機(jī)械制圖-點(diǎn)、直線、平面的投影

1、 2.1 2.1 投影法及其分類投影法及其分類 2.2 2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 2.3 2.3 直線的投影直線的投影 2.4 2.4 平面的投影平面的投影 2.5 2.5 直線與平面及兩平面的直線與平面及兩平面的 相對(duì)位置相對(duì)位置 本章小結(jié)本章小結(jié)結(jié)束放映結(jié)束放映平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法2.1 2.1 投影法及其分類投影法及其分類投影法投影法投射線投射線物體物體投影面投影面投影投影 投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法該面上得到圖形的方法投影法投影法。投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法中心投影法

2、中心投影法 投投射中心、物體、投影面三者之間的相射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。 度量性較差。度量性較差。投影特性投影特性物體位置改物體位置改變，投影大變，投影大小也改變。小也改變。投射線投射線物體物體投影面投影面投影投影投射中心投射中心平行投影法平行投影法投影特性投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好。度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法畫透視圖畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫斜

3、軸測(cè)圖畫工程圖樣畫工程圖樣及正軸測(cè)圖及正軸測(cè)圖投影法小結(jié)投影法小結(jié) P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A的投射線的投射線與投影面與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 點(diǎn)在一個(gè)投影面上點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。間位置。1. 點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a 2.2 2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影解決辦法？解決辦法？H HW WV V2. 點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影投影面投影面 正面投影面（正面投影面（V V 面）面） 水平投影面（水平投影面（H H 面）面

4、） 側(cè)面投影面（側(cè)面投影面（W W 面）面） 投影軸投影軸O OX XZ Z OXOX軸軸 V V 面與面與H H 面的交面的交線線 OZOZ軸軸 V V 面與面與W W 面的交面的交線線 OYOY軸軸 H H 面與面與W W 面的交線面的交線三個(gè)投影面三個(gè)投影面互相垂直互相垂直Y YW WH HV VO OX XZ ZY Y空間點(diǎn)空間點(diǎn)A A在三個(gè)投影面上的投影在三個(gè)投影面上的投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的正面投影的正面投影a點(diǎn)點(diǎn)A A的水平投影的水平投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的側(cè)面投影的側(cè)面投影注意：注意：空間點(diǎn)用大寫字母空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。小寫字母表示。a aa

5、A AX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動(dòng)不動(dòng)投影面展開投影面展開W WVH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O Z Z點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律: a aOXOX軸軸 aax= a ax=aay=azY YY YZ Za X XayO Oaaxaya a a OZOZ軸軸=y=A Aa （A A到到V V面的距離）面的距離）a az=x=A Aa （A A到到W W面的距離面的距離）a ay=z=A Aa（A A到到H H面的距離面的距離）X XY YO OV VH HW WA Aaa a xaazaya a

6、zZ Z點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律: a , a a , a azY YY YZ Za X XayO Oaaxaya 數(shù)字表示數(shù)字表示: A ( x ,y ,z ) 圖形表示圖形表示A (a , a , a ) 長(zhǎng)對(duì)正長(zhǎng)對(duì)正 高平齊高平齊寬相等寬相等X XY YO OV VH HW WA Aaa a xaazaya , a V,HV,WH,Wa ( x ,y) a (x ,z ) a (y ,z )a aax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。a aa axazaz解法一解法一:通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二:用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a

7、az=aaxa 3.3.兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的點(diǎn)在空間的上下、前后、上下、前后、左右左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法： x 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)之前、點(diǎn)之前、之右、之下。之右、之下。b aa a b bX XY YY YZ ZO O 在圖上直觀判斷在圖上直觀判斷 利用點(diǎn)的坐標(biāo)判斷利用點(diǎn)的坐標(biāo)判斷后后前前左左 右右( )重影點(diǎn)：重影點(diǎn)： 空間兩點(diǎn)在某空間兩點(diǎn)在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合為一點(diǎn)重合為一點(diǎn)時(shí)，則時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為稱此兩點(diǎn)為該投影該投影

