幾何與代數(shù)：二次型與二次曲面(幾代版本)

1、 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 建建 議議1. 靜下心默想一下內(nèi)容。不熟悉的盡快熟悉靜下心默想一下內(nèi)容。不熟悉的盡快熟悉. (14周周)2. 往年試題往年試題. (14, 15周填空計(jì)算周填空計(jì)算, 16周證明周證明) 3. 時(shí)間允許的話時(shí)間允許的話, 爭(zhēng)取看一遍課本的習(xí)題爭(zhēng)取看一遍課本的習(xí)題.4. 考試前查漏補(bǔ)缺，針對(duì)弱項(xiàng)臨時(shí)突擊考試前查漏補(bǔ)缺，針對(duì)弱項(xiàng)臨時(shí)突擊. cossinsincosyxyyxxx y xy = 112222 yx = /4x y 13x2 -10 xy + 13y2 = 7214922 yx = /4 cossinsincosyxyyxxxy=xy ：可逆線性變換可逆線性變換不改變?cè)?/p>

2、圖形的基本特征；不改變?cè)葓D形的基本特征；若是若是正交線性變換正交線性變換，則不改變?cè)葓D形的形狀。，則不改變?cè)葓D形的形狀?！叭绾芜M(jìn)行？如何進(jìn)行？正交合同對(duì)角化正交合同對(duì)角化(正交相似對(duì)角化正交相似對(duì)角化)配方法配方法“= 例例2注注：其實(shí)不必求出正交變換矩陣：其實(shí)不必求出正交變換矩陣Q. 設(shè)實(shí)對(duì)稱陣設(shè)實(shí)對(duì)稱陣A 的特征值為的特征值為, , , 事實(shí)上，一定存在正交矩陣事實(shí)上，一定存在正交矩陣Q使得使得在可逆線性變換在可逆線性變換x=Qy下，二次型化為下，二次型化為我們可以總結(jié)：我們可以總結(jié)：y12 + y22+ yn2且條件且條件在正交變換下在正交變換下不變，即仍然成立不變，即仍然成立 從

3、而有，從而有， f , =, 以及，以及， f , =, 且容易驗(yàn)證上述最大最小值可以取到且容易驗(yàn)證上述最大最小值可以取到.（注意條件：（注意條件： ）聯(lián)想聯(lián)想例題例題. .設(shè)設(shè)n階實(shí)對(duì)稱陣階實(shí)對(duì)稱陣A 的特征值為的特征值為, 證明：證明：min = , max = , n維列向量維列向量.)(342332322221xxxxx 2323912391323222213)(34xxxxxxx 2338239132322221)(34xxxxxx 23382331221)(34xxxx 333312211xyxxyxy 333312211xyxxyxy或反解或反解x1, x2, x3可得可得.1

4、0 01 1 13 1 11 0 02 1 01 0 11 0 00 1 10 1 1 P作作 業(yè)業(yè)習(xí)題六習(xí)題六(B) 1(1,4), 3, 4, 6, 7(2,3), 8, 10 ： 12月月19日（周四）日（周四） ：假設(shè)：假設(shè)A是是n階實(shí)對(duì)稱陣，則階實(shí)對(duì)稱陣，則 xTAx=0對(duì)任意的對(duì)任意的n維列向量維列向量x成立成立 A=O ：假設(shè)：假設(shè)A,B是是n階實(shí)對(duì)稱陣，則階實(shí)對(duì)稱陣，則 xTAx= xTBx對(duì)任意的對(duì)任意的n維列向量維列向量x成立成立 A=B 對(duì)于對(duì)于：1. 慣性定理慣性定理 從矩陣角度來理解從矩陣角度來理解那么那么k1 kn與與 的非零元個(gè)數(shù)及正負(fù)數(shù)的非零元個(gè)數(shù)及正負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)個(gè)

5、數(shù)是一樣的是一樣的,都等于都等于A的的秩秩和和正負(fù)慣性指數(shù)正負(fù)慣性指數(shù). 所以慣性定理又可表述為所以慣性定理又可表述為 實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣A或二次型或二次型xTAx的正負(fù)慣性指數(shù)的正負(fù)慣性指數(shù)= A的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù) 正負(fù)慣性指數(shù)之和正負(fù)慣性指數(shù)之和 = 正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)之和正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)之和= 秩秩22122122100nrrppyyyyyyf注：注：如果從矩陣角度證明推論如果從矩陣角度證明推論6.2時(shí)，時(shí)，將將A進(jìn)行正交相似對(duì)角化后，對(duì)角陣的進(jìn)行正交相似對(duì)角化后，對(duì)角陣的對(duì)角元沒有按照正、負(fù)、零的次序排列，對(duì)角元沒有按照正、負(fù)、零的次序排列，那么下述例題隱含著一些思路那么

6、下述例題隱含著一些思路. 設(shè)設(shè)A= ，N= ， 證明：存在可逆矩陣證明：存在可逆矩陣P使得使得 PT A P = N. 1 0 00 -1 00 0 0交交換換第第一一三三列列交交換換第第一一三三行行. 設(shè)設(shè)A= ，N= ， 證明：存在可逆矩陣證明：存在可逆矩陣P使得使得 PT A P = N. P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3)=P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3)33=PPT (此處不等于此處不等于P-1 )( p,qA)k1 kn兩個(gè)兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A和和B合同合同 它們具有相同的秩和正慣性指數(shù)它們具有相同的秩和正慣性指數(shù). ：由上述推論可

