 樣本點：隨機(jī)試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作. 樣本空間：所有樣本點組成的集合稱為樣本空間. 樣本空間用表示. 一個隨機(jī)事件就是樣本空間的一個子集?；臼录吸c集，復(fù)合事件多點集一個隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個樣本點出現(xiàn)。事件的

2、關(guān)系與運算（就是集合的關(guān)系和運算）包含關(guān)系：若事件 a 發(fā)生必然導(dǎo)致事件b發(fā)生，則稱b包含a，記為或。 相等關(guān)系：若且，則稱事件a與事件b相等，記為ab。事件的和：“事件a與事件b至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件a與事件b的和事件。記為 ab。事件的積：稱事件“事件a與事件b都發(fā)生”為a與b的積事件，記為a b或ab。事件的差：稱事件“事件a發(fā)生而事件b不發(fā)生”為事件a與事件b的差事件,記為 ab。用交并補可以表示為?；コ馐录喝绻鸻，b兩事件不能同時發(fā)生，即ab，則稱事件a與事件b是互不相容事件或互斥事件?；コ鈺r可記為ab。對立事件：稱事件“a不發(fā)生”為事件a的對立事件（逆事件），記

3、為。對立事件的性質(zhì)：。事件運算律：設(shè)a，b，c為事件，則有（1）交換律：ab=ba，ab=ba（2）結(jié)合律：a(bc)=(ab)c=abc a(bc)=(ab)c=abc（3）分配律：a(bc)(ab)(ac) a(bc)(ab)(ac)= abac（4）對偶律（摩根律）： 第二節(jié) 事件的概率概率的公理化體系：（1）非負(fù)性：p(a)0；（2）規(guī)范性：p()1（3）可數(shù)可加性：兩兩不相容時概率的性質(zhì)：（1）p()0（2）有限可加性：兩兩不相容時當(dāng)ab=時p(ab)p(a)p(b)（3）（4）p(ab)p(a)p(ab)（5）p（ab）p(a)p(b)p(ab)第三節(jié) 古典概率模型1、設(shè)試驗e是古

4、典概型, 其樣本空間由n個樣本點組成,事件a由k個樣本點組成.則定義事件a的概率為2、幾何概率：設(shè)事件a是的某個區(qū)域，它的面積為 (a)，則向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點，該點落在區(qū)域 a 的概率為假如樣本空間可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，則事件a的概率仍可用上式確定，只不過把理解為長度或體積即可. 第四節(jié) 條件概率條件概率：在事件b發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的概率稱為條件概率，記作 p(a|b).乘法公式：p(ab)=p(b)p(a|b)p(a)p(b|a)全概率公式：設(shè)是一個完備事件組，則p(b)=p()p(b|)貝葉斯公式：設(shè)是一個完備事件組,則第五節(jié) 事件的獨立性兩個事件的相互獨立：若兩事件a

5、、b滿足p(ab)= p(a) p(b)，則稱a、b獨立，或稱a、b相互獨立.三個事件的相互獨立：對于三個事件a、b、c，若p(ab)= p(a) p(b)，p(ac)= p(a)p(c)，p(bc)= p(b) p(c)，p(abc)= p(a) p(b)p(c)，則稱a、b、c相互獨立三個事件的兩兩獨立：對于三個事件a、b、c，若p(ab)= p(a) p(b)，p(ac)= p(a)p(c)，p(bc)= p(b) p(c)，則稱a、b、c兩兩獨立獨立的性質(zhì)：若a與b相互獨立，則與b，a與，與均相互獨立總結(jié)：1.條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關(guān)系，在不具有獨立性的場合，

6、它將扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經(jīng)常使用， 應(yīng)牢固掌握。3.獨立性是概率論中的最重要概念之一，應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計算。第二章 一維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié) 分布函數(shù)分布函數(shù)：設(shè)x是一個隨機(jī)變量，x為一個任意實數(shù)，稱函數(shù)為x的分布函數(shù)。如果將x看作數(shù)軸上隨機(jī)點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) f(x)的值就表示x落在區(qū)間 內(nèi)的概率分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)不減；（2）右連續(xù)；（3）第三節(jié) 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律：設(shè)(k=1,2, )是離散型隨機(jī)變量x所取的一切可能值，稱 為離散型隨機(jī)變量x的分布律，也稱概率分布.當(dāng)離散性隨機(jī)變量取值有限且概率的規(guī)律不明

7、顯時，常用表格形式表示分布律。分布律的性質(zhì)：（1）；（2）離散型隨機(jī)變量的概率計算：（1）已知隨機(jī)變量x的分布律，求x的分布函數(shù)；（2）已知隨機(jī)變量x的分布律, 求任意隨機(jī)事件的概率；（3）已知隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，求x的分布律三種常用離散型隨機(jī)變量的分布：1.（01）分布：參數(shù)為p的分布律為2.二項分布：參數(shù)為n，p的分布律為，。例如n重獨立重復(fù)實驗中，事件a發(fā)生的概率為p，記x為這n次實驗中事件a發(fā)生的次數(shù)，則xb（n，p）3.泊松分布：參數(shù)為的分布率為，。例如記x為某段事件內(nèi)電話交換機(jī)接到的呼叫次數(shù)，則xp（）第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度f(x)的性質(zhì)（1）f(x)0（2

8、），（3）（4）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計算：（1）已知隨機(jī)變量x的密度函數(shù)，求x的分布函數(shù)；（2）已知隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，求x的密度函數(shù)；（3）已知隨機(jī)變量x的密度函數(shù), 求隨機(jī)事件的概率；（4）已知隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，求隨機(jī)事件的概率；三種重要的連續(xù)型分布：1均勻分布：密度函數(shù)，記為 xua，b.2. 指數(shù)分布：密度函數(shù)，記為xe（）3. 正態(tài)分布：密度函數(shù) ，記為n（0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后再計算概率.第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型：在分布律的表格中直接求出；連續(xù)型：尋找分布函數(shù)間的關(guān)系，再求導(dǎo)

9、得到密度函數(shù)間的關(guān)系；注意分段函數(shù)情況可能需要討論，得到的結(jié)果也可能是分段函數(shù)。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)，表示隨機(jī)點落在以（x ，y）為頂點的左下無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）分別關(guān)于x和y單調(diào)不減；（2）分別關(guān)于x和y右連續(xù)；（3）f (- , y ) = 0,f ( x ,- ) =0,f(-,-) = 0f ( + ,+ ) = 1第二節(jié) 二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律：聯(lián)合分布律的性質(zhì)：；第三節(jié) 二維連續(xù)性隨機(jī)變量聯(lián)合密度：聯(lián)合密度的性質(zhì)：；第四節(jié) 邊緣分布二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律：在表格邊緣，對應(yīng)概率相加求出；二維連續(xù)性隨機(jī)變量的邊緣密度：先求出邊緣分布函數(shù)，在求導(dǎo)求出邊緣密度第六節(jié) 隨機(jī)變量的獨立性獨立性判斷：（1）若取值互不影響，可認(rèn)為相互獨立；（2）根據(jù)獨立性定義判斷 離散型可用 連續(xù)型可用獨立性的應(yīng)用：（1）判斷獨立性；（2）已知獨立性，由邊緣分布確定聯(lián)合分布第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算，連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算，方差的計算：，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）e (c ) = c（2）e (cx ) = ce (x )（3）e (x + y ) = e (x ) + e (y )（4）當(dāng) x ,y 獨立時，e (x y ) = e (x )e (y )方差的性質(zhì)（1）