定積分的概念與計算(11)

1、一一 教學內容安排與要求教學內容安排與要求1 內容安排：內容安排：教學內容安排見教學大綱，教學日歷（公教學內容安排見教學大綱，教學日歷（公布在網絡學堂）布在網絡學堂）定積分定積分無窮級數(shù)無窮級數(shù)多元微分多元微分微分方程微分方程2 要求：要求：關于作業(yè)：交作業(yè)在關于作業(yè)：交作業(yè)在2/3以上有考試資格以上有考試資格 按時交作業(yè)，無故不予補交。按時交作業(yè)，無故不予補交。積極參加網絡學堂的學習討論。積極參加網絡學堂的學習討論。二二 利用好網絡學堂的資源利用好網絡學堂的資源功能模塊：教學大綱，教學日歷，電子教案，習題解答，功能模塊：教學大綱，教學日歷，電子教案，習題解答， 課程思考，考研資料，網上測驗課

2、程思考，考研資料，網上測驗 網址網址:http:/ 占總評的占總評的50%兩次課堂測驗期中考試課程考核 網絡學堂測驗作業(yè)，考勤，課堂表現(xiàn)期末考試三三 課程總評成績的評定課程總評成績的評定占總評的占總評的10%占總評的占總評的20%占總評的占總評的10%占總評的占總評的10%四、答疑時間與地點四、答疑時間與地點我的郵箱我的郵箱:辦公室答疑：周二下午，教學樓辦公室答疑：周二下午，教學樓311室室網絡學堂答疑網絡學堂答疑第六章第六章 定積分定積分1、引例、引例1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積oxy)(xfy ab0 x1x1ixixnxn);,1,2,(i ,1iiixxxnba段，各段長為為分

3、割：任分ix1i , (i1,2,n), s( );iiiiitxxf tx近似：任取得到;)(1iniixtfs求和：01lim( );iniixisf tx 取極限：第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念引例引例2 求變速運動物體在求變速運動物體在 內的路程。內的路程。12 , t t設速度為設速度為( ),v t則路程則路程01lim( );iniitisv tt 2、定積分的定義、定積分的定義0101lim( )( ) , ,( )lim( )iiniixinbiiaxif txyf xa bf x dxf tx 若存在，則稱之為在上的定積分 記做注注、定積分是個數(shù)01)(21dxex

4、如：002( ) , f xa b、定積分僅與、有關,與積分變量符號的選取無關。dxex21如：dtet21連續(xù)函數(shù)、有有限個間斷點的有界函數(shù)可積連續(xù)函數(shù)、有有限個間斷點的有界函數(shù)可積03 badxxf)( badttf)(0( )baf x dx 2104 ( )ttv t dt、路程 s=a=( )( ( )0)baf x dxf x 面積面積, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值1211x dx在幾何上表示什么含義？1、0)(dxxfaaabdxba

5、12、線性性質、線性性質dxxfkdxxkfbaba)()( ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dxdxxfdxxfbaab)()( 第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質定積分的性質3、可加性質、可加性質dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(oxy)(xfy abc補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba ,4、比較性質、比較性質，上若在)()(,xgxfba( )( )bbaaf x dxg x dx有 ( )ab注：11200(1)(1)xdxxdx例：比較積分值和的大小20,1 (1)(1)xxx解：當時,

6、，11200(1)(1)xdxxdx所以5、估值定理、估值定理上的最大值和最小值，在分別為、若,)(baxfmm)()()(abmdxxfabmba則221xedx例：估計積分的值24 121xee解：在，上的最大值為 ，最小值為221(2( 1)(2( 1)xmedxm 224133xeedx6、中值定理、中值定理連續(xù)，在若,)(baxf。使得則)()(,abtfdxxfbatbaoxy)(xfy abt 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)， xadxxf)(考察定積分考察定積分記記( )( )xaxf t dt積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)由幾何意義由幾何意義( )baaf x

7、 dx abxyox隨著隨著 的變化而變化，由此建立了一個函數(shù)的變化而變化，由此建立了一個函數(shù)x( )yf x 1 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 定積分的計算定積分的計算連續(xù)，在若,)(baxfy ( )( ) ( )xxaxf t dtf x積分上限函數(shù)的性質積分上限函數(shù)的性質定理（原函數(shù)存在定理）定理（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。即連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在。例例 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)1 (sin)

