初二數(shù)學(xué)因式分解知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)2

1、整式乘除與因式分解概述定義： 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式；意義： 它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具；因式分解方法敏捷，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是把握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培育同學(xué)的解題技能，進(jìn)展同學(xué)的思維才能，都有著非常特殊的作用；學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四就運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培育同學(xué)的觀看、留意、運(yùn)算才能，又可以提高同學(xué)綜合分析和解決問(wèn)題的才能；分解因式與整式乘法互為逆變形；因式分解的方法因式分解沒(méi)有普遍的方法，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中主

2、要介紹了提公因式法、公式法；而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等；留意三原就1分解要完全2最終結(jié)果只有小括號(hào)3最終結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x3x-1）基本方法提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式；假如一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法；詳細(xì)方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次

3、數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的；假如多項(xiàng)式的第哪一項(xiàng)負(fù)的，一般要提出“- ”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)； 提出 “-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)；例如： -am+bm+cm=-ma-b-c；ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b；留意：把2a2+1/2變成2a2+1/4不叫提公因式公式法假如把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法；平方差公式： a 2-b 2 =a+ba-b；完全平方公式： a 2 ±2ab b2 a ±b 2 ；留意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必需是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù) 或式

4、的平方和的形式，另哪一項(xiàng)這兩個(gè)數(shù)或式 的積的2 倍 ；立方和公式： a 3+b 3 =a+ba2 -ab+b 2 ；立方差公式： a 3-b 3 =a-ba2 +ab+b 2 ；完全立方公式 ： a 3 ±3a 2 b 3ab 2±b 3=a ±b 3 公式： a 3 +b 3 +c 3 =a+b+ca 2 +b 2+c 2-ab-bc-ca 例如： a 2 +4ab+4b 2 =a+2b 2；（ 3 ）分解因式技巧1. 分解因式與整式乘法是互為逆變形；2. 分解因式技巧把握：等式左邊必需是多項(xiàng)式；分解因式的結(jié)果必需是以乘積的形式表示；每個(gè)因式必需是整式，且每個(gè)因

5、式的次數(shù)都必需低于原先多項(xiàng)式的次數(shù)；分解因式必需分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮；3. 提公因式法基本步驟：（ 1 ）找出公因式；（ 2 ）提公因式并確定另一個(gè)因式：第一步找公因式可依據(jù)確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；其次步提公因式并確定另一個(gè)因式，留意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；一、學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)：1、單項(xiàng)式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式

6、；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式；單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)；如：2a 2 bc 的系數(shù)為2 ，次數(shù)為4，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0；2、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)2的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)；2如 ： a2 abx1 ，項(xiàng)有 a 2 、2ab 、 x 、1，二次項(xiàng)為a、2ab ，一次項(xiàng)為x ，常數(shù)項(xiàng)為 1，各項(xiàng)次數(shù)分別為2，2， 1， 0，系數(shù)分別為1， -2，1， 1，叫二次四項(xiàng)式；3、整式： 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式；留意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式；也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式；4、多項(xiàng)式按字母的升（降）冪排列：3

7、如 ： x2 x2 y 2xy2 y31按 x 的升冪排列：12 y 3xy2 x2 y 2x3按 x 的降冪排列：x32 x 2 y 2xy2 y 31按 y 的升冪排列：1 x3xy2 x 2 y 22 y3按 y 的降冪排列：2 y32 x2 y 2xyx315、同底數(shù)冪的乘法法就：am gana m n （ m, n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；留意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式；如： ab2 gab 3ab56、冪的乘方法就： a m na mn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；如：35 2310冪的乘方法就可以逆用：即a mna m n a n

8、m6如 ： 4234 324 7、積的乘方法就：ab na n b n （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積；如：（2 x 3 y 2 z 5 = 25. x3 5. y 2 5. z532 x15 y10 z58、同底數(shù)冪的除法法就：mnm naaa（ a0, m, n 都是正整數(shù)，且mn同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；如： ab 4abab3a 3b 39、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；a 01 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1；p1a a p （ a0, p 是正整數(shù)） ，即一個(gè)不等于零的數(shù)的p 次方等于這個(gè)數(shù)的p 次方的倒數(shù)；如 ： 2 3 1 312810、單項(xiàng)式的乘法法就：?jiǎn)雾?xiàng)式與

9、單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；留意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再運(yùn)算肯定值；相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法就；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式乘法法就對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式；如：2x 2 y3 z . 3xy11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即 mab cmambmc m, a, b, c 都是單項(xiàng)式留意：積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；運(yùn)算時(shí)要留意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一

10、項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；在混合運(yùn)算時(shí)，要留意運(yùn)算次序，結(jié)果有同類(lèi)項(xiàng)的要合并同類(lèi)項(xiàng)；如： 2 x 2x3 y3 y xy12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法就；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加；3a2b a如：3bx5 x613、平方差公式： ab aba 2b 2 留意平方差公式綻開(kāi)只有兩項(xiàng)公式特點(diǎn)： 左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；如 ： xyz xyz14、完全平方公式：2ab22a2abb公式特點(diǎn)： 左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊有三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平

