高考理數(shù)球與各種幾何體切接問題

1、球與各種幾何體切、接問題近幾年全國高考命題來看,這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先明確定義1：若一個多面體的各頂點(diǎn)都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球.1 球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1 球與正方體（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1. 位置關(guān)系：正方體的六個面都與一

2、個球都相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為，球的半徑為，這時有. （2）正方體的外接球，如圖2. 位置關(guān)系：正方體的八個頂點(diǎn)在同一個球面上；正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.（3）正方體的棱切球，如圖3. 位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.例 1 棱長為1的正方體的8個頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（ ）a b cd思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球.平面截面所得圓

3、面的半徑得知直線被球截得的線段就是球的截面圓的直徑.1.2 球與長方體例2 自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值結(jié)論：長方體的外接球直徑是長方體的對角線例 3（全國卷i高考題）已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）.a. b. c. d. 思路分析：正四棱柱也是長方體.由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，可得長方體的長、寬、高分別為2，2，4，長方體內(nèi)接于球，它的體對角線正好為球的直徑.2 球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱

4、錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1正四面體與球的切接問題 （1） 正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有； 例4正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球的半徑為_【解析】如圖正四面體abcd的中心為o，即內(nèi)切球球心，內(nèi)切球半徑r即為o到正四面體各面的距離aba, 正四面體的高h(yuǎn)a，又vabcd4vobcd，（）rha.（2）正四面體的外接球，位置關(guān)系：正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合； 

5、;數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到）例5 求棱長為1的正四面體外接球的半徑。設(shè)so1是正四面體sabc的高，外接球的球心o在so1上，設(shè)外接球半徑為r，ao1r，則在abc中，用解直角三角形知識得r，從而so1，在rtaoo1中，由勾股定理得r2(r)2()2，解得r.結(jié)論：正四面體的高線與底面的交點(diǎn)是abc的中心且其高線通過球心，這是構(gòu)造直角三角形解題的依據(jù)此題關(guān)鍵是確定外接球的球心的位置，突破這一點(diǎn)此問題便迎刃而解，正四面體外接球的半徑是正四面體高的，內(nèi)切球的半徑是正四面體高的.（3） 正四面體的棱切球，位置關(guān)系：正四面

6、體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有 例6例7設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比思路分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的（4）為什么正四面體外接球和內(nèi)切球心是同一個點(diǎn)？2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時三棱錐的各個頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)

7、切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置.例8 正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長的關(guān)系，由等體積法可得：，得到例9（福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面

8、積是 .思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，由側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.點(diǎn)評：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計(jì)算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法例10【2012年新課標(biāo)高考卷】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，是球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ）a. b. c. d. 思路分析：的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點(diǎn)到面的距離.由為球的直徑點(diǎn)到

9、面的距離即可求得棱錐的體積.3 球與球相切問題對于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例11 已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為 .思路分析：結(jié)合圖形，分析四個球的球心a、b、c、d的位置，知ad=ac=bd=bc=5，ab=6，cd=4.設(shè)ab中點(diǎn)為e、cd中點(diǎn)為f，連結(jié)ef.在abf中可得，在ebf中可得.由于對稱性可得第五個球的球心o在ef上，連結(jié)oa、od.設(shè)第五個球的半徑為r，根據(jù)oe+of=ef建立的方程.例1

10、2把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和24 球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例13 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的

11、半徑為（ ）al0cm b10 cmc10cm d30cm思路分析：根據(jù)題意球心o在圖中ap上，過o作bp的垂線on垂足為n，on=r，om=r，由各個棱都為20，得到am=10，bp=20,bm=10，ab=,設(shè)，在bpm中，由,得.在pam中, 由,得.在abp中得, ，在onp中得, ,從而，.在oam中, 由,建立方程即可得解.5 球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系例14 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系例15 在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小思路分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖的截面圖，在圖中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點(diǎn)放在球面上即為球