相交線與平行線奧數(shù)培訓

1、相交線與平行線 奧數(shù)培訓在競賽試題中，平行和垂直是做為基礎知識應用在一些綜合性的題目之中，單獨出題的情況很少，但當平行和垂直的性質與實際情況結合時，往往也會被做為新題型來考查 .【例 1】 請說明在同一平面內三條直線的位置關系及交點個數(shù).【思考與分析】 本題有多種分類，如以兩條直線的位置關系分類， 再考慮第三條直 線的位置；又如以三條直線交點的個數(shù)分類等 . 下面我們就第二種分類加以說明 .解： （ 1）如圖 1，三條直線互相平行，此時交點個數(shù)為0；（ 2）如圖 2，三條直線相交于同一點，此時交點個數(shù)為1；（ 3）如圖 3，三條直線兩兩相交且不交于同一點，此時交點個數(shù)為3；（ 4）如圖 4，其

2、中兩條直線平行，都與第三條直線相交，此時交點個數(shù)為2.綜上所述，平面內三條直線的交點個數(shù)為0或 1或 2或 3個.（如果按第一種情況進行分類研究，又該如何呢？請大家思考一下 . ）反思：求解中（ 2）、（ 3）兩種情況稱為三條直線兩兩相交 . 當題目中圖形不全或不 確定時，我們一定要注意分類 .【例 2】 （1）請你在平面上畫出 6 條直線（沒有三條共點），使得它們中的每條 直線都恰與另 3 條直線相交，并簡單說明畫法 .（2）能否在平面上畫出 7 條直線（任意 3 條都不共點），使得它們中的每條直線都 恰與另 3 條直線相交，如果能，請畫出一例，如果不能，請簡述理由 .【思考與分析】 “6

3、條直線相交且任意 3 條都不共點”，要解決這個問題，我們可以首先畫出兩條相交直線， 這樣可以發(fā)現(xiàn)若不出現(xiàn) 3 條直線共點可以出現(xiàn)平行線 . 對于（ 2）中 所求，可以根據(jù)（ 1）得到的結論先對其進行推理，不要盲目的畫圖.解：（ 1）在平面上任取一點 A，過 A作兩直線 m1與 n1. 在 n1 上取兩點 B、C，在 m1上取兩點 D、G.過 B 作 m2m1，過 C作 m3m1，過 D作 n2n1，過 G作 n3 n1 ，這時 m2、m3、n2、n3交得 E、F、H、I 四點，如圖所示 .由于彼此平行的直線不相交，所以，圖 中每條直線都恰與另 3 條直線相交 .（2）在平面上不能畫出沒有 3線

4、共點的 7 條直線，使得其中每條直線都恰與另外 3 條直線相交 .理由如下： 假設平面上可以畫出 7條直線，其中每一條都恰與其它 3 條相交， 因兩直線相交只有一個交點， 又因沒有 3條直線共點， 所以每條直線上恰有與另 3條直線交 得的 3 個不同的交點 .根據(jù)直線去數(shù)這些交點， 共有 3× 7 21 個交點，但每個交點分屬兩條 直線，被重復計數(shù)一次， 所以這 7 條直線交點總數(shù)為 因為這與交點個數(shù)應為整數(shù) 矛盾.所以，滿足題設條件的 7 條直線是畫不出來的 .反思：本題在說明理由時應用了假設法 . 利用假設推導出結果是否與題中條件沖突 . 這與我們以后要學的反證法相類似 .【例

5、3】 平行直線 AB和 CD與相交直線 EF、 GH相交，圖中的同旁內角共有（）對.【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線 AB和 CD 被直線 EF 所截”、“直線 AB和CD 被直線 GH所截”、“直線 EF和 GH被直線 AB所截”、“直線 EF和 GH 被直線 CD所截”、“直線 AB和 EF被直線 GH所截”、“直線 EF和 CD 被直線 GH所截”、“直線 AB和 GH被直線 EF所截”、“直線 GH和 CD 被直線 EF所截” .每一個“三線八角”都有兩對 同旁內角，故原圖中共有 16 對，因此選擇 D.【小結】解這類問題，關鍵是如何用圖形分解法把圖形分成若干個“

6、三線八角” .【例 4】 有 10 條公路（假設公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同 一個岔口，現(xiàn)有 31 名交警，剛好滿足每個岔口有且只有一名交警執(zhí)勤，請你畫出公路示意 圖.【思考與解】 我們可以把公路想象成直線，岔口想象成交點， 由警察的人數(shù)及題意 可知， 10條直線剛好有 31 個交點.根據(jù)前面所學知識，平面上的 10條直線，若兩兩相交， 最多出現(xiàn) 45 個交點， 現(xiàn)在只要求出現(xiàn) 31 個交點， 就要減去 14 個交點， 這種情況下，通常 采取兩種辦法：（ 1）多條直線共點；（ 2）出現(xiàn)平行線 . 根據(jù)題意，方法（ 1）不能實現(xiàn)，所 以想到使用平行線 .在某一方向上有