8、面面的重影點(diǎn)。的重影點(diǎn)。被擋住的投被擋住的投影加影加( )( )A、C為哪個(gè)投為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)影面的重影點(diǎn)呢？呢？c a cc a a aa a b b b2.3 2.3 直線的投影直線的投影 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的同名投影同名投影用直線連接，用直線連接，就得到直線的同名投影。就得到直線的同名投影。1) 直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性1. 直線的投影特性直線的投影特性 B BA Aa b直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn) 積積 聚聚 性性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=AB

9、AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABABcos B BA Aab A AM MB Babm 2) 2) 直線在三個(gè)投影面中的投影特性直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于正平線（平行于面）面）側(cè)平線（平行于側(cè)平線（平行于面）面）水平線（平行于水平線（平行于面）面）正垂線（垂直于正垂線（垂直于面）面）側(cè)垂線（垂直于側(cè)垂線（垂直于面）面）鉛垂線（垂直于鉛垂線（垂直于面）面）一般一般位置位置直線直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面

10、都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊統(tǒng)稱特殊位置位置直線直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。相對(duì)位置。 投影面平行線投影面平行線Y YX XZ ZbaaO OY Yabb水平線水平線實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)在其平行的那個(gè)投影面在其平行的那個(gè)投影面 上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并 反映直線與另兩投影面反映直線與另兩投影面 傾角的實(shí)大。傾角的實(shí)大。另兩個(gè)投影面上的投影另兩個(gè)投影面上的投影 平行于相應(yīng)的投影軸，平行于相應(yīng)的投影軸， 其到相應(yīng)投影軸距離反其到相應(yīng)投影軸距離反 映直線與它所平行的投映直線與它所平行的投 影面之間的距離。影面之間

11、的距離。投影特性：投影特性：V VH HabABW Wabab判斷下列直線是什么位置的直線？判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線與與H面的夾角面的夾角: : 與與V面的角面的角:與與W面的夾角面的夾角:實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) b a aba b 直線與投影面夾角的表示法：直線與投影面夾角的表示法：b aa b ba 反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個(gè)投影另外兩個(gè)投影， 在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上， 投影有積聚性投影有積聚性。投影特性投影特性: :a b a(

12、b)a b c (d )cdd c e f efe (f ) 一般位置直線一般位置直線Z ZY YaO OX Xb bY Ya b a 三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長(zhǎng)度均比空間線段短，即都不反映空間線段投影的長(zhǎng)度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)。的實(shí)長(zhǎng)。投影特性：投影特性：H HaaAb V VBbW Wa b acX XY YY YbO OZ ZbacacbAH HacV VBbCW Wbcabca2. 直線與點(diǎn)的相對(duì)位置直線與點(diǎn)的相對(duì)位置

13、 若點(diǎn)在直線上若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影 上。上。 點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相 同的比例。即：同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c :c b 定比定理定比定理例例1 1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)C是否在線段是否在線段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c 不在不在應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理另一判斷法另一判斷法?aa b c bcaa b bkk 例例2 2：已知點(diǎn)：已知點(diǎn)K在線段在線段AB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（

14、應(yīng)用第三投影）（應(yīng)用第三投影）解法二：解法二：（應(yīng)用定比定理）（應(yīng)用定比定理）aa b bka b k k 3. 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉（異面）、垂直。平行、相交、交叉（異面）、垂直。1) 1) 兩直線平行兩直線平行 空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。acdbcdabO OX X bcdH HAd aCcV VaDbB 例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。 對(duì)于一般位置直線，對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互只要有兩組同

15、名投影互相平行，空間兩直線就相平行，空間兩直線就平行。平行。AB與與CD平行。平行。AB與與CD不平行。不平行。 對(duì)于特殊位置直線，對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。a b c d cbad d b a c b d c a abcdc a b d 2) 2) 兩直線相交兩直線相交 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影必則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。影特性。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)cabd b a c d kk ac V VX X

16、b H HDacdkCAkKd bO OBcd k kd例：過例：過C點(diǎn)點(diǎn)作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例：判斷直線例：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置。的相對(duì)位置。c abdabcd相交嗎？相交嗎？不相交！不相交！為什么？為什么？ 交點(diǎn)不符合交點(diǎn)不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投空間一個(gè)點(diǎn)的投影特性。影特性。判斷方法？判斷方法？ 應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理 利用側(cè)面投影利用側(cè)面投影3) 3) 兩直線交叉兩直線交叉為什么？為什么？?jī)芍本€相交嗎？?jī)芍本€相交嗎？不相交！不相交！ 交點(diǎn)不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律！交點(diǎn)不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律！cabdO OX XdbacacA