11、方，而另哪一項(xiàng)左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的留意：2 倍；a 2b 2ab 22 abab 22ab2 ab 2ab 4abab 2ab 2ab 2ab 2ab 2ab 2完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2 倍；15、三項(xiàng)式的完全平方公式：abc 2a 2b 2c 22 ab2ac2bc16、單項(xiàng)式的除法法就：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式；留意：第一確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，假如只在被除式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式如：7a 2 b4 m49a 2 b17、多項(xiàng)式除

12、以單項(xiàng)式的法就：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加；即： ambmcmmammbmmcmmabc18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、學(xué)問(wèn)點(diǎn)分析：1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算： am·an=am+n m， n 都是正整數(shù) . amn=amn m， n 都是正整數(shù) .例 題 1. 如 2 a 264 ，就 a=；如 273 n38 ， 就 n=例題 2. 如 5 2 x 1125 ， 求 x2 2021x的值；例題 3.運(yùn)算xnm322 y2 yx練習(xí)1.如a 2 n3 ，就a 6n =.2.設(shè) 4x =8y-1 ,且 9y

13、=27 x-1 ,就 x-y 等于；2.積的乘方abn =anbnn 為正整數(shù) . 積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.3 p例題 1.運(yùn)算：nm3. 乘法公式p 4mnnm平方差公式：22ababab完全平方和公式：ab 2a 22abb 2完全平方差公式：ab 2a 22abb 2例題 1. 利用平方差公式運(yùn)算：2021×2007 20212例題 2.利用平方差公式運(yùn)算：200722007202120063.（ a 2b 3cd）（ a 2b 3c d）5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式時(shí)，先提公因式；例 1 把 2ax10ay5bybx 分解因

14、式分析： 把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x 的降冪排列， 然后從兩組分別提出公因式2a 與b ，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x5y ，這樣可以連續(xù)提取公因式解 ： 2ax10 ay5bybx2a x5 yb x5 yx5 y2 ab說(shuō)明： 用分組分解法，肯定要想想分組后能否連續(xù)完成因式分解，由此合理挑選分組的方法此題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試2例 2 把 abcd 2 a 2b 2 cd 分解因式分析： 依據(jù)原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式解 ： abc2d 2 a 2b 2 cdabc 2abd 2a 2 cdb

15、 2 cdabc 2a 2 cd b 2cdabd 2 acbcad bd bcad bcad acbd 說(shuō)明： 由例 3、例 4 可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了安排律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用2. 公式法： 依據(jù)平方差和完全平方公式例題 1 分解因式9 x225 y23.配方法：例 1 分解因式x26 x16解 ： x26x16x22x3323216 x3252 x35 x35 x8 x2說(shuō)明： 這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，此題仍有其它

16、方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)4.十字相乘法：（ 1） x2 pqxpq 型的因式分解這類(lèi)式子在很多問(wèn)題中常常顯現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；2 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；3 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和22x pqxpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此，x2 pq xpq xp xq 運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式分解因式例 1 把以下各式因式分解：1x27x6(2)x213x36解： 1 q616,1672x7x6 x1 x6x1x6 2 q3649,4913x213x36 x4 x9說(shuō)明： 此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)

17、系數(shù)的符號(hào)相同例 2 把以下各式因式分解：1x25x242x22 x15解： 1 q2438,385x25x24 x3 x8x3 x82 q1553,5322x2x15 x5 x3) x5 x3說(shuō)明： 此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中肯定值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同 例 3 把以下各式因式分解：(1) x2xy6 y2(2)x2x 28 x2x12分 析 ： 1 把 x2xy6 y2 看成 x 的二次三項(xiàng)式，這常常數(shù)項(xiàng)是6 y2 ，一次項(xiàng)系數(shù)是y ，把6 y2 分解成 3 y 與2 y 的積，而 3 y2 yy ，正好是一次項(xiàng)系數(shù)2由換元思想，只要把x2x 整體

18、看作一個(gè)字母a ，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式a 28a12 解： 1x22xy6 y22xyx6 x3 y x2 y222222 xx8 xx12 xx6 xx2 x3x2 x2 x1（ 2）一般二次三項(xiàng)式ax2bxc 型的因式分解大家知道， a xc a xc a a x2a ca c xc c 1122121 22 11 2反過(guò)來(lái)，就得到：a a x2a ca c xc ca xc a xc 1 21 22 11 21122我們發(fā)覺(jué)， 二次項(xiàng)系數(shù)a 分解成a1a2 ，常數(shù)項(xiàng) c 分解成c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 ,c2 寫(xiě)成 a1a2c1 ，c2這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2 c1 ，假如它正好等于ax2bxc 的一次項(xiàng)系數(shù) b ，那么ax2bxc 就可以分解成 a xc a xc ，其中 a , c 位于上一行， a , c11221122位于下一行這種借助畫(huà)十字交叉線分