離散型隨機變量的期望課堂實錄

1、離散型隨機變量的期望課堂實錄 中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）第二冊第十一章第三節(jié)執(zhí)教者： 紹興市職教中心 陳輝一、設(shè)計理念：以學(xué)生已有的知識為教學(xué)基礎(chǔ)， 以學(xué)生已有的認知發(fā)展水平為教學(xué)起點， 提供學(xué)生動手 實踐、 合作交流的時間和空間， 倡導(dǎo)積極主動的學(xué)習(xí)方式， 把對話與交流貫穿于整個教學(xué)過 程的始終，讓學(xué)生在平等的氛圍中對話，在傾心的對話中交流，在真誠的交流中研究。二、教學(xué)內(nèi)容分析：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一， 是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)， 學(xué)習(xí)期 望將為后面學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識做鋪墊。同時， 它在市場預(yù)測， 經(jīng)濟統(tǒng)計，風(fēng)險與決策等領(lǐng)域 有著廣泛的應(yīng)用。三、教學(xué)目標：1.

2、知識與技能目標通過實例， 讓學(xué)生理解離散型隨機變量期望的概念， 了解其實際含義。 會計算簡單的離 散型隨機變量的期望，并解決一些實際問題。2. 過程與方法目標在對話交流中學(xué)習(xí)，經(jīng)歷概念的建構(gòu)這一過程，培養(yǎng)學(xué)生的提問能力，交流能力和合 作探究能力。通過實際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。3. 情感與態(tài)度目標通過創(chuàng)設(shè)情境， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，讓學(xué)生養(yǎng)成關(guān)注生活、 觀察生活的習(xí)慣。讓 學(xué)生認識到數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。四、教學(xué)重點與難點：重點： 本課是一節(jié)概念新授課， 而概念本身具有一定的抽象性，學(xué)生難以理解，因此把 對離散性隨機變量期望的概念的教學(xué)作為本節(jié)課的教學(xué)

3、重點。難點：對教師而言，對話交流背景的設(shè)置和探究過程的預(yù)設(shè)是一個難點，對學(xué)生而言， 初次應(yīng)用概念解決實際問題也較為困難，也是本節(jié)課的又一難點。五、課堂實錄：1. 實例引入教師提出問題： （實物投影 ） “某商場要根據(jù)天氣預(yù)報來決定節(jié)日是在商場內(nèi)還是商場外 開展促銷活動。 統(tǒng)計資料表明， 每年五一節(jié)商場內(nèi)的促銷活動可獲得經(jīng)濟效益2 萬元； 商場外的促銷活動如果不遇到有雨天氣可獲得經(jīng)濟效益 10 萬元，如果促銷活動中遇到有雨天氣 則帶來經(jīng)濟損失 4 萬元。 4 月 30 日氣象臺預(yù)報五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，商場應(yīng)該選擇哪種促銷方式 ?”同學(xué)們，假如你現(xiàn)在就是該商場的總經(jīng)理，你將怎樣選擇，為什

4、么?（ 點評：問題的生活化可激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲望， 促進學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的視野關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)。）學(xué)生1:我覺得商場外促銷為好，因為商場外促銷可賺錢10萬元，且下雨的概率只有40%。學(xué)生2:我覺得商場內(nèi)促銷為好，因為即使下雨商場內(nèi)促銷也可賺錢2萬元，比較保險。學(xué)生3:可以商場內(nèi)、商場外同時促銷，萬一下雨的話也可減少損失，如果不下雨的話 就可賺得更多。（課堂氣氛一下子活躍起來，學(xué)生情緒也特別高漲，課堂里出現(xiàn)了第一次矛盾沖突。）（點評：設(shè)置矛盾沖突，引起探究的興趣與熱情。）教師：同學(xué)們都能憑自己的想法和膽識作出選擇，這也是一個人應(yīng)該具有的思想品質(zhì)。 但在選擇時多少帶有猜測或冒險的成份，我們還要學(xué)會

5、用數(shù)學(xué)地思考、科學(xué)的方法來作出正確的決策?，F(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)知識作出這個決策。2. 明確概念問題一：平均數(shù)的計算（板書）教師：（實物投影）我班最近一次數(shù)學(xué)測驗前10名的成績?nèi)缦拢?7, 96, 95, 95, 92, 92,92,91, 91,91,求平均成績是多少 ？ ”9796 95 95 9292 92 919191學(xué)生 4: x93.210學(xué)生5:老師，我們還可以用加權(quán)平均數(shù)的求法來算97 96 95 292 3 91 3x93.210教師：那這是否可以從概率的角度來解釋呢？學(xué)生6:（該學(xué)生走上講臺把自己的算法寫在黑板上，一邊解釋）X= 97 96 95 292 3 91 3冷

