二次方程根的分布情況歸納(完整版)

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程ax2+bx + c = 0根的分布情況設方程兄+加+ C = O（dHO）的不等兩根為州,吃且A-, < x2,相應的二次函數(shù)為/（x） = 2+ + c = O,方程的根即為二次函數(shù)圖象與X軸的交點，它們的分布情況見下面務表（每種情況對應的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）分布情況O 大致圖象(>) aar/ I /ILrL得出的結論o o o < > A>±2«一 /o o o > > A>±加一 /o < /(O 大致圖

2、象(V )a1yA-1/ y丄rn/r得出的結論o o o < < A>±2«一 /o o o > < A>mo> /(綜合結論(不討論").、o )o > o <A>b2a/(0o )o > o > ) > 7 /o b 2/(o</(a表二：（兩根與k的大小比較）分布情況兩根都小于斤即<k. <k兩根都大于代即x. > k. > k一個根小于k, 一個大于*即x. <k <xO 大致圖象(> )得出的結論Ro o < >oO

3、<>Kzr(/大致圖象(y得出的結論o < < A>±加一 / ' I sRo o > <o>)/(綜合結論(不討論d) >0_JL>k2awf(k)>0"/(燈<08表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況>)q ,< 內p o <9/? (/-<H 一 內大 致 圖 象a >0yJ / yJ y- / n m3得出的結論o o <77o町町b 2> (A / /z<<或 o o o o< < > 眄町p)d z( z( /(

4、z( / / / / X a <0Ay AJA人yAv1 X3XAX h1£3X q 乂 p n1 r/得出的結論OOQ o-)<哄丄加 > o o 一 A / / Y<或 o o o o> > < 7( /IX z( z( / / / /綜合結論(不討論")o o < < JZ / / / n nr G o 了 丿根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間（mjt）外，即在區(qū)間兩側召（圖形分別如下）需滿 足的條件是(2)。<0時,/(問 >0 /(«)>°對以上的根的分布表中一些

5、特殊情況作說明：（1）兩根有且僅有一根在（加丿）內有以下特殊情況: 1°若f （加）=0或/（/?） = 0,則此時/（/«）/（77） 0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為加或",可以求岀另外一根，然后可以根搦另一根在區(qū)間（?,）內，從而可以求岀參數(shù)的值。如方程機F（7 + 2）x+2 = 0在區(qū)2 2 2間（1,3）上有一根，因為/（1） = 0»所以機疋一伽+ 2） x+2 = （x -1）（機丫 一 2）,另一根為一，由lv二3得§v/"v2 即為所求；2°方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間（加川）內，即4 =

6、 0,此時由A = 0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給左的區(qū)間內，如若不在，舍去相應的參數(shù)。如方程疋-4涇+ 2? + 6 = 0有 且一根在區(qū)間（一3,0）內，求加的取值范用。分析:由/（-3）./（0）0即（14/77+15）（w + 3）0得出-3 5 V-罟： 由 = （）即16,一4（2加+ 6） = 0得岀7/7 = -1或加=二，當加=一1時，根x = 2e（3,0）,即加=一1滿足題意：233is當加二二時，根兀=3點（一3,0）,故/« = -不滿足題意；綜上分析，得出一或加=一12v 7214根的分布練習題例1、已知二次方程

7、（加+ 1）/一2皿+（加一 1） = 0有一正根和一負根，求實數(shù)加的取值范圍。 解:由（2w+l）./（0）0即（2m+l）（m-l）0,從而得一-m 1即為所求的范圍。2例2、已知方程2?-（/77 + l）X + /? = 0有兩個不等正實根，求實數(shù)川的取值范亂解：由A>0一（? + 1）>022/（0）>0（加+ 1一87>0=> < m > -1m>0m <3 - 2近或m > 3 + 2>/2777 >0=>0 5<3-2近或山>3 + 2近即為所求的范圍。例3.已知二次函數(shù)y = （m +

8、2）F _（2m + 4）x+（3m + 3）與x軸有兩個交點，一個大于1, 一個小于1,求實數(shù)加的取值范圍。解：由（?n+2）./（l）<0即（加+ 2）（2加+ 1）<0 => -2<m<-即為所求的范圍。2例4、已知二次方程Lrn-3）x+4 = 0只有一個正根且這個根小于1,求實數(shù)川的取值范帀。解：由題意有方程在區(qū)間（0,1） ±只有一個正根，則/（0>/（1）<0 => 4（37+1）v0 => m<-即為所求范圍。（注：本題對于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個根在（0,1）內，由厶=0汁算檢驗，均不復合題