8、xat dt sin x 202 (sin)xt dt 0(sin)uuxt dtu 2ux 22 sinxx 0sin3 (1)xt dt sin0(1)xt dt 24 (sin)xxtdt 2(sinsin)axxat dttdt 1sincosxx 2(sin)(sin)xxaat dttdt 2sin2 sinxxx 例例 計算下列極限計算下列極限21 limxtaxae dtxa22limlim()xxttaaxaxae dte dtxaxa解:0( )0型2aesin0012 limxtxe dtxsinsin00001limlimxtxtxxe dte dtxx解：sin0co

9、slim1xxex10( )0型2lim1xxae21cos203 limtxxedtx0( )0型21cos20limtxxedtx解：2cos0sinlim2xxx ex12e2cos00sinlimlim2xxxxex又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xf是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，cxxf )()(,bax 證證2 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式令令ax ,)()(caaf ,)(caf ( )( )xbf bbc 令令( )f a ( )( )( ),bf bf a )()()(afbfdxxfba 20(2cossi

10、n1).xxdx例求111000c2sinosxxx.23 例例 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 1205x2220002cossin1xdxxdxdx解：原式3 定積分的計算方法定積分的計算方法一湊微分法利用牛頓萊布尼茲公式( )( )( )baf x dxf bf a例例 計算計算.sincos205 xdxx解解16原式250cos(cos )xdx 2601cos6x 例20.axxe dx2201()2axe d x2012axe1(1)2ae解：原式3204

11、4.xxdx例例320(2)xdx302.xdx230222xdxxdx2302(2)(2)x dxxdx2322024222xx52解：原式2233002222dxxdxxdxdxxdx402cos例：dxx4022cos12cos1214040dxxdx4011sin2 | 2 42x2sin2142121421解：原式二二.分部積分法分部積分法bbbaaaudvuvvdu(條件條件: 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)) ( ), ( )u x v x例51ln xdx 5ln54例10 xxe dx101xee 55111lnxxx dxx1100()xxxee dx10 xxde11(1)ee 2

12、1e 例例 計算計算.arcsin210 xdx120arcsinxx12201xdxx621 )1(112120221xdx 12 12201x. 12312 解：原式三三.第二類換元法第二類換元法切記切記:換元的同時要變限換元的同時要變限令令3xt解解:32,3xt dxt dt0,0 xt 8,2xt 8301dxx例例30 2xt了解：在 ，上有連續(xù)的導數(shù)，0208tx當 從 到 時， 從 單調地變到822300311dxt dttx2013 (1)1tdtt 2220032 ln(1) 2tt 3(22ln3)3ln32220001311tdtdtdtt解：令解：令sinxt0,0

13、xt 1,26xtcosdxtdt12262200sincoscos1xttdtdxtx620sin tdt601 cos22tdt6011(sin2)2 62t3128122201xdxx例660011cos22dttdt)0( ,022adxxaa例：taxsin解：令tdtadxcos，2022022costdtadxxaadtta20222cos12cos1220202tdtdta2201(sin2)222at211(sin2sin2 0)22222a24a0,0 xt ,2xat 注：此題還可用幾何意義計算證證00( )( )( ),aaaaf x dxf x dxf x dx例：

14、在 上連續(xù)，( )f x, a a0( )2( )aaaf x dxf x dx( )f x為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 ( )0aaf x dx( )f x為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 0( )af x dx0()aft dt0()aft dt( )f x為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 令令xt 0(),afx dx00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx02( )af x dx. 0 ( )f x為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx131sin x dx如：如：01221 (3)xxdx例：121=(233)xxdx原式1

15、1=36dx證證設設tx 2,dtdx 0 x ,2t 2x0,t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf40221xdxx練習1223tx12解：令tdtdxtx,21,2則dttdxxx32112231240313| )33(21tt2230,0 xt 4,3xt 32211dxxx 2324sectansectdttt324sectantdtt324cossintdtt324sinsindtt341sint 112()23練習練習2tanxt解：令2,secdxtdt1,4xt 3,3xt 32211dxxx 10 xedx練習練習

16、32xt解：令2,2xtdxtdt0,0 xt 1,1xt 11002xtedxetdt102( )ttd e102()tee11002()tttee dt21( )131xxf xxx例：設31(1)f xdx求 1,xt dxdt 解：令1,0 xt 3,2xt 1201( )( )f x dxf x dx1201(13 )xdxx dx1222013()22xxx63210(1)=( )f xdxf t dt0( )(1)xf xtdt例求函數(shù)的極值( )1fxx解：( )0,fx令( )1( )10fxf 又，10(1)(1)ftdt極小值1201()22tt 1x 得2e211 (ln )xdxx例2e118e82edxx2e18e 16e+8(2)x22ee1118e8lnxxxdxx22ee22112(ln )(ln ) xxxdx2e