極限存在準則與兩個重要極限(13)課件

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限存在準則一、函數(shù)極限存在準則 第二章第二章 2.62.6 兩個重要的極限兩個重要的極限定理定理,),(0時當xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且且一、一、函數(shù)極限存在的準則函數(shù)極限存在的準則兩邊夾準則兩邊夾準則證明方法類似數(shù)列極限的證明方法類似數(shù)列極限的兩邊夾準則（兩邊夾準則（證明略證明略）例例1 證明證明0sinlim0 xxxx sin0,20時時當當 x證明證明0sinlim0 xx,1coslim,1sinlim00 xxxxxx20coslim1

2、coslim0 xx1)sin1 (lim20 xx并且當并且當x 趨于趨于0時時cos x大于大于0，例例2 證明證明1coslim0 xx2sin2cos102xx 證明證明222122xx0)cos1 (lim0 xx1coslim0 xx另證另證記住記住xxxxcoslim,sinlim都不存在！都不存在！xxxxcotlim, 0tanlim00nnnnn22212111lim證明證明:例例3. 求求xxxn22212111nnn2, 1111lim1lim22nnnnn12nn1111limlim2nnnnnn由數(shù)列極限的由數(shù)列極限的兩邊夾準則可得兩邊夾準則可得.1sincosxx

3、x圓扇形圓扇形AOB的面積的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 型型001sinlim. 10 xxx證證: 當當即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx)2,0(x時，時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例5. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 則則,sint

4、x 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例 6 求求20cos1limxxx20cos1limxxx解解 2202sin2limxxx220242sin2limxxx2122sinlim2120 xxx一般公式一般公式,1)()(sinlim)(0 xxxxx0)()(0 xxx時時，其其中中當當例例 7求求30sintanlimxxxx解解 20cos1limxxx30sintanlimxxxxxxxxxcos)cos1 (sinlim30 xxcos1lim0 xxxsinlim020cos1sincos1limxxxxxx由上面幾個例題可知下面幾個由上面幾個例

5、題可知下面幾個等價的無窮小量等價的無窮小量.,sinxx當當x 趨于趨于0時時,tanxxxxsintan,arcsinxx2)cos1 (2xx, 0)()(0 xxx時時，若若當當),()(sinxx),()(tanxx時時則當則當)(0 xx),(sin)(tanxx)()(arcsinxx2)()(cos1 (2xxe10)1 (limennn)11 (limexxxxx)()()(11lim0exxx11lim（函數(shù)形式）（函數(shù)形式）（數(shù)列形式）（數(shù)列形式）（一般形式）（一般形式）)()(0 xxx時時，其其中中當當)1(第二個重要極限第二個重要極限xxxx1lim22xxxxxx11limxxxxxx111lim111lim.)1 (lim1xxx解解: 令令, xt則則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1例例2. 求求xxxx1lim22xxxxxxxx1lim1lim解解例例1. 求求11)1(111111limxxxx111111lim)1(xxx