某企業(yè)主要生產(chǎn)一種手工產(chǎn)品產(chǎn)銷問題數(shù)學(xué)模型

1、一、問題重述產(chǎn)銷問題某企業(yè)主要生產(chǎn)一種手工產(chǎn)品，在現(xiàn)有的營銷策略下，年初對上半年6個月的產(chǎn)品需 求預(yù)測如表1所示。表1.產(chǎn)品需求預(yù)測估計值（件）月份1月2月3月4月5月6月1300預(yù)計需求量100011001150130014001月初工人數(shù)為10人，工人每月工作21天，每天工作8小時，按規(guī)定，工人每個月加 班時間不得超過10個小時。1月初的庫存量為200臺。產(chǎn)品的銷售價格為240元/件。該產(chǎn) 品的銷售特點是，如果當月的需求不能得到滿足，顧客愿意等待該需求在后續(xù)的某個月內(nèi)得 到滿足，但公司需要對產(chǎn)品的價格進行打折，可以用缺貨損失來表示。6月末的庫存為0（不 允許缺貨）。各種成本費用如表2所示。

2、表2.產(chǎn)品各項成本費用原材料成本 * 庫存成本缺貨損失1外包成本培訓(xùn)費用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘費用產(chǎn)品加工時間工人正常工資工人加班工資1100元/人11.6小時/件L .12元/小時/人18元/小時/人（1）若你是公司決策人員，請建立數(shù)學(xué)模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優(yōu)產(chǎn)銷方案;（2）公司銷售部門預(yù)測：在計劃期內(nèi)的某個月進行降價促銷，當產(chǎn)品價格卜降為220 元/件時，則接下來的兩個月中6%的需求會提前到促銷月發(fā)生。試就一月份（淡季）促銷和 四月份（旺季）促銷兩種方案以及不促銷最優(yōu)方案（1）進行對比分析，進而選取最優(yōu)的產(chǎn) 銷規(guī)劃方案。二、問題分

3、析這是一個關(guān)于企業(yè)產(chǎn)銷的非線性規(guī)劃問題，我們可以結(jié)合該題目給出的條件和變量，綜 合考慮各個變最之間的關(guān)系，列出目標函數(shù)，將該題目轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)方面的問題進行定量 的分析和討論。在充分理解題意的基礎(chǔ)上，針對題目中的數(shù)據(jù)和具體要求，以運籌學(xué)知識為 基礎(chǔ)，建議了一個針對多變量求解目標函數(shù)最大利潤的非線性規(guī)劃模型。對于這個關(guān)于產(chǎn)銷的定量分析問題，我們結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)，可以構(gòu)造出一個在一定合理性 假設(shè)的情況卜能很好的反應(yīng)各因素對利潤影響的函數(shù)關(guān)系式，則應(yīng)用Imgo軟件對該問題進 行相關(guān)的分析及求解。三、符號說明Max：可獲得最大利潤m:：最小總成本f0： 6個月總非人力成本r0： 6個月人力總成本/：第n個

4、月非人力成本rn:第n個月人力成本兒：第n個月實際發(fā)貨量IV,：第n個月的外包量p該企業(yè)在第n個月的生產(chǎn)量/,：第n個月的缺貨量5n：第n個月的庫存量x；f：第11個月的工作人數(shù)?！埃旱?1個月的招聘人數(shù)：第11個月的解雇人數(shù)第n個月的加班時間（單位：小時）四、模型假設(shè)1、不考慮手工產(chǎn)品的售價、預(yù)計需求以及各種成本因索（如：員工的工資、培訓(xùn)成本、 解雇費、庫存費、缺貨損失、外包費用等閃索）會隨市場供需或其他因素的影響而 出現(xiàn)相應(yīng)波動。2、對產(chǎn)量做離散處理，即認為生產(chǎn)值在月底一次性產(chǎn)生，當月的產(chǎn)品不產(chǎn)生庫存費。3、為簡單起見，咐于招聘人員做出規(guī)定，對重要招聘同一人時產(chǎn)生的培訓(xùn)費也要重新 加入計算

5、，即可認為各個月的招聘人和解聘人之間是相互無關(guān)的變量，各自獨立。 且在月初招聘人員和解聘人員，培訓(xùn)時間不影響員工正常的工作和加班時間。4、從實際出發(fā)，對缺貨量和庫存量作出以卜.規(guī)定，規(guī)定上月的庫存量說先滿足本月的 需求，本月的生產(chǎn)首先滿足前一個月的缺貨，這樣庫存和缺貨的成本可以當做不會 因時間上的長短而受到影響。五、模型的建立1、用圖示分析各變量之間關(guān)系2、對該題目中的外包因素做出相應(yīng)的預(yù)測性分析。考慮到在該問題中外包成本為200 元/件，該成本相對來說過高，于是我們對該成本因素灼利潤的作用產(chǎn)生懷疑，分析 得知，計算以工人方式生產(chǎn)模式生產(chǎn)一件產(chǎn)品的最大產(chǎn)品成本價為：工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品最大成本=原

