八年級數(shù)學(xué)上冊·教案（華師大版） 第14章 勾股定理

1、第14章勾股定理141勾股定理141.1直角三角形三邊的關(guān)系1體驗(yàn)勾股定理的探索2會用勾股定理求直角三角形的邊長重點(diǎn)用勾股定理求直角三角形的邊長難點(diǎn)用拼圖法證明勾股定理一、創(chuàng)設(shè)情境下圖是我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖和希臘政府為紀(jì)念希臘歷史上著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯而發(fā)行的一張郵票觀察這兩個圖形，你有什么感想？二、探究新知活動一：問題：如圖所示是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個正方形，回答下列問題：(1)設(shè)每個小正方形的邊長為1個單位，則小正方形P的面積_，小正方形Q的面積_，兩者之和_，大正方形R的兩積_.(2)你發(fā)現(xiàn)了什么？(3)你能把你的發(fā)現(xiàn)與ABC的三邊a，b

2、，c聯(lián)系起來嗎？_活動二：觀察下圖，如果每一小方格表示1平方厘米，用觀察到的結(jié)果填空：(1)正方形P的面積_平方厘米；正方形Q的面積_平方厘米；正方形R的面積_平方厘米；(2)正方形P，Q，R的面積之間的關(guān)系是_；(3)由此得到RtABC的三邊的長度之間存在關(guān)系_活動三：在練習(xí)本上，用三角尺畫出兩條直角邊分別為5 cm、12 cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜邊的長，并驗(yàn)證上述關(guān)系式對這個直角三角形是否成立兩條直角邊的長為6 cm和8 cm呢？活動四：(1)根據(jù)你所得到的關(guān)系式，你能用數(shù)學(xué)語言把這個結(jié)論敘述出來嗎？(2)運(yùn)用此定理的前提條件是什么？(3)公式a2b2c2的變形公式有哪些？(4

3、)由(3)知在直角三角形中，只要知道_條邊，就可以利用_求出_三、練習(xí)鞏固1(1)在RtABC中，C90°，AC5，BC12，則AB_；(2)在RtABC中，C90°，AB25，AC20，則BC_；(3)在RtABC中，C90°，它的兩邊長是6和8，則它的第三邊長是_2如圖，在ABC中，AB13，BC14，AC15，求BC邊上的高四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師歸納總結(jié)作業(yè)教材第117頁習(xí)題14.1第1，2，3題新課程標(biāo)準(zhǔn)對勾股定理這部分教學(xué)要求與舊大綱有所不同，新課程標(biāo)準(zhǔn)對勾股定理這部分的教學(xué)要求是：

4、體驗(yàn)勾股定理的探索過程，會用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題本節(jié)課教師從引導(dǎo)結(jié)構(gòu)的圖形入手，用面積法證明勾股定理難度不大，但面積法在教材中首次用到，基于此教師在教學(xué)過程中應(yīng)給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生體會成功的快樂141.2直角三角形的判定1理解勾股定理的逆定理的證明方法2能用勾股定理的逆定理判別一個三角形是直角三角形重點(diǎn)用勾股定理的逆定理判別一個三角形是直角三角形難點(diǎn)勾股定理逆定理的證明一、創(chuàng)設(shè)情境實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)方法：用一根打上13個等距離結(jié)的細(xì)繩子，讓同學(xué)操作，把釘子釘在第一個結(jié)上，再釘在第4個結(jié)上，再釘在第8個結(jié)上，最后將第十三個結(jié)與第一個結(jié)釘在一起，然后用角尺量出最大角的度數(shù)(90°)，可

5、以發(fā)現(xiàn)這個三角形是直角三角形顯示投影片1二、探究新知教師活動：古埃及人曾經(jīng)用過這種方法來得到直角，這個三角形三邊長分別為多少？(3，4，5)這三邊滿足了怎樣的條件呢？(324252)，是不是只有三邊長為3，4，5的三角形才能構(gòu)成直角三角形呢？請同學(xué)們動手畫一畫，如果三角形的三邊分別為2.5 cm，6 cm，6.5 cm，滿足關(guān)系式“2.52626.52”，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為5 cm，12 cm，13 cm或8 cm，15 cm，17 cm呢？學(xué)生活動：動手畫圖，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，得到猜想教師活動：操作投影儀，提出探究的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，然后再提問個別學(xué)生學(xué)生活動：拿出事先準(zhǔn)備