6、-1-96 丄 95 -92 空 91 衛(wèi)10 10 10 10 10 103391就是在這10個數(shù)中任意取一個數(shù)是 91的概率為，其它依次類推。1010（點評：教師引導(dǎo)，讓學(xué)生來解釋，創(chuàng)設(shè)說數(shù)學(xué)的機會）教師：很好。再請同學(xué)們寫出以這些成績?yōu)殡x散型隨機變量的概率分布。979695929111233P1010101010（點評：復(fù)習(xí)原先知識，為歸納出期望的定義作鋪墊）教師：（請一位學(xué)生把分布列也寫在黑板上，并請學(xué)生對照比較） 學(xué)生7:我發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)恰好是每個 與相應(yīng)概率乘積的和。教師：好極了，這是我們自己的發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在我們把它推廣到一般情況（板書）：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為X1X2“X

7、n“-PPP2Pn則稱E =XiR * X2P2* XnPn 為.的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。（教師同時板書課題，學(xué)生閱讀書本P219）教師：同學(xué)們是否能嘗試用文字語言描述上面這個抽象的數(shù)學(xué)公式？（學(xué)生們嘗試著說，大家相互補充，得出）：離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望即為隨機變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加。（點評：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述概念，加強數(shù)學(xué)交流）3. 加深理解問題二：請學(xué)生完成以下練習(xí)練習(xí)1已知離散型隨機變量的概率分布匕1001P0.010.99 求可能取值的算術(shù)平均數(shù)。 求'的期望。1 + 1°°學(xué)生&第小題可能取值的算術(shù)平均數(shù)為 一

8、2 = 50.5學(xué)生 9:第小題 E =100X0.01+1 >0.99=1.99（學(xué)生做得較順利，兩位學(xué)生的回答也沒有引起其他學(xué)生的異議）學(xué)生10：（笑著說）老師，這么簡單的題你還讓我們做啊，出下一題吧。教師：是嗎？我可不這么認為。大家注意到了嗎？ 這里有兩個平均值呢。（學(xué)生中一陣騷動，相互交頭結(jié)耳，小聲議論）學(xué)生11：是有兩個平均數(shù)，期望也是平均數(shù)呀。學(xué)生12：老師，你的意思是說要我們區(qū)分這兩個平均數(shù)的意義吧。教師（會心地笑）：你能說嗎？學(xué)生12 （思考片刻之后）：我想，期望是反映隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它 是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。學(xué)生13：老師，

9、我是不是可以這樣理解，我摸到 100元的概率是0.01，摸到1元的概 率是0.99，平均下來，我摸到錢的可能性才1.99。教師：是的，可以這么認為，看來你已經(jīng)會應(yīng)用了。學(xué)生14：怪不得商場里摸獎時中大獎的機率這么低。（眾學(xué)生笑）(點評：第二次設(shè)置認知沖突，在交流中辯明期望的意義)練習(xí)2根據(jù)歷次比賽或訓(xùn)練記錄，甲、乙兩射手在同樣的條件下進行射擊，成績分布 列如下：射手8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲0.30.10.6乙0.20.50.3試比較甲、乙兩射手射擊水平的高低。(教室里片刻的沉默，一學(xué)生輕聲嘀咕：是不是用期望值來比呀？)學(xué)生15：設(shè)甲、乙兩射手射擊一次擊中的環(huán)數(shù)分別為打，2，貝yE ( )= 8 0.3

10、 9 0.1 10 0.6 = 9.3E ( 2 )= 8 0.2 9 0.5 10 0.3 = 9.1老師，這兩個數(shù)值能說明什么問題嗎？教師：誰能幫學(xué)生16解答他的困惑？學(xué)生16：我認為，射手甲擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望比射手乙擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望高，就說明甲的平均射擊水平比乙的稍微高一點。如果兩人進行比賽，甲贏的可能性較大。教師：很好！從中我們知道了數(shù)學(xué)期望的實際意義是刻劃這個隨機變量的平均水平。(點評：創(chuàng)設(shè)生生交流的環(huán)境，教師從中起到指導(dǎo)的作用)4. 回歸應(yīng)用問題三：看看數(shù)學(xué)期望能解決哪些實際問題。例1有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品， 其次品率為15%。對這批產(chǎn)品進行抽查， 每次抽出1件, 如果抽出次品，則

11、抽查終止，否則繼續(xù)抽查， 直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過 10次。 求抽查次數(shù) 的期望(結(jié)果保留三個有效數(shù)字)。學(xué)生17：老師，這題沒有分布列！教師：我們一起來試試能不能把分布列出來？教師解釋：一般地，在產(chǎn)品抽查中已說明產(chǎn)品數(shù)量很大，而抽查數(shù)量很小時，各次抽查結(jié)果可以認為是相互獨立的。學(xué)生18：可取哪些值呢？學(xué)生19：抽查次數(shù)最多不超過 10次，我想就取110的整數(shù)。教師：不錯。那么前 k-1次取到正品，而第 k次取到次品的概率是12345678910P ( =k) =0.85k4 0.15(k=1 , 2, 3,9); P ( =10) = 0.859 1(學(xué)生們用計算器計算后)得到抽查