7、5 條直線互相平行，則減少 10個交點，若 6 條直線平 行，則可減少 15 個交點， 所以這個方向上最多可取 5 條平行線，這時還有 4 個點要去掉， 換一個方向取 3 條平行線，即可再減少 3 個交點，這時還剩下 2 條直線與 1 個要減去的點， 只須讓其在第三個方向上互相平行即可，如圖所示：【小結】 本題考查我們對知識的綜合應用能力，在做題時，要牢牢把握平行線的性質， 與圖形結合，從簡單的圖形推理找出問題的入手點 .例 5】 把正方形 ABCD邊 AD平移得到 EF， 作出平移后的正方形能有幾種作法？【思考與分析】 據(jù)題意，平移是指正方形整體平移，只有一個 . 我們根據(jù)以前學過 的作圖方

8、法和本周學的平移作圖，作法有如下幾個：作法 1： 過 E 作 EF的垂線， 截取 EGEF，過 G點作 EF的平行線， 截取 GHEF（注 意截取方向） ，連接 FH就得到平移后的正方形 .如圖（ 1）.作法 2： 過 E、F分別作 EF的垂線，截取 EGEF，F(xiàn)HEF（注意截取方向） ，連接 GH，就得到平移后的正方形 . 如圖（ 1） .作法 3： 過 F作 EF的垂線， 截取 FHEF，過 H點作 EF的平行線， 截取 GHEF（注 意截取方向） ，連接 EG就得到平移后的正方形 .如圖（ 1）.作法： 過 E作 AC的平行線，過 F作 BD的平行線，截取 EH=AC，F(xiàn)G=BD（注意截

9、 取方向） .連接 EG，GH， HF，就得到平移后的正方形 . 如圖（ 2）.作法 5： 連接 EA，F(xiàn)D，過 B點作 EA的平行線，過 C作 FD的平行線 . 截取 BG=EA， CH=FD（注意截取方向） .如圖（3）.連接 EG， GH， HF，就得到平移后的正方形 .【小結】 平移變換不改變圖形的形狀、 大小和方向 . 連結對應點的線段平行且相等 . 要描述一個平移變換，必須指出平移的方向和移動的距離 【例 6】電腦游戲上有一種俄羅斯方塊的游戲，游戲規(guī)則：在所給各種各樣的方塊中，通過 平移、旋轉的方式，羅列方塊使之排滿每一橫行，每排滿一行，便消去一行，得 100 分，依現(xiàn)次類推（本題

10、特殊規(guī)定，只準平移） ，小方塊在屏幕頂端居中出現(xiàn)（奇數(shù)列時居中偏左） 在電腦屏幕上顯示（如圖所示） .（ 1） 若按規(guī)定，想得分，甲方塊需要怎樣平移，才可能直接得分或為以后打下 得分基礎？乙方塊呢？（ 2） 若你把甲方塊放到左側，發(fā)現(xiàn)屏幕已暗示出丙方塊為形狀，在這種情況下，丙方塊只需如何移動，便可得多少分？（注：屏幕上一共有 10 行 10 列） 【思考與分析】 第（ 1）題觀察甲方塊與底部方塊的特點，我們可得出平移方式.第（ 2）題將丙方塊通過平移嵌入空隙之中，即可得分.解： （1） 甲方塊可左移 3個單位，下移 7 個單位放到屏幕左側；乙方塊需向右平移 3 個單位，下移 8 個單位，放到屏

11、幕右側 . （可用其他平移方式）（2） 丙方塊下移 7 個單位，便可排滿 2行，得 200分.【小結】 解本題的關鍵是將各個方塊通過平移嵌成一個長方形， 需根據(jù)方塊和現(xiàn)有 圖形選擇合理的平移方式 .【例 7】如圖 1，已知直線 l 1l 2，直線 l3 和直線 l1、l2交于點 C和 D，在 C、D之間有一點 P，如果 P 點在 C、D之間運動時，問 PAC，APB，PBD之間的關系是否發(fā)生變化 . 若點 P 在 C、D兩點的外側運動時（ P 點與點 C、D不重合），試探索 PAC，APB，PBD之間的關系又是如何？【思考與分析】若 P點在 C、 D之間運動時，我們只要過點P作出 l 1的平行

12、線即可知道 APB PAC+PBD；若點 P在 C、D 兩點的外側運動時（ P點與點 C、D不重合），則 可以分為如圖 2和如圖 3兩種情形，同樣分別過點 P作出 l 1或l 2的平行線， 即有 APB PBD PAC或 APB PAC PBD.解：若 P點在 C、D之間運動時，則有 APB PAC+ PBD.理由是：如圖 1，過點 P 作 PEl 1，則 APE PAC，又因為 l1l2，所以 PE l2 ，所以 BPE PBD，所以 APE+ BPE PAC+PBD，即 APB PAC+ PBD.若點 P在 C、D兩點的外側運動時（ P 點與點 C、D不重合），則有兩種情形： （1）如圖 2，有結論： APB PBD PAC.理由是：過點 P作 PEl 1，則 APE PAC， 又因為 l 1l 2，所以 PEl 2，所以 BPE PBD，所以 APB BPE- APE，即 APB PBD PAC.（2）如圖 3，有結論： APB PAC PBD.理由是：過點 P作 PE l 2，則 BPE PBD，又因為 l