2函數(shù)的單調(diào)性

1、1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?i ： 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域 i 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值值x1 , x2，當(dāng)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)，那么就說(shuō)f(x)在這在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值任意兩個(gè)自變量的值x1 , x2，當(dāng)，當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增

2、函數(shù)還是減函數(shù)函數(shù).是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)，例如函數(shù)是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上可能是減函數(shù)，例如函數(shù)y=x2，當(dāng)，當(dāng)x0，+時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x(-，0)時(shí)是減函數(shù)時(shí)是減函數(shù). 一一 內(nèi)容提要內(nèi)容提要2.單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫單調(diào)性，這一區(qū)間叫做做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上增函

3、數(shù)的圖象是上升的，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的減函數(shù)的圖象是下降的. 3.用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟證明函數(shù)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間m上具有單調(diào)性的步驟：上具有單調(diào)性的步驟：(1)取值：對(duì)任意取值：對(duì)任意x1,x2m，且且x1x2；(2)作差：作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正負(fù)；判定差的正負(fù)；(4)根據(jù)判定的結(jié)果作出相應(yīng)的結(jié)論根據(jù)判定的結(jié)果作出相應(yīng)的結(jié)論. 4.4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：的

4、單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下： 函數(shù)函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 u=g(x) 增增增增減減 減減 y=f(u) 增增減減增增減減y=fg(x)增增減減減減增增注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 返回返回1.下列函數(shù)中，在區(qū)間下列函數(shù)中，在區(qū)間(-，0)上是增函數(shù)的是上是增函數(shù)的是( ) (a)f(x)=x2-4x+8 (b)g(x)=ax+3(a0)(c)h(x)=-2/(x+1) (d)s(x)=log2 (-x)2.定義在區(qū)間定義在區(qū)間(-，+)的奇函數(shù)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,+)的圖象與的圖象與f(x

5、)的圖象重合，設(shè)的圖象重合，設(shè)ab0，給出，給出下列不等式：下列不等式： f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(a)-f(-b)g(b)-g(-a); f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)其中成立的是其中成立的是( ) (a)與與 (b)與與 (c)與與 (d)與與 db二二 基本練習(xí)基本練習(xí)答案：答案：(3) b (4) (-，-1)，(-1，+) (-1，1 3.如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間在區(qū)間(-，4上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是( ) (a)(-，-3) (b)(-

6、，-3 (c)(-3，+) (d)(-，3)4.函數(shù)函數(shù) 的減區(qū)間是的減區(qū)間是_；函；函數(shù)數(shù) 的減區(qū)間是的減區(qū)間是_5.函數(shù)函數(shù)f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的減區(qū)間是的減區(qū)間是 xxxf11 xxxf11 例例6 證明：函數(shù)證明：函數(shù) 在在 ( 0 , + )上是上是增函數(shù)增函數(shù).33( )1f xx 證明證明：設(shè)：設(shè) 0 x 1 x 2 + 則則 f ( x 1 ) f ( x 2)13(133231 xx313233xx )(332313231xxxx )(3222121213231xxxxxxxx 43)21)(322221213231xxxxxxx 0 x 1 x

7、2 + x 1 x 2 0即即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 故故 此函數(shù)在此函數(shù)在 ( 0 , + ) 上是增函數(shù)上是增函數(shù).三、題型講解三、題型講解 22log23, 1,5afxxxx 當(dāng)時(shí)是增函數(shù)例.的取值范圍求a 223130:xxxxx解 令, 13, 解得定義域是 2, 1log, 1axf xx 是上減且在上增22log010 | 1110aaaaa 由減且2log,ayr在上為減函數(shù) 1,log1,xaoayaka例6在上恒有意義.的取值范圍求k:1,0,xxaka 恒成立解即xaakakaaxx 1, 10,1為減函數(shù)因?yàn)?上的增函數(shù)是所以也是減函數(shù) , 1,1 xa . 1, 1111min1 kkaaaxx恒成立要使 , 1log,1 ,在則當(dāng)xakaayk.上恒有意義(1)對(duì)抽象函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判定仍以定義為中心對(duì)抽象函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判定仍以定義為中心.結(jié)結(jié)合抽象函數(shù)關(guān)系式對(duì)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值不以定義為主線(xiàn)合抽象函數(shù)關(guān)系式對(duì)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值不以定義為主線(xiàn)則一切變