復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則VIP

1、9.39.3內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧1. 微分定義微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3. 微分微分在在近似計算中的近似計算中的應(yīng)用應(yīng)用( (略略) ) |zxy222222,0 00,( , )xyxyxzf xyyyx ( , )zf x y |zxy( , )zf x y( (反例略反例略) )可微可微00000lim(,)(,)/0 xyzfxyxfxyy 例如例如p130 8),(yxf易知易知(0, 0)(0,

2、0)0.xyff 但但(0, 0)(0, 0)xyzfxfy 因此因此,函數(shù)在點函數(shù)在點 (0,0) 不可微不可微 .22222() ()()() xyxy 032222222,0()x yxyxy0, 022 yx( , )(0,0)lim( , )(0,0)0,x yf x yf22cossin一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù)( ),( )yf uux求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則微分法則9.4 9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

3、法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第九章第九章 一階微分形式不變性一階微分形式不變性及不變性及不變性)(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理1. 若函數(shù)若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù)處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點在點在點 t 可導(dǎo)可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)證證: 設(shè)設(shè) t 取增量取增量t ,z )()(22vu()zzuvouv 則相應(yīng)中間變量則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt有增量有增量u ,v ,0t令,0,0vu則有()ot( 稱稱 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )tvvztu

4、uztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd若定理中若定理中 說明說明: ),(),(vuvuf在點例如例如:),(vufztvtu ,易知易知:(0,0),uf但復(fù)合函數(shù)但復(fù)合函數(shù)),(ttfz 0d1d2tzt000000dd|ddututvvzuzvutvt0 10 10. (0,0)vf偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu則定理結(jié)論則定理結(jié)論不一定成立不一定成立.00.若減弱為若減弱為可微定理可微定理成立成立!推廣推廣:1) 中間變量多

5、于兩個的情形中間變量多于兩個的情形. 例如例如, ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzfwvuvux yttttuuzddtvvzddtwwzdduzxuvxzvuzyuvyzv)(, )(, )(twtvtuz ffu又如又如,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時當(dāng)它們都具有可微條件時, 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里這里xzxfxz表示固定表示固定

6、y 對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo),xf表示固定表示固定 v 對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)口訣口訣 : 連線相乘連線相乘, 分線相加分線相加, 單路求導(dǎo)單路求導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo).xfxvvfyvvf與與不同不同,v例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuxy例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyx(

7、, , )uf x y zyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2可代入后再求可代入后再求例例3. 設(shè)設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos注意：注意：1.非抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)非抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),可先帶入中間變量再求導(dǎo)可先帶入中間變量再求導(dǎo). 2.多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo), 要注意這方面問題的求導(dǎo)技巧要注意這方面問題的

8、求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號與常用導(dǎo)數(shù)符號.為簡便起見為簡便起見 , 引入記號引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvux y z),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2212ffyz(可不設(shè)出中間變量可不設(shè)出中間變量)x y z例例5. 設(shè)設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), ,求下列表達(dá)式在求下列表達(dá)式在),(yxfu

9、 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: sin,cosryrxuryxyx極坐標(biāo)極坐標(biāo)系下的形式系下的形式xrruxu(1), 則則xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy2yrxu2ryururusincos(arctan)yx或或yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22()()uuxyryru2rxuuryxyxsincosuuuxrrxyyxrarctan,222221()() .uurr() 略略 已知已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryx

10、yx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為

11、的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表達(dá)其全微分表達(dá) 形式都一樣形式都一樣, 這性質(zhì)叫做這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性. )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例1. 解解: :) (dd zuveudsin)c

12、os()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxyp89 11( , ),( , )yf x ttt x y由方程由方程( , , )0f x y t 確定確定,f,f均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).證明證明:1321223.dyf ff fdxf ff ( , )yf x t證證:兩邊求微分得，兩邊求微分得，12f dxf dtdy兩邊求微分得，兩邊求微

13、分得，1230fdxf dyf dt( , , )0f x y t (2)32(1)(2)ff并解出并解出dydx1321223.f ff ff ff 223(0)f ff 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“連線相乘連線相乘, 分線相加分線相加, 單路求導(dǎo)單路求導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性全微分形式不變性, ),(vufz 對不論不論 u , v 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d 作業(yè)作業(yè) p82 2; 4;

14、 6; 9; 10; 12(4); 13 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)9.59.5解答提示解答提示:p82 題題7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuu 思考與練習(xí)思考與練習(xí)p82 題題7; 8(2); p131 題題11vuyvuxyxz,arctanvz2222 zzxzyyxvux vyvxyuv所以所以p82 題題8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f p131題題 11yexuyxufz, ),() )1 , 1(, 1()