15函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 第十節(jié)第十節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法;二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2 f (x)0 f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在a b上單調(diào)增加 證明

2、 只證(1) 在a b上任取兩點(diǎn)x1 x2(x1x2) 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5因為在( 0)內(nèi)y0 所以函數(shù) y=exx1在0 )上單調(diào)增加 解 函數(shù)y=exx1的定義域為( ) y=ex1 例1 討論函數(shù) y=ex x1的單調(diào)性 v定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0時 y0 所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 因為x0時 y0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 因此函數(shù)y=x3在區(qū)間( 0及0, )上都是單調(diào)增加

3、的 從而函數(shù)在整個定義域( )內(nèi)是單調(diào)增加的 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁10單調(diào)增加證明 例6 證明: 當(dāng) 時,20 ,3tan)(3xxxxf=令令221sec)(xxxf=22tanxx=時，時，當(dāng)當(dāng)20. 0)( xf連續(xù)，連續(xù)，在在)2, 0)(xf)2, 0)(在在所以所以xf于是時，時，當(dāng)當(dāng)20 fxf即.3tan3xxx因此上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁11分析 例7 證明: 當(dāng) 時,eab.abba 證明 abba baablnlnln( ),xf xx=令( ) ,)f xa 在上連續(xù)，21 ln( )xfxx=21 ln0,ex,時時當(dāng)當(dāng)eax( )( ),f af b即lnln,ab

4、ab亦即.abba lnlnabab上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12 分析 例7 證明: 當(dāng) 時,eab.abba 證明 abba baablnln 問題化為: ,時時當(dāng)當(dāng)eax.lnlnxaax,lnln)(xaaxxf=令令上連續(xù)，上連續(xù)，在在),)(axfxaaxf=ln)(, 0ln=aae上上在在所以所以),)(axf單調(diào)增加 于是,時時當(dāng)當(dāng)eab,時時當(dāng)當(dāng)eax, 0)()(=afbf即,lnlnbaab也即.abba 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁13問題:如何研究曲線的彎曲方向?xyo)(xfy = =圖形上任意弧段位于所張弦的上方xyo)(xfy = =圖形上任意弧段位于所張弦的下方二、曲

5、線的凹凸性與拐點(diǎn)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14v曲線的凹凸性定義 設(shè)f(x)在區(qū)間i上連續(xù) 對i上任意兩點(diǎn)x1 x2 如果恒有 那么稱f(x)在i上的圖形是凹的 那么稱f(x)在i上的圖形是凸的 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁15觀察與思考: f(x)的圖形的凹凸性與f (x)的單調(diào)性的關(guān)系. 1) f(x)的圖形是凹的 2) f(x)的圖形是凸的 f (x)單調(diào)增加; f (x)單調(diào)減少.v定理2(曲線凹凸性的判定法) 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)

6、f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁16 例8 判斷曲線y=x3的凹凸性 解 y=3x 2 y=6x 由y=0 得x=0 因為當(dāng)x0時 y0時 y0 所以曲線在0 )上是凹的 v定理2(曲線凹凸性的判定法) 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁17v拐點(diǎn) 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的連接點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn) 拐點(diǎn)討論 如何確定曲線y=f(x)的拐點(diǎn)？ 如果(x0 f(x0)是拐點(diǎn), 且f

7、(x0)存在問f (x0)=？如何找可能的拐點(diǎn)？上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1832 31xy = 討論 曲線y=x4是否有拐點(diǎn)？例 6 求曲線3xy=的拐點(diǎn) 例9 解 二階導(dǎo)數(shù)無零點(diǎn)當(dāng)x=0時二階導(dǎo)數(shù)不存在 因為當(dāng)x0 當(dāng)x0時 y0所以點(diǎn)(0 0)是曲線的拐點(diǎn) 32 92xxy= 只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0)才可能是拐點(diǎn)如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號則(x0 f(x0)是拐點(diǎn)雖然y(0)=0, 但(0,0)不是拐點(diǎn).yoxy=x4oxy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁19 例10 求曲線y=3x44x31的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間 解 (1)函數(shù)y=3x44x31的定義域為( ) (4)

8、列表判斷 在區(qū)間(0和2/3)上曲線是凹的 在區(qū)間02/3上曲線是凸的 點(diǎn)(0 1)和(2/3 11/27)是曲線的拐點(diǎn) ( 0)0(0 2/3)2/3 (2/3 )00111/27 (3)解方程 y=0 得 (2)231212xxy=231212xxy=)32(3624362= xxxxy (3)解方程 y=0 得01=x 322=x y(x) y(x) x只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0)才可能是拐點(diǎn)如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號則(x0 f(x0)是拐點(diǎn)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20 例10 求曲線y=3x44x31的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間 只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0)才