9、意，il-算量稍大）例1、當關于X的方程的根滿足下列條件時，求實數(shù)"的取值范用：（1）方程x2-ax + a2-7 = 0的兩個根一個大于2,另一個小于2：（2）方程7尤2_（“ + 13）兀+ /_“_2 = 0的一個根在區(qū)間（0,1）上，另一根在區(qū)間（1,2）上：（3）方程，+處+ 2 = 0的兩根都小于0： 變題：方程，+俶+ 2 = 0的兩根都小于-1.方程x2-（a + 4）x 一 2/ + 5“ + 3 = 0的兩根都在區(qū)間1,3上；（5）方程x2-ax + 4 = 0在區(qū)間（-1, 1）上有且只有一解；例2、已知方程x2-mx + 4 = 0在區(qū)間-1, 1上有解，求實

10、數(shù)加的取值范圍.例3、已知函數(shù)f（x）=nvc2 +（m-3）x + 的圖像與x軸的交點至少有一個在原點右側，求實數(shù)加的取值范圍. 檢測反饋：1. 若二次函數(shù)f（x） = x2-（a-）x+5在區(qū)間（丄,1）上是增函數(shù)，則/的取值范圍是.22. 若a、p是關于x的方程x2-2kx + k + 6 = 0的兩個實根，貝ij （a -1）2 + （p -1）2的最小值為.3. 若關于x的方程x2 + （m-2）x+2m- = 0只有一根在（0,1）內，則“疋.4. 對于關于x的方程x2+（2m-l）x+4 -2m=0求滿足下列條件的m的取值范用：（1）有兩個負根（2）兩個根都小于-1（3） 一個根

11、大于2, 個根小于2（4）兩個根都在（0 , 2）內（5） 一個根在（-2, 0）內，另一個根在（1, 3）內（6） 個根小于2, 個根大于4（7）在（0,2）內有根（8）一個正根，一個負根且正根絕對值較大5. 已知函數(shù)f（x） = nix2 +A -1的圖像與x軸的交點至少有一個在原點的右側，求實數(shù)m的取值范用。2、二次函數(shù)在閉區(qū)間，”打上的最大、最小值問題探討設/（x） = ar+Z7A + c = 0（f/>0）,則二次函數(shù)在閉區(qū)間心川上的最大、最小值有如下的分布情況:bin < n < -2am<-<n El卩-上-w rnji2a2ab一< m &

12、lt; it 2a1y丿)=a? + 加+u = 0> 0):p、tK /A 1 Z*yJ = ax2 -Vhx-Vc = 0 a > 0 l: / /4-*yJ1 = a? 4-bx + c = 0> 0 )kIAIi 1)m nk)mnX3r.、m |q X最大、最小值= f(m)/Mm = /(«)/Wmax = max/(n),/(?«)/(Qmin = /命)/(Qmax = /(")/U)nun = fM對于開口向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論:若-' 皿» 則 /U)max = m

13、aX<» /(Emin = milV /("J/(一鬆/(") ' :若 一 2 左加，"'則 /(Emax =【MX /(?),/(") /(Qmm =而】/(),/(")2a另外，當二次函數(shù)開口向上時，自變疑的取值離開兀軸越遠，則對應的函數(shù)值越大；反過來，當二次函數(shù)開口向下 時.自變量的取值離開X軸越遠.則對應的函數(shù)值越小©二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個方而入手：開口方向、對稱軸以及閉區(qū)間，以下三個例題 各代表一種情況。例1、函數(shù)f(x) = ax2-

14、2cix+2+b(a0)在2,3上有最大值5和最小值2,求的值。解：對稱軸x0 = l2,3,故函數(shù)/(x)在區(qū)間2,3上單調匚(1)當0時，函數(shù)/(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，故<U(Ln=/(2)3a + b + 2 = 5 (a = 1=> =>2+b = 2b = 0(2)當ovO時，函數(shù)/(x)在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，故<=>3a + b + 2 = 2=>a = -1b = 3例2、求函數(shù)f(x) = x2 -2tu + l,xeh3的最小值。解：對稱軸x0 =«(1)當GV1 時，)爲=/(1) = 2-2“(2)當 15*3時，=/

15、(«) = 1-2;(3)當a>3時,=/(3) = 10-6a 改：1.本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何？解：(1)當a<2時，/(兀)訃=/(3)= 10-6“：(2) 當a>2時，/(x)na =/(l) = 2-2z/.2.本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進行？6解：(1)當xl時,/()_=/(3) = 10-6«,于(町品*(1) = 2-加;當 1SV2時，/(x)_= /=10-& /(嘰n=f(o) = l-/：(3) 當2“v3時,口0喚 *(1) = 2-加,/(X)品=口0 = 1-幾 當心時,/(%)_=/(1) = 2-2«, /(xLn=/(3) = 10-6 例3、求函數(shù)y = x2 一4兀+ 3在區(qū)間/+1上的最小值。解：對稱軸x0=2(1)當 2<t 即/>2 時，ymin=/(0 = /2-4z + 3； (2)當 r<2<r + lRPl<r<2 時，血 *(2)= -1：(3)當2>/ + 1 即時，=/(r + i)