【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修三作業(yè)與測(cè)評(píng)課時(shí)提升作業(yè)(二十) 3.3.1

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(二十)幾何概型(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是()a.110b.19c.111d.18【解析】選a.試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10min，而構(gòu)成事件a的區(qū)域長(zhǎng)度為1min，故p(a)=110.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)汽車站的時(shí)刻是任意的，則一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率為()a.15b.25c.35d.45【解析】選c.把汽車到站的間隔時(shí)間分為0，5上的實(shí)數(shù)，其中乘客候車時(shí)間不超過3分鐘時(shí)應(yīng)在0，3內(nèi)取值，

2、所以發(fā)生的概率為35.2.(2015·順義高一檢測(cè))在區(qū)間-2，3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，則x2的概率是()a.15b.25c.35d.45【解析】選d.因?yàn)榛臼录臻g為-2，3，它的度量是長(zhǎng)度5，x2的度量為4，所以所求概率為45.3.下列概率模型中，幾何概型的個(gè)數(shù)為()從區(qū)間-10，10內(nèi)任取出一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；從區(qū)間-10，10內(nèi)任取出一個(gè)數(shù)，求取到絕對(duì)值不大于1的數(shù)的概率；從區(qū)間-10，10內(nèi)任取出一個(gè)整數(shù)，求取到大于1而小于2的數(shù)的概率；向一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形abcd內(nèi)投一點(diǎn)p，求點(diǎn)p離中心不超過1cm的概率.a.1b.2c.3d.4【解析】選b.不是幾何概型，雖然

3、區(qū)間-10，10有無限多個(gè)點(diǎn)，但取到“1”只是一個(gè)數(shù)字，不能構(gòu)成區(qū)域長(zhǎng)度；是幾何概型，因?yàn)閰^(qū)間-10，10和-1，1上有無限多個(gè)數(shù)可取(滿足無限性)，且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)每個(gè)數(shù)被取到的機(jī)會(huì)是相等的(滿足等可能性)；不是幾何概型，因?yàn)閰^(qū)間-10，10上的整數(shù)只有21個(gè)(是有限的)，不滿足無限性特征；是幾何概型，因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)，且這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)都有等可能被投到，故滿足無限性和等可能性.4.(2015·臨沂高一檢測(cè))如圖，在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是()a.14b.4c.13d.3

4、【解析】選b.設(shè)事件a=小雞正在正方形的內(nèi)切圓中，則事件a的幾何區(qū)域?yàn)閮?nèi)切圓的面積s=r2(2r為正方形的邊長(zhǎng))，全體基本事件的幾何區(qū)域?yàn)檎叫蔚拿娣e，由幾何概型的概率公式可得p(a)=r2(2r)2=4，即小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率為4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】面積為s的abc，d是bc的中點(diǎn)，向abc內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在abd內(nèi)的概率為()a.13b.12c.14d.16【解析】選b.向abc內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型.設(shè)點(diǎn)落在abd內(nèi)為事件m，則p(m)=abd的面積abc的面積=12.5.已知正三棱錐s-abc，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)p，使得vp-abc<12vs-abc的概

5、率是()a.34b.78c.12d.14【解析】選b.如圖，由題意知，當(dāng)點(diǎn)p在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿足：vp-abc<12vs-abc，故使得vp-abc<12vs-abc的概率為p=v1v=大三棱錐的體積-小三棱錐的體積大三棱錐的體積=1-123=78.二、填空題(每小題5分，共15分)6.在區(qū)間-2，4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為56，則m=.【解題指南】解絕對(duì)值不等式，根據(jù)幾何概型利用區(qū)間長(zhǎng)度之比求解.【解析】由|x|m，得-mxm，當(dāng)m2時(shí)，由題意2m6=56，m=2.5矛盾，舍去；當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得m-(-2)6=56，解得m=3.答案

6、：37.向等腰直角三角形abc(其中ac=bc)內(nèi)任意投一點(diǎn)m，則am<ac的概率為.【解析】如圖，點(diǎn)m在以a為圓心，半徑為ac的扇形ace內(nèi)，所以p=s扇形acesabc=45360·(ac)212ac·bc=4.答案：4【延伸探究】若本題中，在斜邊ab上任取一點(diǎn)m，則am>ac的概率是.【解析】設(shè)ca=cb=m(m>0)，則ab=2m.設(shè)事件m：am>ac，即p(m)=ab-acab=2m-m2m=1-22.答案：1-228.小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于12，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的

7、距離小于14，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為.【解析】不在家看書的概率=看電影+打籃球所有情況=-122×+×142=1316.答案：1316三、解答題(每小題10分，共20分)9.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈亮的時(shí)間為30秒，黃燈亮的時(shí)間為5秒，綠燈亮的時(shí)間為40秒(沒有兩燈同時(shí)亮)，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見下列三種情況的概率各是多少?(1)紅燈.(2)黃燈.(3)不是紅燈.【解析】在75秒內(nèi)，每一時(shí)刻到達(dá)路口是等可能的，屬于幾何概型.(1)p=亮紅燈的時(shí)間全部時(shí)間=3030+40+5=25；(2)p=亮黃燈的時(shí)間全部時(shí)間=575=115；(3)p=不是紅