6、料成本+缺貨損失+生產(chǎn)一件產(chǎn)品的人力花費針對這個問題，我們要得到工人生產(chǎn)該產(chǎn)品的最高成本，故按照可能的最大成本進 行計算，缺貨同庫存不可能同時發(fā)生，由于缺貨損失大于庫存費用，取缺貨損失計 算：生產(chǎn)一件產(chǎn)品的人力花費計算中：認為該工人在月初被招聘月末解雇（即加 入培訓(xùn)費和解雇費）總的月工作時間為正常工作時間，不考慮加班時間。（計入 加班時間會使工人生產(chǎn)更多的產(chǎn)品從而降低生產(chǎn)一件產(chǎn)品時的培訓(xùn)和解雇的成本） 工資按加班時的工資來算?？傻靡韵滤闶剑汗と松a(chǎn)一件產(chǎn)品最大成本=100+20+ （50+100） X1.6+ （21X8） +18X1.6=150 （單位：元）由以上分析可知，外包成本遠遠大于該

7、企業(yè)自己生產(chǎn)的成本，故預(yù)計外包不會產(chǎn)生, 但由于眶目要求6月份的缺貨為零，考慮到由于生產(chǎn)能力有限而引起的最終的缺 貨，我們在求解時也加入了外包成本進行求解。3、產(chǎn)銷模型的建立問題一：目標函數(shù)及其子函數(shù)的建立目標函數(shù)為：Max=7250X240-m即最大利潤減去最小成本，由于每月的預(yù)計值已經(jīng)固定不變，并且題目要求六月份 的缺貨量為零，故6個月銷田的產(chǎn)品個數(shù)總和是固定的7250件，售價不變，其銷售 總金額也不變，所以該問題轉(zhuǎn)化為求解成本最小的問題。又有m=%6人=£入6個月非人力成本等于各個月非人力成本之和/|«14 = t心6個月人力成本等于各個月人力成本之和/1=1根據(jù)變最

8、之間的關(guān)系分析人力成本故可列出算式：人力成本正常工人工資+當月招聘人員的培訓(xùn)費+當月解雇人員的遣散費+加班 費rt=xn X21X8X12+J, X100+«M X504- 7 X18 （其中 lWnW6）對于某個月的員工人數(shù)等于本來就有的員工人數(shù)，加上本月的新聘人數(shù)或者減去本 月的解聘人數(shù)，可列出算式：員工人數(shù)=已有員工+新聘員工一解雇員工Xi=10+ a一人+ %-4（2<n<6）根據(jù)變量之間的關(guān)系分析非人力成本可以列出下面同非人力成本有關(guān)的算式：非人力成本=當月生產(chǎn)成本+當月庫存費用+上月缺貨費用+本月外包成本£ 100X a +10X S、+200X %

9、/=100X p“ +10X sn +20X /“t +200X 卬“（其中 2WnW6）（6）該企業(yè)每月的生產(chǎn)量可以根據(jù)總的工作時間同生產(chǎn)效率得出，可列出算式：某月生產(chǎn)量=（員工人數(shù)X工作天數(shù)X每天工作時間+加班時間）+生產(chǎn)一件產(chǎn)品所 需時間p（X“ X8X21+ Jn） 4-1.6 （其中 1W11W6）該企業(yè)每月的庫存量等于本來就有的庫存量加上本月的生產(chǎn)量和外包量減去本月 的實際銷售量可列出算式：某月庫存量=已有庫存+本月生產(chǎn)量+本月外包量一本月實際發(fā)貨量*=200+ P + /一4sst + P + % 一兒（2W6）該企業(yè)每月的缺貨量等于本月的預(yù)期需求量加上上個月的缺貨量減去本月的實

10、際 銷售量可列出算式：某月缺貨量本月預(yù)期需求量+已有缺貨量一本月實際發(fā)貨量/=100。一九L =iioo+ /,一力，/. =1150+ h./4 =1300+ /3 h4Z5=1400+ /4 h5/6-13004- /5 h6根據(jù)題意該企業(yè)的6個月銷件產(chǎn)品的總量不變，所以實際銷轡量總和為7250,兒 + h2 + 力 3 + hj + h5 + h6 =7250而6個月的生產(chǎn)量和外包量的總和是不變的，所以66$>” +£% +200=7250 /r»ln«l該模型的約束條件為：所有變量都為非負的數(shù)，井旦人數(shù)、手工產(chǎn)品件數(shù)必須為整數(shù)。最后一個月的缺貨量（為

11、零。缺貨同庫存不可能同時發(fā)生。問題二：考慮第一種方案：淡季促銷，即一月份促銷，二月份同三月份的預(yù)計需求后的6% 將會提前到一月份，所以根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算可列表淡季促銷時各個月的預(yù)期需求量：月份1月2月3月4月5月6月預(yù)計需1 求量113510341081130014001300只需對不促銷時的方案（即問題一）的方程做出適當?shù)母淖儯瑢?月至3月的預(yù)計需求量按照上表作出相應(yīng)的改變分別變?yōu)?135、1034、1081。對于促銷當月銷售價格調(diào)整為220元 每件，則將該損失加入到非人力成本中。由以上分析可以得出修改后的相關(guān)算式：，i=U35兒'T034+L 加/.=1081 + /, h.4 =13004-13 h4/5=1400+/4 h5/6-13OO+/5 /l66=100。P1+10X '+200X 嗎+20九其他變量關(guān)系式不變?？紤]第二種方案：旺季促銷，即四月份促銷，五月份同六月份的預(yù)計需求量的6%將會提前 到四月份，所以根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算可列表旺季促銷時各個月的預(yù)期需求量：月份11月2月3月4月5月6月預(yù)計需求量100011001150146213161222同樣只需對不施麗而于案（即問題一）而標破由適當?shù)母淖?，?月至6月初領(lǐng)5系錄 量按照上表作出相應(yīng)的改變分別變?yōu)?462、1316、1222。對于促銷當