概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)12

1、概率論概率論3.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量重要的連續(xù)型隨機(jī)變量概率論概率論 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間, 對(duì)這種類型的隨機(jī)變量對(duì)這種類型的隨機(jī)變量, 不能象離不能象離散型隨機(jī)變量那樣散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每個(gè)值概以指定它取每個(gè)值概率的方式率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過(guò)而是通過(guò)給出所謂給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式. 下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的下

2、面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法描述方法.概率論概率論如果如果 X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱稱 f (x) 為為 X 的的概率密概率密度度函數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為概率密度概率密度 .一、一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義 xF xf t dt 有有,使得對(duì)任意使得對(duì)任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) , x 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量 X , 如果存在非負(fù)可積函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x) , ,x P Xx 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 上連續(xù)上連續(xù)R概率論概率論-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF (

3、x )分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義)(xfy 概率論概率論二、概率密度的性質(zhì)二、概率密度的性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面積為面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r .v X 的的概率密度的充要條件概率密度的充要條件概率論概率論利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 , x2 , (x1 0 為常數(shù)概率論概率論1xF( x)0 xf ( x)0概率論概率論對(duì)于任意的 0 a 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正

4、態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. X N ( , 2 )概率論概率論 :具有下述性質(zhì)具有下述性質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf事實(shí)上事實(shí)上 , 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1概率論概率論,2xt 令令則有則有 dxxfdtet202 122 曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱；軸對(duì)稱； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt 概率論概率論 xexfx,21)(222)( 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值；取得最大值；x 22()23,2x xfxex

5、x = 為為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 5 22()2223(),2x xfxex 概率論概率論當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6 根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫(huà)出正態(tài)分布根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫(huà)出正態(tài)分布的概率密度曲線圖的概率密度曲線圖. .概率論概率論 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N幾何意義 : 大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義: 大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比

6、概率論概率論 設(shè)設(shè) X ,),(2NX 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是是正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2N 2 22()21,2txF xedtx 概率論概率論 正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布概率論概率論1, 0的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3 221,2txxedtx 2

7、21,2x xex 概率論概率論)(x )(x ;2101 ;1,2xxRx 1)(2)|(|aaXP(3)概率論概率論的性質(zhì)的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實(shí)上事實(shí)上 , 221()2txxedtx 22112uxedu x 12212uxutedu 1)(2)|(|aaXP(3)概率論概率論 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 則

8、則若若概率論概率論對(duì)一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(/ )(2d212xsse概率論概率論 書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表. .正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), (x)的值的值.4概率論概率論例例3 3設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 0 5 . 0

9、1 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P255 附表3概率論概率論例例4 4 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP概率論概率論解二解二 圖解法0.22 . 0)0(XP由圖-22460.050.10.150.20.3概率論概率論由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不

10、到0.3%. .當(dāng)當(dāng)XN(0,1)(0,1)時(shí)，時(shí)，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974 3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則5概率論概率論將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , 6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). .這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則” . .XYN(0,1) 當(dāng)當(dāng)XN(0,1)(0,

11、1)時(shí)，時(shí)，概率論概率論標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn) 0,1 ,XN設(shè)設(shè)若數(shù)若數(shù) 滿足條件滿足條件z , 01P Xz則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) 為為z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上上 分位點(diǎn)分位點(diǎn).)(x 1 zz zz 11P Xz 1 P Xz P Xz 6概率論概率論解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來(lái)求滿足上式的最小的下面我們來(lái)求滿足上式的最小的h . .看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子: 例例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在碰頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下來(lái)設(shè)計(jì)的以下來(lái)設(shè)計(jì)的. .設(shè)男子身

12、高設(shè)男子身高XN( (170, ,62),),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定? ? 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求概率論概率論因?yàn)橐驗(yàn)?XN( (170, ,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 = = 2.33, ,即即 h=170+13.98 184設(shè)計(jì)車門高度為設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01. .P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 . .17017066XhP 1706h 概率論概率論 這一節(jié)，我們介紹了

13、連續(xù)型隨機(jī)變量這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨機(jī)變量及三種重要分布及三種重要分布.即均勻分布、指數(shù)分布、即均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布正態(tài)分布. 其中正態(tài)分布其中正態(tài)分布的應(yīng)用極為廣泛，的應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道在本課程中我們一直要和它打交道. 后面第五章中，我們還將介紹為什么后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布 .四、小結(jié)四、小結(jié)概率論概率論練習(xí)題練習(xí)題一、設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 ., 1,1 ,ln, 1, 0)(exexxxxFX，求 （1） P X2, P 0X3； （2） 求概率密度 fX (x).二、設(shè)

14、隨機(jī)變量 X 的概率密度 f (x)為 其他其他021210)(xxxxxf求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出 f (x)與 F (x)的圖形。概率論概率論 其其它它010001000)(2xxxf三、某種型號(hào)的電子的壽命 X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立） 。任取 5 只，問(wèn)其中至少有 2 只壽命大于 1500小時(shí)的概率是多少？四、設(shè) XN（3,22）（1）求 P 2X5，P 42，（2）決定 C 使得 P X C =P XC概率論概率論一、設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 ., 1,1 ,ln, 1, 0)(exexxxxFX，求 （1） P

15、 X2, P 0X3； （2） 求概率密度 fX (x).解：解：2 XP2)2( XPF)2(F 2ln 30 XP)0()3(FF 1 )(xfX)(xFX 1,1,0,xex 其其它它. .0 x1e23概率論概率論二、設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度 f (x)為 其其他他021210)(xxxxxf求 X 的分布函數(shù) F (x)，并作出 f (x)與 F (x)的圖形。解：解：,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xdttfxF)()(0 ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xdttfxF)()( xtdt022x ,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xdttfxF)()( 10tdt xdtt1)2(1222 xx,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x1)(

16、xF0 x12x x x x 概率論概率論故故 2, 121, 12210,20, 0)(22xxxxxxxxF概率論概率論 其其它它010001000)(2xxxf三、某種型號(hào)的電子的壽命 X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立） 。任取 5 只，問(wèn)其中至少有 2 只壽命大于 1500小時(shí)的概率是多少？解：解：15001500 X小小時(shí)時(shí)壽壽命命大大于于1500 XP 1500)(dxxf 150021000dxx 15001000 x32 概率論概率論小小時(shí)時(shí)的的管管子子數(shù)數(shù)只只中中壽壽命命大大于于表表示示15005Y 32, 5 bY2 YP21