17、CV VbH HdDBcdbaacACV VbH HdDBcdbacabdO OX Xdbac1(2)1(2)2 21 1投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一是兩直線上的一 對(duì)對(duì)重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。用其可幫助判斷兩直線的空間位置。1(2)1(2)1 12 24 43 (43 (4 ) )3 33 (43 (4 ) )3 34 4 4) 4) 兩直線垂直（垂直相交或垂直交叉）兩直線垂直（垂直相交或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性：

18、 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。上的投影仍為直角。設(shè)設(shè) 直角邊直角邊BC/H面面因因 BCAB, 同時(shí)同時(shí)BCBb所以所以 BCABba平面平面直線在直線在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc為直角為直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbc證明：證明：BACabcHa c b abc.caba b c d例：過例：過C點(diǎn)作直線與點(diǎn)作直線與AB垂直相交。垂直相交。AB為正平線為正平線, 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.d 2.4 2.4 平面的投影平面的投影1. 平面的表示法平面的

19、表示法不在同一不在同一直線上的直線上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)直線及直線及線外一線外一點(diǎn)點(diǎn)abca b c dd 兩平行直兩平行直線線abca b c 兩相交兩相交直線直線平面平面圖形圖形c abca b caba b c baca b c 2. 平面的投影特性平面的投影特性垂直垂直傾斜傾斜投影特性：投影特性：平面平行投影面平面平行投影面投影就把實(shí)形現(xiàn)投影就把實(shí)形現(xiàn)平面垂直投影面平面垂直投影面投影積聚成直線投影積聚成直線平面傾斜投影面平面傾斜投影面投影類似原平面投影類似原平面實(shí)形性實(shí)形性類似性類似性積聚性積聚性1) 1) 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行平行2) 2) 平面在三投影

20、面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面 投影面垂直面投影面垂直面為什么？為什么？是什么位置的是什么位置的平面？平面？類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂

21、面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。c c abca b b a a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投

22、影軸平行的直線。 一般位置平面一般位置平面三個(gè)投影都類似。三個(gè)投影都類似。投影特性：投影特性：a b c a c b abca c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC與與H H面的夾角為面的夾角為4545，已知其水，已知其水 平投影及頂點(diǎn)平投影及頂點(diǎn)B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正的正 面投影及側(cè)面投影。面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個(gè)解？思考：此題有幾個(gè)解？45453. 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：1) 1) 平面上取任意直線平面上取任意直線M MN NA AB BM M 若一直線過平面上

23、的兩若一直線過平面上的兩 點(diǎn)，則此直線必在該平點(diǎn)，則此直線必在該平 面上。面上。 若一直線過平面上的一若一直線過平面上的一 點(diǎn)且平行于該平面上的點(diǎn)且平行于該平面上的 另一直線，則此直線在另一直線，則此直線在 該平面上。該平面上。 abcb c a d d例：已知平面由直線例：已知平面由直線AB、AC所確定，在所確定，在 平面內(nèi)任作一條直線。平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有無數(shù)解！有無數(shù)解！n m nmabcb c a 例：在平面例：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距離為面的距離為10mm10mm。n m nm10

24、10 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？c a b cab2) 2) 平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面上的一條直線作為先找出過此點(diǎn)而又在平面上的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例：已知例：已知K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABC上，求上，求K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。baca k b c 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：d d利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線首先面上取線kabca b k c kbckk b例：已知例：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊為正平線，補(bǔ)全平行四邊

25、形形ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c ada d b c dede10 1010 10mm例：在例：在ABCABC內(nèi)取一點(diǎn)內(nèi)取一點(diǎn)M M，并使其到，并使其到H H面和面和V V面的距離均為面的距離均為10mm10mm。bcX XbcaaO O2.5 2.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括相對(duì)位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。1. 1. 平行問題平行問題 直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行包括包括1) 直線與平面平行直線與平面平行 若平面外的一直線平行于平面內(nèi)若平面外的一直線平行

