2020高中數(shù)學(xué)垂直關(guān)系的判定導(dǎo)學(xué)案北師大版必修2通用

1、第10課時(shí)垂直關(guān)系的判定1.理解直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理,能用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述這些定理,并能加以證明.2.能運(yùn)用直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單問題.3.了解二面角及其平面角的概念.天安門廣場(chǎng)上,佇立的旗桿、紀(jì)念碑給我們一種直線與平面垂直的形象.你能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述一下什么是直線與平面垂直?如果一條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,那么這條直線與這個(gè)平面一定垂直嗎?問題1:如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面互相垂直,記作l,直線l叫作平面的垂線,平面叫作直線l的垂面,唯一的公共點(diǎn)叫作垂足. 問題2:直線與

2、平面垂直、平面與平面垂直的判定定理是怎樣的?試用符號(hào)語(yǔ)言表示出來.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則這條直線與平面垂直.符號(hào)語(yǔ)言表示:若la,lb,a,b,ab=a,則l. 平面與平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)語(yǔ)言表示:若l,l,則. 問題3:直線與平面所成的角、平面與平面所成的角是如何定義的?范圍分別是多少?平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,稱為該直線與平面所成的角,范圍是0°,90°. 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)

3、分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角,范圍是0°,180°. 問題4:如何應(yīng)用線面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可簡(jiǎn)述為“線面垂直,則面面垂直”.使用定理時(shí)兩個(gè)條件缺一不可.該定理告訴我們證明兩平面垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直的問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題,體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“平面與平面垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,即要證線面垂直,只需證這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可,至于這兩條直線與已知直線是否有公共點(diǎn)

4、是無關(guān)緊要的.定理使用時(shí)五個(gè)條件缺一不可.即 la,lb,ab=o,a,bl. 1.若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是().a.相等b.互補(bǔ)c.相等或互補(bǔ)d.不確定2.在正方體abcd-a1b1c1d1中,以下結(jié)論不正確的是().a.ab平面bcc1b1b.ac平面cdd1c1c.ac平面bdd1b1d.a1c平面ab1d13.過一個(gè)平面的垂線和這個(gè)平面垂直的平面有個(gè). 4.已知在空間四邊形abcd中,ab=ac,db=dc,點(diǎn)e為bc的中點(diǎn),求證:bc平面aed.直線與平面垂直的判定與證明如圖所示,rtabc所在的平面外

5、有一點(diǎn)s,且sa=sb=sc,點(diǎn)d為斜邊ac的中點(diǎn).(1)求證:sd平面abc;(2)若ab=bc,求證:bd平面sac.面面垂直的判定與證明在如圖所示的幾何體中,四邊形abcd是正方形,ma平面abcd,pdma,e、g、f分別為mb、pb、pc的中點(diǎn),且ad=pd=2ma.求證:平面efg平面pdc.平面圖形折疊后的垂直問題如圖,已知直角三角形abc中,b=90°,e,f分別為ab,ac上的點(diǎn),且efbc,ae=2be.現(xiàn)將aef沿ef邊折疊到點(diǎn)a,并且點(diǎn)a在平面ebcf內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)b,如圖所示.(1)求證:平面aef平面abe;(2)ebbc的值為何值時(shí),ec平面abf.在

6、四面體abcd中,ac=bd,e,f分別為ad,bc的中點(diǎn),且ef=22ac,bdc=90°,求證:bd平面acd.在正方體abcd-a1b1c1d1中,m,n分別是ab,bc的中點(diǎn).求證:平面b1mn平面bb1d1d.如圖,矩形abcd滿足ab=3,ad=2,e,f分別是ab,dc上的點(diǎn),且efad,ae=1,將四邊形aefd沿ef折起,形成了三棱柱abe-dcf,若折起后的cd=5.求證:(1)cf平面aefd;(2)平面aec平面dfb.1.二面角是指().a.兩個(gè)相交平面構(gòu)成的圖形b.從一個(gè)平面的一條直線出發(fā)的一個(gè)平面與這個(gè)平面構(gòu)成的圖形c.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面構(gòu)成的圖

7、形d.過棱上一點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線,這兩條射線所成的角2.如圖,正方形abcd交正方形abef于ab,m、n在對(duì)角線ac、fb上,且mn平面bce,則下列結(jié)論一定成立的是().a.mnceb.am=fnc.am=cmd.bn=fn 3.已知pa矩形abcd所在平面(如圖),則圖中互相垂直的平面有對(duì). 4.如圖,在abc中,adbc,將abd折起構(gòu)成了三棱錐b-adc.求證:ad平面bdc.(2020年·遼寧卷)如圖,ab是圓o的直徑,pa垂直圓o所在的平面,c是圓o上的點(diǎn). (1)求證:bc平面pac;(2)設(shè)q為pa的中點(diǎn),g為aoc的重心,求證:qg平面pbc.