6、好的紙片、剪刀，實(shí)驗(yàn)、領(lǐng)會、感悟：(1)它們完全重合；(2)理由：在ABC中，AB2BC2AC2a2b2，因?yàn)閍2b2c2，因此，ABc.在ABC和ABC中，BCaBC，ACbAC，ABcAB，推出ABCABC，所以CC90°，可見ABC是直角三角形教師歸納：如果一個三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，且邊c所對的角是直角教學(xué)說明：采用實(shí)驗(yàn)、觀察、比較的教學(xué)方法，突破難點(diǎn)出示習(xí)題：(投影顯示)1以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()A5，6，7B10，8，4C7，25，24 D9，17，152以下列各組正數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()Aa

7、1，2a，a1 Ba1，2，a1Ca1，a1 Da1，a1答案：1.C2.B，(a1)2(2)2(a1)2.教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生用勾股定理的逆定理判別直角三角形的方法兩較小邊的平方和等于第三邊的平方三、練習(xí)鞏固1某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航號”和“海天號”輪船同時離開港口，各自沿固定的方向航行，“遠(yuǎn)航號”每小時行16海里，“海天號”每小時行12海里，它們離開港口1.5小時后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航號”沿東北方向航行，能知道“海天號”沿哪個方向航行嗎？2若ABC的三邊a，b，c滿足條件a2b2c233810a24b26c，試判斷ABC的形狀四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么？有何收獲

8、？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師歸納總結(jié)作業(yè)教材第118頁習(xí)題14.1第5題這節(jié)課在勾股定理的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)會如何從三邊的關(guān)系來判定一個三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”在證明它時，學(xué)生可能有些困難，因此課堂教學(xué)時先動手操作觀察，進(jìn)而得出用勾股定理證明ABAB.教案中設(shè)計題型前呼后應(yīng)，使知識有序推進(jìn)，有助于學(xué)生理解與掌握；通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，并從中獲得成功的體驗(yàn)，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人141.3反證法1理解反證法2會用反證法證明較簡單的題重點(diǎn)用反證法證明幾何命題難點(diǎn)反證法中滲透“正難則反”的思想一、創(chuàng)設(shè)情境出示多媒體，展示路旁苦

9、李的故事的動畫場景，引入反證法的課題二、探究新知(一)提出問題1兩點(diǎn)確定_條直線：過直線外一點(diǎn)有且只有_條直線與已知直線平行；過一點(diǎn)有且只有_條直線與已知直線垂直2在RtABC中，如果ABc，BCa，ACb，且C90°，那么a，b，c三邊有怎樣的關(guān)系？(二)問題探究1問題：若將上面的條件改為“在ABC中，ABc，BCa，ACb，C90°”，請問結(jié)論a2b2c2成立嗎？請說明理由2探究：假設(shè)a2b2c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且C90°，這與已知條件C90°矛盾，因此假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論a2b2c2成立3歸納：這種證明方法與前面的證

10、明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確的邏輯推理，得出與已知、定理、公理、定義矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論正確像這樣的證明方法叫做反證法4應(yīng)用例1(教材第116頁例5)求證：兩條直線相交只有一個交點(diǎn)已知：兩條相交直線l1與l2.求證：l1與l2只有一個交點(diǎn)證明：假設(shè)l1與l2不止一個交點(diǎn)，不妨假設(shè)l1與l2有兩個交點(diǎn)A和B，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過點(diǎn)A和B的直線只有一條，與已知兩條直線矛盾，所以兩條直線相交只有一個交點(diǎn)例2(教材第116頁例6)求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.已知：ABC.求證：ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.例

11、3(補(bǔ)充)求證：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行(1)你首先會選擇哪一種證明方法？(2)如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？(3)能不用反證法證明嗎？你是怎樣證明的？三、練習(xí)鞏固1寫出用“反證法”證明下列命題的第一步假設(shè)(1)互補(bǔ)的兩個角不能都大于90°；(2)在ABC中，最多有一個鈍角；(3)在ABC中，最大的一個內(nèi)角不小于60°.2反證法證明：如果實(shí)數(shù)a，b滿足a2b20，那么a0且b0.四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師歸納總結(jié)作業(yè)教材第117頁練習(xí)第2題反證法是一種

12、重要的證題方法，也是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，如何突破這一難點(diǎn)，并讓學(xué)生更好地理解和掌握是需要教師精心設(shè)計的在教學(xué)時應(yīng)注意三個思維障礙：1.思維方向的轉(zhuǎn)換，不能總用直接法；2.證明步驟存在障礙；3.歸謬起點(diǎn)推證存在障礙為使學(xué)生更好地理解并掌握反證法，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生克服上述思維上的障礙，并通過有關(guān)題目訓(xùn)練，使學(xué)生掌握反證法教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)當(dāng)結(jié)論的反面不止一種情況時，應(yīng)窮舉；“歸謬”這一步應(yīng)包含“歸導(dǎo)”與“揭謬”兩個層次142勾股定理的應(yīng)用第1課時勾股定理的應(yīng)用(1)1會用勾股定理解決較綜合的問題2樹立數(shù)形結(jié)合的思想重點(diǎn)勾股定理的綜合應(yīng)用難點(diǎn)勾股定理的綜合應(yīng)用一、創(chuàng)設(shè)情境如圖，在5×5的正方形網(wǎng)