26、于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。的某一直線，則該直線與該平面平行。n a c b m abcmn例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)M作直線作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無數(shù)解有無數(shù)解有多少解？有多少解？d d正平線正平線例：過例：過M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。唯一解唯一解nn d dc b a m abcm2) 2) 兩平面平行兩平面平行 若一平面上的若一平面上的兩相兩相交直線交直線分別平行于另分別平行于另一平面上的一平面上的兩相交直兩相交直線線，則這兩平面相互，則這兩平面相互平行。平行。 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平行，則它們相互平行，則它們具具

27、有積聚性有積聚性的那組投影的那組投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e kk 由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故兩平面故兩平面不平行。不平行。例：判斷平面例：判斷平面ABDCABDC與平面與平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知ABABCDCDEFEFMHMHacebb a d dfc f e hh O OX Xm m 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。面的共有點(diǎn)。2. 相交問題相交問題直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交1)1)直線與平面相交直線與

28、平面相交要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)。交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可判別可 見性。見性。 我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。殊位置的情況。例：求直線例：求直線MN與平面與平面ABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC是一鉛垂面，是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直線，該直線與線，該直線與mn的交點(diǎn)即的交點(diǎn)即為為K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，

29、由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 為可見。為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。作圖作圖用線上用線上取點(diǎn)法取點(diǎn)法 平面為特殊位置平面為特殊位置abcmnc n b a m k k1 1 ( (2 2 ) )2 21 11 1 ( (2 2 ) )km(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MN為鉛垂線，其為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)故交點(diǎn)K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平

30、面上，在位于平面上，在前；點(diǎn)前；點(diǎn)位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 為不可見為不可見。k 2 2 1 1作圖作圖用面上取點(diǎn)法用面上取點(diǎn)法2) 2) 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平交線是兩平面的共有線，面的共有線，同時(shí)同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。要討論的問題：要討論的問題：(1) (1) 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置只討論兩平面中至少有一個(gè)處

31、于特殊位置的情況。的情況。(2) (2) 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。判別可見性?？赏ㄟ^正面投影可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別。abcdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC與與DEF都為都為正垂面正垂面，它們的，它們的交線為一交線為一條正垂線條正垂線，兩平面，兩平面正面投正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，投影，交線的水平投影垂交線的水平投影垂直于直于OX軸軸。 求交線求交線 判別可見性判別可見性作圖作圖 從正面投影上可看從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面出，

32、在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可見?？梢?。nm能能!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性。能否不用重能否不用重影點(diǎn)判別？影點(diǎn)判別？abcdefc f db e a m (n )例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 求交線求交線 判別可見性判別可見性作圖作圖 從正面投影上可看從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可見?？梢?。mn 平面平面ABC與與DEF都為都為正垂面正垂面，它們的，它們的交線為一交線為一

33、條正垂線條正垂線，兩平面，兩平面正面投正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，投影，交線的水平投影垂交線的水平投影垂直于直于OX軸軸。aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1 1( (2 2 ) ) 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面DEFH是一鉛是一鉛垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有積聚性，其與積聚性，其與ac、bc的的交點(diǎn)交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投的水平投影。影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，上，點(diǎn)點(diǎn)在前，在前，點(diǎn)點(diǎn)在后，故在后

34、，故mc 可見?？梢姟Ｗ鲌D作圖2 21 1 mmnnabd( (e) )ebdh( (f) )cfchmnnm空間及投影分析空間及投影分析 平面平面DEFH是一鉛是一鉛垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有積聚性，其與積聚性，其與ac、bc的的交點(diǎn)交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投的水平投影影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，上，點(diǎn)點(diǎn)在前，在前，點(diǎn)點(diǎn)在后，故在后，故mc 可見?？梢?。作圖作圖c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于 d