7、得由上述推論可得n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A和和B合同合同具有相同的秩和負(fù)慣性指數(shù)具有相同的秩和負(fù)慣性指數(shù)具有相同的正負(fù)慣性指數(shù)具有相同的正負(fù)慣性指數(shù)120,201ab , a b例例. .若矩陣若矩陣 合同，則參數(shù)合同，則參數(shù)滿足條件滿足條件 。注注：一個(gè)實(shí)矩陣：一個(gè)實(shí)矩陣A與對(duì)角陣與對(duì)角陣合同，則合同，則A 一定是對(duì)稱陣一定是對(duì)稱陣.設(shè)設(shè) A 是正定矩陣是正定矩陣, 則則 |A|0 .(也可從這里得到也可從這里得到A+E的特征值都大于的特征值都大于1，從而證得結(jié)論。，從而證得結(jié)論。)若令若令則則可從可從 “特征值都為正特征值都為正” 的角度去考的角度去考慮慮.注注：1.存在既不正定，也不負(fù)

8、定的矩陣；存在既不正定，也不負(fù)定的矩陣； 2. 行列式大于零并不能得到矩陣正定行列式大于零并不能得到矩陣正定.作作 業(yè)業(yè)習(xí)題六習(xí)題六(B) 12, 14,16,17*,18,19,20提示提示17題：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)題：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù) ： 12月月19日（周四）日（周四） 例題例題.設(shè)設(shè)B為一個(gè)為一個(gè) n 階對(duì)稱陣，階對(duì)稱陣，A是是n 階階正定矩陣，則正定矩陣，則AB或或BA的正負(fù)特征值的的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)分別等于個(gè)數(shù)分別等于B 的正負(fù)慣性指數(shù)的正負(fù)慣性指數(shù).AB、ABAB、 、11BA例題例題(06-07(06-07試題試題) ). .若若都是可逆的都是可逆的都是正定都是正

9、定也是正定矩陣也是正定矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣，且實(shí)對(duì)稱矩陣，且矩陣，證明：矩陣，證明：?jiǎn)枺憾涡蛦枺憾涡?x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2是是不是正定的二次型？不是正定的二次型？答：不是。取答：不是。取x1=x2=x3。設(shè)設(shè)1是拋物線是拋物線 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所軸旋轉(zhuǎn)所得曲面，得曲面， 2是平面是平面x-2y+z=4. 求求1的方程；的方程；求求1與與2的交線在的交線在xOy平面上的投影曲線平面上的投影曲線的方程；并畫出由的方程；并畫出由1、2所圍成的空間所圍成的空間有界區(qū)域的草圖有界區(qū)域的草圖.x2+2y = 0 z = 01 : (x2+z2)+2y=02 : x-2y+z=4

10、消去消去zx2+(4-x+2y)2+2y=0聯(lián)立聯(lián)立z=0, 得投影曲線方程得投影曲線方程z=0 x2 + 2y2 2xy 4x +9y + 8 =0 x2+2y = 0 z = 0 x-2y+z=412：xyzo44-2繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)投影區(qū)域的概念投影區(qū)域的概念;可利用空間曲線的投影曲線來確定可利用空間曲線的投影曲線來確定. SS或者或者 在在xOy平面平面上的投影區(qū)域上的投影區(qū)域作作 業(yè)業(yè)習(xí)題六習(xí)題六(B) 22,23(1,2,3,6),24, 25, 29, 30 上交時(shí)間：上交時(shí)間：12月月26日（周四）日（周四） 該變換是對(duì)該變換是對(duì)坐標(biāo)軸作了坐標(biāo)軸作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn).注注

11、1：在例：在例16中將兩個(gè)一次項(xiàng)之和化為一中將兩個(gè)一次項(xiàng)之和化為一個(gè)一次項(xiàng)時(shí)，用了一個(gè)正交變換，如何個(gè)一次項(xiàng)時(shí)，用了一個(gè)正交變換，如何看出它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換呢？看出它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換呢？事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)正交變換事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)正交變換x=Qy, 如果如果|Q|=1，則稱該變換是，則稱該變換是第一類第一類正交變換，正交變換，其對(duì)應(yīng)的是其對(duì)應(yīng)的是將坐標(biāo)軸作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)將坐標(biāo)軸作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)。 如如果果|Q|= - 1，稱該變換是，稱該變換是第二類第二類正交變換，正交變換，其對(duì)應(yīng)的是將坐標(biāo)軸先作其對(duì)應(yīng)的是將坐標(biāo)軸先作一個(gè)旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)，再，再作了一個(gè)作了一個(gè)“鏡像變換鏡像變換”。(了解即可了解即可) ：如果一個(gè)方程的形式為：如果一個(gè)方程的形式為(聯(lián)系：聯(lián)系：P239 選擇第選擇第10題題)如果一個(gè)方程的形式為如果一個(gè)方程的形式為特別地，考慮如下形式的二次曲面方程，特別地，考慮如下形式的二次曲面方程，記記，方程即為方程即為不難求出實(shí)對(duì)稱陣不難求出實(shí)對(duì)稱陣A