13、格中，每個小正方形的邊長都要為1，請?jiān)诰W(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：(1)從點(diǎn)A出發(fā)畫一條線段AB，使它的另一個端點(diǎn)B在格點(diǎn)(即小正方形的頂點(diǎn))上，且長度為2；(2)畫出所有的以(1)中AB為邊的等腰三角形，使另一個頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且另兩邊的長度都是無理數(shù)二、探究新知如圖，滑竿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動，ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂點(diǎn)A在AC上運(yùn)動，量得滑竿下端B距點(diǎn)C的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動0.5米時，求滑竿頂端A下滑多少米？分析：滑竿在下滑中它的長度是不變的，先在RtACB中利用勾股定理求出AC的長，然后再在RtECD中利用勾股定理求出CE的長，即可求出AE的長教師點(diǎn)撥：勾股定理在實(shí)際

14、生活中有著廣泛的應(yīng)用，它的前提是直角三角形，在求解時常運(yùn)用題目中的條件構(gòu)造直角三角形，而構(gòu)造直角三角形的方式有兩種：一是根據(jù)已知條件中的直角構(gòu)造；二是作垂線構(gòu)造三、練習(xí)鞏固1如圖是一個外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸(單位：mm)，計算兩圓孔中心A和B之間的距離2從地圖上看(如圖所示)，南京玄武湖東西向隧道與中央路北段及龍蟠路大致成直角三角形從B處到C處，如果直接走湖底隧道BC，將比繞道BA(約1.36 km)和AC(約2.95 km)減少多少行程(精確到0.1 km)?四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師歸納總結(jié)作業(yè)

15、教材第123頁習(xí)題14.2第13題本課時所學(xué)內(nèi)容是用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題(或數(shù)學(xué)問題)在實(shí)際生活中，很多問題可以用勾股定理解決，而解決這類問題都需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是通過構(gòu)造直角三角形來完成教學(xué)時應(yīng)注意如何構(gòu)造直角三角形，找出已知兩個量，求出第三個量，或者利用勾股定理建立幾個量之間的關(guān)系，解決問題時注意讓學(xué)生動手，畫出圖形，從而建立直角三角形模型第2課時勾股定理的應(yīng)用(2)1會用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題2樹立數(shù)形結(jié)合的思想重點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用難點(diǎn)實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化一、創(chuàng)設(shè)情境從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，讓學(xué)生畫好圖； 在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件

16、，教師要向?qū)W生交代清楚，解釋明白；優(yōu)化訓(xùn)練，在不同條件、不同環(huán)境中反復(fù)運(yùn)用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用、靈活運(yùn)用的程度；讓學(xué)生深入探討，積極參與到課堂中，發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動性二、探究新知例1如圖，一圓柱體底面周長為20 cm，高AB為4 cm，BC是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個側(cè)面展開(如圖)，得到長方形ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖長方形對角線AC之長(精確到0.01 cm)解：如圖，在RtABC中，BC底面周長的一半10 cm，AC10.77(cm)(

17、勾股定理)答：爬行的最短路程約為10.77 cm.例2在RtABC中，已知兩直邊a與b的和為p cm，斜邊長為q cm，求這個三角形的面積解：abp，cq，a22abb2(ab)2p2，a2b2q2(勾股定理)，2abp2q2，SRtABCab(p2q2)(cm2)教學(xué)說明：因?yàn)镽tABC的面積等于ab，所以只要求出現(xiàn)ab就可以完成本道題分析已知條件可知abp，cq，再聯(lián)想到勾股定理a2b2c2，則這個問題就可以化歸到一個代數(shù)問題上解決，由abp，a2b2q2，求出ab.教師活動：操作投影儀，顯示“課堂演練”，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，關(guān)注“學(xué)困生”學(xué)生活動：先獨(dú)立完成，當(dāng)有困難時，尋求同伴的幫助，通過相互交流以解決問題三、練習(xí)鞏固1一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門(廠門上方為半圓形拱門)?2如圖，CD6 cm，AD8 cm，ADC90°，BC24 cm，AB26 cm.求圖中陰影部分的面積四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)這節(jié)課你學(xué)到了什么？有何收獲？有何