35、ef 的外面，的外面，說明點(diǎn)說明點(diǎn)N位于位于 DEF所確定的平面內(nèi)，但所確定的平面內(nèi)，但不位于不位于 DEF這個(gè)圖這個(gè)圖形內(nèi)。所以形內(nèi)。所以 ABC和和 DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK。 nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，說明點(diǎn)說明點(diǎn)N位于位于 DEF所確定的平面內(nèi)，但所確定的平面內(nèi)，但不位于不位于 DEF這個(gè)圖這個(gè)圖形內(nèi)。所以形內(nèi)。所以 ABC和和 DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK?；ソ换ソ籱kk m 3. 垂直問題垂直問題直線與平面垂直直線與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直1) 1

36、) 直線與平面垂直直線與平面垂直 若直線垂直于平面，則直線的正面若直線垂直于平面，則直線的正面投影一定垂直于平面上的正平線的正面投影一定垂直于平面上的正平線的正面投影，直線的水平投影一定垂直于平面投影，直線的水平投影一定垂直于平面上的水平線的水平投影。上的水平線的水平投影。 例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)M M作直線作直線MNMN垂直于垂直于ABCABC所確定的平面所確定的平面 ndede nmabcb acm 根據(jù)直線與平面垂根據(jù)直線與平面垂直時(shí)的投影特性，所作直時(shí)的投影特性，所作直線的正面投影應(yīng)垂直直線的正面投影應(yīng)垂直于于ABCABC上的正平線的上的正平線的正面投影，水平投影應(yīng)正面投影，水平投影應(yīng)垂直于

37、垂直于ABCABC上的水平上的水平線的水平投影。線的水平投影。因此，因此，作圖時(shí)應(yīng)首先在作圖時(shí)應(yīng)首先在ABCABC內(nèi)作一條正平線和一條內(nèi)作一條正平線和一條水平線。水平線。 分析：分析：例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)A A作平面垂直于直線作平面垂直于直線MNMN 。bcc bmnan m a分析：分析： 根據(jù)直線與平面垂根據(jù)直線與平面垂直的幾何條件，所作直的幾何條件，所作平面內(nèi)應(yīng)包含兩條相平面內(nèi)應(yīng)包含兩條相交直線與交直線與MNMN垂直，假垂直，假設(shè)它們是設(shè)它們是相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A A的一條正平線和一條的一條正平線和一條水平線，則該正平線水平線，則該正平線的正面投影應(yīng)垂直于的正面投影應(yīng)垂直于mn，水平線的水平，

38、水平線的水平投影應(yīng)垂直于投影應(yīng)垂直于m n 。2) 2) 平面與平面垂直平面與平面垂直 若若一平面通過另一平面的垂線一平面通過另一平面的垂線，則兩，則兩平面相互垂直。平面相互垂直。 繪制相互垂直平面的兩種方法：繪制相互垂直平面的兩種方法： 使一平面使一平面包含另一平面的一條垂線包含另一平面的一條垂線。 使一平面使一平面垂直于另一平面內(nèi)的一條直線。垂直于另一平面內(nèi)的一條直線。ABQPABQP例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)M M作一平面垂直于作一平面垂直于ABC所確定的平面。所確定的平面。 dend e n kk分析：分析： 假設(shè)所作假設(shè)所作平面由相交于平面由相交于點(diǎn)點(diǎn)M M的兩條直線的兩條直線構(gòu)成，根據(jù)兩構(gòu)成

39、，根據(jù)兩平面垂直的幾平面垂直的幾何條件，何條件，使其使其中一條為中一條為ABC的垂線的垂線即可。即可。 abcma c b m abca b c 直線為一般位置時(shí)直線為一般位置時(shí) 直線為特殊位置時(shí)直線為特殊位置時(shí)bab ka k 本章本章小結(jié)小結(jié)點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線特殊位置直線 與平面的投影特性與平面的投影特性。重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：點(diǎn)、直線、平面的點(diǎn)、直線、平面的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。1. 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)(1) (1) 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。(2) (2) 點(diǎn)的投

40、影必分線段的投影成定比點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比定比定理。定比定理。(3) (3) 判斷方法判斷方法: : 2. 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1) 1) 平行平行 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 對(duì)于一般位置直線，對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。平行，空間兩直線就平行。abcdc a b d 對(duì)于特殊位置直線，只對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行?？臻g直線不一定平行。cbdd b a c a2) 2) 相交相交 同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。3) 3) 交叉（異面）交叉（異面） 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合