數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)的實踐與認(rèn)識VIP

1、數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)的實踐與認(rèn)識上海奉賢曙光中學(xué) 宋寶國數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)屬于數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，蘊含著數(shù)學(xué)中的思維規(guī)律，是數(shù)學(xué)的靈魂，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)?shù)匕雅囵B(yǎng)學(xué)生思維能力作為教學(xué)的組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)只有兼顧到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維方法兩個方面，才是真正體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，真正教給學(xué)生對其今后的學(xué)習(xí)、生活和工作長期起作用，并做其終生受益的人類數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，然而數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)是一項長期細(xì)致的工作。在教學(xué)中往往表現(xiàn)為“教者有心，學(xué)者無意，日積月累，潛移默化”，必須有目的地使數(shù)學(xué)思維方法反映在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)之中，本文以筆者多年在教學(xué)中數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)的實踐與認(rèn)識，談幾點看法和做法。一、提供類比 教學(xué)中提供類比，

2、猶如搭橋引渡，使學(xué)生溫故而知新。因為類比是特殊到特殊的邏輯推理方法，所以選題時要因人因題而異，切合學(xué)生的實際，承上啟下、合乎邏輯，才能引導(dǎo)學(xué)生展開思維活動，舉例如下： 例1用“乘法原理”確定有幾種抽題的方法：（1） 從6個試題中，3個學(xué)生分別抽出一題。（2） 從6個試題中，一個學(xué)生抽出3題完卷。 這兩個題，外形相似，性質(zhì)不同，前者是排列問題，后者是組合問題。學(xué)生往往分辨不清，這里由（1）類比地轉(zhuǎn)入（2），兩相對照，涇渭分明，這是形同質(zhì)異的類比。 例2將6個人分成2列排隊，有幾種排法。（1） 若一列2人，另一列4人：（2） 一列3人，另一列也是3人。 這兩題形式不同，實質(zhì)上都是6個人在六個不同位

3、置上的排列問題，排法都是種，這種外形不同，性質(zhì)相同的問題，是行異質(zhì)同的類比。 例3將6個人分成2組，有幾種方法。（1）若一組2人，另一組4人：（2）一組3人，另一組也是3人。 （1）有種分法，而（2）中因為兩組人數(shù)相同所以有中分法。這兩個題，外形不同，性質(zhì)也不同，是形異質(zhì)異的類比。 如果將例2例3加以比較，他們的外形相似，解法各異，為行同質(zhì)異的類比。例4（1）已知（t為參數(shù)），求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的軌跡；（2）若z在1+i，1-i間線段上移動，求復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的軌跡。（1）令,由故消去參數(shù)是雙曲線。（2）令，按條件，即，則再令，則，因為b,x,y都是實數(shù)，故消去b，得是拋

4、物線的一部分。 這2個題，（1）未附條件比較簡單；（2）附有條件，需經(jīng)兩次置換，才能求得軌跡，這是由淺入深的類比。 常見類比還有二維空間與三維空間類比；將平面幾何的許多概念和判斷證明方法，從思想上把二維空間移到立體幾何的三維空間，數(shù)與形的類比，也是一種非常有益的類比，這是因為數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系與空間形式及其和統(tǒng)一的科學(xué)。注意把無限問題類比有限問題中去，常是一種有害的類比例求，誤比：.正確：.以上舉數(shù)例，可見類比不是千篇一律、固定不移的，問題的條件與需要不同，類比的出發(fā)點就不同。 二、啟發(fā)分想分想：是將大腦貯藏在內(nèi)部形形色色的正確經(jīng)驗、知識，根據(jù)問題分離出一種或若干種加以創(chuàng)造想象方法，開

5、始訓(xùn)練時，要求學(xué)生記錄分想過程。例5若x,y是關(guān)于m的方程：的二個實根，求的最小值。分想：（1）x、y為一元二次方程的兩個根，由韋達定理得 （2）有實根，由判別式解得或 （3）求二元二次函數(shù)最值，常歸宿為一元函數(shù)求最值， 由于求得當(dāng)時，例6求函數(shù)的值域.分想：（1）研究任何函數(shù)，首先必須考慮其定義域，令顯然有： 則 （2）最小值是什么？進一步明確自變量取值范圍： 由得有實數(shù)根， 則或（舍）. （3）當(dāng)時， （4）確定值域，分想是一種比較簡便有用想象訓(xùn)練方法，只要在平時教學(xué)中，要求學(xué)生對問題進行認(rèn)真細(xì)微分想，形成一種思維習(xí)慣，思維能力是會迅速提高的。 三、展開聯(lián)想聯(lián)想：主要借助于時間和空間上的接

6、近而產(chǎn)生，根據(jù)心理的條件反射，教學(xué)運用它，猶如穿針引線，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系條件相近有關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生的知識前后連貫，由新憶舊，認(rèn)舊引新，提高學(xué)生的思維能力，舉例如下：例7解方程：解：據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得原方程的解是這是在復(fù)數(shù)集由一個二元方程求得兩個未知數(shù)的確定實數(shù)的例題。引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想在實數(shù)集內(nèi)的類似情況。于是得下面的例8例9例10例8解方程解：根據(jù)實數(shù)的偶次方非負(fù)數(shù)，得的原方程的解是原方程的解是 例9解方程解按對數(shù)的性質(zhì)，有整理，得 原方程的解是例10解方程解配方：得原方程的解是例11求證： 證明：通常用數(shù)學(xué)歸納法證明，從式子結(jié)構(gòu)可聯(lián)想函數(shù)設(shè)曲線上有兩點a bg為作軸交于n，交曲線與m，因為線段