12、次數(shù)'的分布列為P0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316學(xué)生 20：期望 E# =1 0.152 0.12750 0.2316 =5.35教師：誰能歸納求離散型隨機變量期望的步驟？（一陣思考和議論）學(xué)生21：我想先要確定離散型隨機變量'的取值，再寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，最后求出期望。教師：我們不妨把這稱為“三部曲”（點評：給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了較多的探究、操作和相互討論交流的機會，同時適當(dāng)點撥） 教師：那上課開始提出的商場應(yīng)該選擇哪種促銷方式 ”這個問題又該如何解？（眾學(xué)生先自行操作探求，然后相互討論

13、交流）學(xué)生22:商場外促銷經(jīng)濟效益'的分布列為匕10-4P0. 60. 4期望E =10 0.6 - （-4）0.4 =4.4萬元，所以商場應(yīng)選擇商場外進行的促銷活動。我解釋一下，數(shù)學(xué)期望4. 4萬元反映的是，選擇商場外促銷不論下雨與否都有4. 4萬元效益。（話音剛落，學(xué)生們一片嘩然，贊成的反對的幾乎各占一半 ）教師：現(xiàn)在我們分組進行討論，選擇商場內(nèi)促銷還是商場外促銷，是僅從一次促銷來決定，還是從長遠考慮根據(jù)多年促銷的平均數(shù)來決定的呢？（眾學(xué)生經(jīng)過熱烈的討論，最后大家統(tǒng)一了思想，應(yīng)從長遠考慮，根據(jù)多年促銷的平均 數(shù)來決策。明白了數(shù)學(xué)期望4. 4萬元反映的是，如果某老板每年堅持在商場外進

14、行促銷活動， 那么他在每年五一節(jié)平均可賺錢4. 4萬元。）（點評：第三次設(shè)置矛盾沖突，提出新的問題，以期辯明期望的作用）例2目前由于各種原因，許多人選擇租車代步，租車行業(yè)生意十分興隆，但由于租車者以新手居多，車輛受損事故頻頻發(fā)生。據(jù)統(tǒng)計，一年中一輛車受損的概率為 0.03?，F(xiàn)保險 公司擬開設(shè)一年期租車保險，一輛車一年的保費為1000元；若在一年內(nèi)該車受損，則保險公司需賠償3000元。 一年內(nèi)，一輛車保險公司平均收益多少？ 一輛車一年的保險費為1000元，若在一年內(nèi)該車受損，則保險公司需賠償n元，一年中一輛車受損的概率為 0.03,則賠償金n至少定為多少元，保險公司才不虧本？ 若一輛車一年的保險

15、費為m元，若在一年內(nèi)該車受損，則保險公司需賠償n元，一年中一輛車受損的概率為 p，則m,n，p應(yīng)滿足什么關(guān)系，保險公司方可盈利。（學(xué)生們開始討論，教師在巡視中傾聽學(xué)生們爭論的焦點）教師：聯(lián)系我們以前學(xué)過的利潤，你們覺得每年保險公司的平均獲利如何計算？學(xué)生23：每輛車每年保險公司平均獲利=保險費-賠償費。學(xué)生24: 1000- 3000 =- 2000，那不是虧大了嘛。學(xué)生25 :不對，這里的賠償費應(yīng)該是3000 0.03 = 90。因為一年中一輛車受損的概率為 0.03。學(xué)生24：噢，我明白了。學(xué)生26 :當(dāng)平均獲利0時保險公司方可盈利。所以第題中，當(dāng)m n p.0即 n ：m時方可盈利。學(xué)生

16、27:還可以這樣解：設(shè)表示盈利數(shù)，則隨機變量的分布列為mm nP1- pp遲I I I E =m(1-p) (m-n)p =m-np . 0 即 n時方可盈利。P教師：很好，大家不僅把題給解出來了，而且用了不同的方法。我們在這節(jié)課中是不是又有了新的收獲？(點評：回歸概念本質(zhì)，緊扣概念應(yīng)用，并交具體問題數(shù)字化 )5. 師生共同小結(jié)教師：請大家?guī)е裉斓倪@種探究熱情去預(yù)習(xí)下一課的內(nèi)容“離散型隨機變量的方差”，相信大家自己會有新的發(fā)現(xiàn)。六、學(xué)生感悟：從學(xué)生寫出的課后感悟及課后交流中經(jīng)分類整理摘錄如下：(1) 情感價值：以前總認為數(shù)學(xué)枯燥乏味，學(xué)數(shù)學(xué)就是為了應(yīng)付考試，我們是職校生，又不一定要參加高考，學(xué)數(shù)學(xué)沒啥實際用途。通過這堂課，我覺得數(shù)學(xué)還是有點用處的。而且我覺得聽這樣的課不累。(2) 自身價值：我們這種學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不好的同學(xué)在老師的提示下也能發(fā)表看法，特別是當(dāng)自己的觀點被老師所贊許、被同學(xué)所采納時，心里真是挺高興的，我現(xiàn)在也能體會到學(xué)習(xí)是辛苦的，但也是有趣的”這句話的含義了。(3) 教學(xué)價值：在老師上這一課之前，我已做了預(yù)習(xí)，當(dāng)