8、燈亮的時(shí)間全部時(shí)間=黃燈或綠燈亮的時(shí)間全部時(shí)間=4575=35.10.在一個(gè)大型商場(chǎng)的門口，有一種游戲是向一個(gè)畫滿邊長(zhǎng)為5cm的均勻方格的大桌子上擲直徑為2cm的硬幣，如果硬幣完全落入某個(gè)方格中，則擲硬幣者贏得一瓶洗發(fā)水，請(qǐng)問隨機(jī)擲一個(gè)硬幣正好完全落入方格的概率有多大?【解題指南】因?yàn)橛矌拍芊裢耆淙肽硞€(gè)方格中，關(guān)鍵看硬幣的中心落在方格中的哪個(gè)位置，若要使硬幣完全落入方格中，則其中心必須距方格的邊界至少有一個(gè)硬幣半徑的長(zhǎng)度(即1cm)，因此，要使硬幣完全落在方格內(nèi)，硬幣的中心必須落在以正方形的中心為中心，以5-1-1=3(cm)為邊長(zhǎng)的小正方形表示的區(qū)域內(nèi).【解析】如圖，邊長(zhǎng)為5cm的正方形形

9、成的區(qū)域表示試驗(yàn)的所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域，當(dāng)硬幣的中心落入圖中以3cm為邊長(zhǎng)的正方形區(qū)域時(shí)，則試驗(yàn)成功，所以，隨機(jī)地投一個(gè)硬幣正好完全落入方格的概率為p=3252=925.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.(2015·衡水高一檢測(cè))在區(qū)間-2,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“0sinx1”發(fā)生的概率為()a.14b.13c.12d.23【解析】選c.由于x-2,2，若0sinx1，則0x2，設(shè)“0sinx1”為事件a，則p(a)=2-02-(-2)=2=12.2.如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a，b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、下底邊分別為a3與a2，高

10、為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為()a.112b.14c.512d.712【解析】選c.s矩形=ab.s梯形=1213a+12ab=512ab.故所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為p=s梯形s矩形=512abab=512.二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015·威海高一檢測(cè))在區(qū)間0，1內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在0，1內(nèi)的概率是.【解析】設(shè)在0，1內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2+b2也在0，1內(nèi)，則有0a2+b21.如圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，滿足a2+b2在0，1內(nèi)的點(diǎn)在14單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為141

11、=4.答案：4【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·合肥高一檢測(cè))如圖，四邊形abcd為矩形，ab=3，bc=1，以a為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧de，在dab內(nèi)任作射線ap，則射線ap與線段bc有公共點(diǎn)的概率為.【解析】(用幾何概型，化概率為角度之比)當(dāng)點(diǎn)p在bc上時(shí)，ap與bc有公共點(diǎn)，此時(shí)ap掃過abc，所以所求概率p=bacbad=30°90°=13.答案：134.(2015·西寧高一檢測(cè))在一個(gè)球內(nèi)挖去一個(gè)幾何體，其三視圖如圖.在球內(nèi)任取一點(diǎn)p，則點(diǎn)p落在剩余幾何體上的概率為.【解析】由三視圖可知，該幾何體是球與圓柱的組合體，球半徑r=5，圓柱底面半徑r

12、=4，高h(yuǎn)=6，故球體積v=43r3=5003，圓柱體積v1=r2·h=96，所以所求概率p=5003-965003=53125.答案：53125三、解答題(每小題10分，共20分)5.圖2中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖1)的平面展開圖，其中四邊形abcd是邊長(zhǎng)為1的正方形.若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率是14，求此長(zhǎng)方體的體積.【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，則題圖2中虛線圍成的矩形長(zhǎng)為2+2h，寬為1+2h，面積為(2+2h)(1+2h)，展開圖的面積為2+4h.由幾何概型的概率公式知2+4h(2+2h)(1+2h)=14，得h=3，所以長(zhǎng)方體的體積

13、是v=1×3=3.6.如圖，已知ab是半圓o的直徑，ab=8，m，n，p是將半圓圓周四等分的三個(gè)分點(diǎn).(1)從a，b，m，n，p這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，求這3個(gè)點(diǎn)組成直角三角形的概率.(2)在半圓內(nèi)任取一點(diǎn)s，求sab的面積大于82的概率.【解析】(1)從a，b，m，n，p這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，一共可以組成10個(gè)三角形：abm，abn，abp，amn，amp，anp，bmn，bmp，bnp，mnp，其中是直角三角形的只有abm，abn，abp 3個(gè)，所以組成直角三角形的概率為310.(2)連接mp，取線段mp的中點(diǎn)d，則odmp，易求得od=22，當(dāng)s點(diǎn)在線段mp上時(shí)，sabs=12&

14、#215;22×8=82，所以只有當(dāng)s點(diǎn)落在陰影部分時(shí)，sab面積才能大于82，而s陰影=s扇形mop-somp=12×2×42-12×42=4-8，所以由幾何概型的概率公式得sab的面積大于82的概率為4-88=-22.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·順義模擬)已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax+b.(1)設(shè)集合a=-2，-1，1，2和b=-2，2，分別從集合a和b中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a，b，求函數(shù)y=ax+b是增函數(shù)的概率.(2)若實(shí)數(shù)a，b滿足條件a-b+10,-1a1,-1b1,求函數(shù)y=ax+b的圖象不經(jīng)過第四象限的概率.【解析】(1)抽取全部結(jié)果所構(gòu)成的基本事件空間為(-2，-2)，(-2，2)，(-1，-2)，(