7、ab在曲線的上方，g當(dāng)然也在曲線的上方，故即.可推廣為 四、組合串聯(lián)串聯(lián)：按照某一種思路為“軸”，將若干想象活動組合起來，形成一個有層次、有過程，呈“動態(tài)”的想象活動，體現(xiàn)出邏輯遞進。例如，在新授“兩角和與差的三角函數(shù)”一章時，用單位圓與解析幾何中兩點間距離公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式后，抓住“角的變化”這一軸串想，比較容易記住三角學(xué)的一系列基本公式。再將各自分別相加減，得到三角函數(shù)的積化和差公式，又通過角的變換推出和差化積公式。 五、問題質(zhì)疑 問題質(zhì)疑就是提出疑難問題來討論。 在教學(xué)中提出的問題有時學(xué)生得出了錯誤的結(jié)論而且全體學(xué)生都信以為真，這時必有概念模糊，推理不嚴(yán)等問題存在，應(yīng)就學(xué)生解題的過

8、程，層層剖析，通過問題質(zhì)疑，揭露其要害之所在，對疑難之處，要耐心啟發(fā)，循循善誘，不可越俎代庖，才能較好地解決學(xué)生的問題。 例12在項數(shù)為的等差數(shù)列中，求所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項是和之比。 給出如下解答，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則所有奇數(shù)項和所有偶數(shù)項之和 例13一個等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)之和為305，偶數(shù)項之和為276，試求第項。 給出了如下解答： 由 以上例12例13的解法是否正確？命題是否正確？師生展開討論，通過舉例，最后得出了構(gòu)造2n+1項等差數(shù)列命題應(yīng)注意的問題創(chuàng)造性的結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，下面給出個創(chuàng)新的結(jié)論與證明。 下面討論2

9、n+1項等差數(shù)列命題的存在性問題，我們先看2n+1項等差數(shù)列的一個性質(zhì)。在項數(shù)為 2n+1的等差數(shù)列中，奇數(shù)項之和設(shè)為p，偶數(shù)項之和設(shè)為q，p和q有如下關(guān)系：（1） 若p=q，則必有p=q=0。（2） 若p，q中有一個為零，則p=q=0。（3） 若p0，且q0，則p，q必滿足證明：等差數(shù)列的奇數(shù)項及偶數(shù)項分別組成公差為2d的等差數(shù)列。 即 （1） 同理 （2）（） （1）-（2）代入（1） （2）且q=0 （）不妨設(shè)p=0 （）不妨設(shè)p0由（2）可知q0，pq 由（1）（2） 證畢 上述的性質(zhì)說明了如下事實，當(dāng)我們構(gòu)造一個項數(shù)為2n+1的等差列的有關(guān)命題時（）奇數(shù)項的和p與偶數(shù)項和q皆不為零時

10、結(jié)論為真命題（）若p=q或pq且這樣的等差數(shù)列是不存在的，故以此為條件構(gòu)造的任一命題均假命題。例12中，若奇數(shù)項和p與偶數(shù)項的和q為零時，命題不成立，例13中，p=305，q=276，故為假命題。 六、分析綜合分析，是把思維對象分成片段，逐段加以考察、綜合，是把分解的片段再聯(lián)合起來，對整體加以認(rèn)識。可見有分析而無綜合，就得不到完整的認(rèn)識，有綜合而無分析，就難說明認(rèn)識的步驟，分析與綜合是相輔相成的統(tǒng)一過程。在教學(xué)中，無論確立論點、進行推理、作出判斷，都不不開分析與綜合。經(jīng)常地，反復(fù)地闡明這一思維方法，對提高學(xué)生的思維能力與解決問題的能力，是大有裨益的。舉例如下：例14且e，f分別在ab、ac上，

11、求證（如圖）分析分別作、的高fh、eg 若 或 推得的條件符合知己，且每步可逆，綜合起來，命題得正。這個題設(shè)有給出三角形的邊或角，如果考慮用三角法或解析法，就很難解決，這是分析與綜合的典型方法。例15證明分析分別考察左邊三個分式，它們有如下的性質(zhì)。 第一個分式： 當(dāng)時，其值為1，當(dāng)或時，其值為0. 第二個分式：當(dāng)時，其值為1，當(dāng)或時，其值為0. 第三個分式：當(dāng)時，其值為1，當(dāng)或時，其值為0.綜合以上分析，當(dāng)，時，都適合這個關(guān)于的二次式的等式，因此它不是方程而是恒定式，于是命題得證，這個題先抓住一個分式進行考察，逐個擊破，然后再綜合起來，也是分析與綜合常用的方法。通過平時教學(xué)經(jīng)常注意學(xué)生思維方法培養(yǎng)，大多數(shù)學(xué)生形成了良好思維習(xí)慣，遇到問題首先必須善于分想，在分想基礎(chǔ)上按接近、類比、否定關(guān)系進行聯(lián)想，對挫折失敗及時否定，分析綜合，改換思維方向再聯(lián)想，最后又把各種聯(lián)想有機地串起來，揭示更深刻邏輯關(guān)系。教學(xué)中應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實原型作為反映數(shù)學(xué)思維