8、考題變式(我來改編):第10課時(shí)垂直關(guān)系的判定知識(shí)體系梳理問題1:任意l垂線垂面垂足問題2:ab=al問題3:0°,90°0°,180°問題4:線面垂直線線垂直相交直線l基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.c可以根據(jù)空間角的關(guān)系定理來想象這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系.2.ba正確,因?yàn)閍bbc且abbb1.所以ab平面bcc1b1.c正確,因?yàn)閎b1平面abcd,所以bb1ac,又acbd,所以ac平面bdd1b1.d正確,因?yàn)閎1d1平面a1acc1,所以b1d1a1c.同理,ab1a1c.所以a1c平面ab1d1.3.無數(shù)可以想象直立在課桌上的書本,書本的每一頁(yè)紙都與桌面垂直

9、.4.解:ab=ac,db=dc,aebc,debc,aede=e,bc平面aed.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)sa=sc,d為ac的中點(diǎn),sdac.在rtabc中,ad=dc=bd,adsbds,sdbd.又acbd=d,sd平面abc.(2)ab=bc,d為ac的中點(diǎn),bdac,由(1)可知,sd平面abc ,sdbd.sdac=d,bd平面sac.【小結(jié)】證明線線垂直時(shí),往往要利用平面幾何中的有關(guān)方法,這是值得我們注意的地方.同時(shí),線面垂直的定義給出了線面垂直的必備條件,但作為判定并不實(shí)用.不過直線和平面垂直時(shí),可以得到直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,給判定兩直線垂直帶來了方便.

10、探究二:【解析】ma平面abcd,pdma.pd平面abcd.又bc平面abcd,pdbc.四邊形abcd為正方形,bcdc,又pddc=d,bc平面pdc.在pbc中,g、f分別為pb、pc的中點(diǎn),gfbc,gf平面pdc.又gf平面efg,平面efg平面pdc.【小結(jié)】要證平面efg平面pdc,關(guān)鍵是利用線面垂直的判定定理得bc平面pdc,再利用平行線的傳遞性可得所證的結(jié)論.探究三:【解析】 (1)由圖知:b=90°,efbc ,所以efab,efae,又因?yàn)閑fbe,且aebe=e,所以ef平面abe,又因?yàn)閑f平面aef,所以平面aef平面abe.(2)因?yàn)閍b平面befc,

11、ec平面befc,所以abec,若ec平面abf,則只需ecbf即可,當(dāng)ecb=ebf時(shí),ecbf,因?yàn)閺膱D可知efbc=aeab=23,所以ecb=ebf時(shí),tanecb=tanebf,即efeb=23bceb=ebbc,得ebbc=63,所以ebbc=63時(shí),ec平面abf.【小結(jié)】觀察折疊后的幾何體與折疊前的平面圖形間的聯(lián)系,注意到不變的元素有哪些,注意已知條件在兩種圖形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:取cd的中點(diǎn)g,連接eg,fg,e,f分別為ad,bc的中點(diǎn),eg􀱀12ac,fg􀱀12bd.又ac=bd,fg=12ac,在efg中,eg2+fg2

12、=12ac2=ef2,egfg,bdac.又bdc=90°,即bdcd,accd=c,bd平面acd.應(yīng)用二:連接ac且acbd=o,則acbd,又m,n分別是ab,bc的中點(diǎn),mnac,mnbd.abcd-a1b1c1d1是正方體,bb1平面abcd.mn平面abcd,bb1mn.bdbb1=b,mn平面bb1d1d.mn平面b1mn,平面b1mn平面bb1d1d.應(yīng)用三:(1)矩形abcd中,因?yàn)閑fad,所以efcd,又因?yàn)閐f=ae=1,fc=be=2,所以在三棱柱abe-dcf中,effc,dc2=df2+cf2,所以dffc,且efdf=f,所以cf平面aefd.(2)由

13、(1)知四邊形bcfe是正方形,所以ecfb,又因?yàn)閐ffc,dfef,effc=f,所以df平面bcfe,ec平面bcfe,所以dfec,且dffb=f,所以ec平面dfb,且ec平面aec,所以平面aec平面dfb.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.c注意二面角與二面角的平面角是不同的兩個(gè)概念,前者指的是圖形,后者指的是角度.2.b過m作mgbc交ab于g,連接ng,又mn平面bce,所以平面mng平面bce,所以ngbeaf,所以amac=agab=fnfb,正方形abcd和正方形abef邊長(zhǎng)相等,所以ac=fb,所以am=fn.3.5面pad面abcd,面pab面abcd,面pab面pbc,面pdc面pad,面pad面pab.4.解:因?yàn)閍dbc,所以在三棱錐b-adc中,adbd,addc, bddc=d,所以ad平面bdc.全新視角拓展(1)由ab是圓o的直徑,得acbc.由pa平面abc,bc平面