不定積分課件

1、不定積分PPT課件解解()cos;dtdt(sin)cos,dttdt)(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td 如何系統(tǒng)計(jì)算？如何系統(tǒng)計(jì)算？引言引言(?)(?)( );( )ddf x dxf xdx不定積分PPT課件第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)3.3 不定積分不定積分例例 )0(1ln xxx一、一、定義定義若在區(qū)間若在區(qū)間I 內(nèi)內(nèi) dxxfxdFxfxF 或或 .上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)在在是是則稱則稱IxfxF 1ln0,.xx 是是在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù)不定積分PPT課件問題：問題：(2) f(x)的原函數(shù)的原函數(shù)F

2、(x)是否唯一是否唯一？(3) 若原函數(shù)若原函數(shù)F(x)不唯一不唯一, , 它們之間有什么聯(lián)系它們之間有什么聯(lián)系？(1) f(x)滿足什么條件則一定存在原函數(shù)滿足什么條件則一定存在原函數(shù)F(x) ?原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). . .fxIIF xxIFxfx 如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間 內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，使使，都都有有不定積分PPT課件例例 sincosxx sincosxCx 22xx 22xCx 由原函數(shù)的定義可知：由原函數(shù)的定義可知：證證 )()()()(xGxFxGxF 0

3、)()( xfxfCxGxF )()( (1)( )( ).(2)Fxf xCF xCfxF xG xfxF xG xCC 若若，則則對(duì)對(duì)于于任任意意常常數(shù)數(shù) ，都都是是的的原原函函數(shù)數(shù)若若和和都都是是的的原原函函數(shù)數(shù)，則則為為任任意意常常數(shù)數(shù) C為為任任意意常常數(shù)數(shù) C為為任任意意常常數(shù)數(shù)不定積分PPT課件不定積分的定義：不定積分的定義：若在區(qū)間若在區(qū)間I內(nèi)內(nèi), F(x)是是 f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)的一般表達(dá)式的所有原函數(shù)的一般表達(dá)式F(x)+C (C為任意常數(shù)為任意常數(shù))稱為稱為f(x)的不定積分，記為的不定積分，記為 .fx dx 不定積分號(hào)不定積分

4、號(hào)被積表達(dá)式被積表達(dá)式 即即f(x) dx=F(x)+C積分變量積分變量被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分PPT課件例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx不定積分PPT課件例例3 3 設(shè)曲線通過點(diǎn)設(shè)曲線通過點(diǎn)(1，2)，且其上任一點(diǎn)處的，且其上任一點(diǎn)處的解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程

5、為. 12 xy切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.不定積分PPT課件xy=x2+1(1,2)y=x2+coy不定積分PPT課件不定積分的幾何意義：不定積分的幾何意義：設(shè)設(shè)F(x)是是 f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則 y=F(x)的的圖形是圖形是 xoy 平面上的一條曲線，稱此曲線平面上的一條曲線，稱此曲線 為為 yF xCfx 積積稱稱為為的的分分曲曲線線族族. .因?yàn)橐驗(yàn)?000 x xx xx xyF xCfxfx 所以在每條積分曲線上同一橫坐標(biāo)所以在每條積分曲線上同一橫坐標(biāo) x0 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切線的斜率都等于切線的

6、斜率都等于f(x0). 在幾何上表明：在幾何上表明：f(x)的一條的一條積分曲線積分曲線.不定積分PPT課件在積分曲線在積分曲線 族的每條積分曲線族的每條積分曲線 上橫坐標(biāo)上橫坐標(biāo) x 相同的點(diǎn)相同的點(diǎn)作切線，這些切線是互相平行的作切線，這些切線是互相平行的.如下圖所示：如下圖所示：oxyx不定積分PPT課件二、二、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) fx dxfx 性質(zhì)1性質(zhì)1或或 F xf x證證設(shè)設(shè)是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則 .f x dxF xC .fx dxF xCFxfx 所以所以 dxxfdxxfd 不定積分PPT課件( )( ),Fx dxF xC ( )( ).dF

7、xF xC 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.2性性質(zhì)質(zhì)或或不定積分PPT課件 ( )( )f xg x dx 性性質(zhì)質(zhì)3 3( )( );f x dxg x dx 證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.有限個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和有限個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和 4( )( )0kf x dxkf x dxkk 性性質(zhì)質(zhì)是是常常數(shù)數(shù)，不定積分PPT課件實(shí)例實(shí)例 xx 11.11Cxdxx 結(jié)論結(jié)論 既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，)1( 三、三、 基本積

8、分表基本積分表因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.不定積分PPT課件(1)(kdxkxCk 是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx ,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx有時(shí)簡寫為有時(shí)簡寫為.ln Cxxdx積分基本公式：積分基本公式：0.dxC , 0 x不定積分PPT課件 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2s

9、in)9( xdx2csc;cotCx 不定積分PPT課件 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax (14)sh xdx ch;xC (15)ch xdx sh;xC 不定積分PPT課件例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 11xx dxC 不定積分PPT課件例例5 5 求積分求積分解解2232().11Idxxx 22113211Idxdxxx xarctan3 xarcsin2 C 不定積分PPT課件例例6 6 求積分求積分解解

10、dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx .)1(122dxxxxx 不定積分PPT課件例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(2122222221(1)xxdxxx dxxdxx 22111.arctan1Cxx 拆分、湊項(xiàng)拆分、湊項(xiàng)（1+x2）不定積分PPT課件恒等變形恒等變形例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 不定積分PPT課件解解,sinsec2xxdxdy dxxxy si

11、nsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy 29,secsin0,5.yfxx fxxxy 例例已已知知曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線斜斜率率為為，且且此此曲曲線線與與 軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為，求求此此曲曲線線的的方方程程不定積分PPT課件例例10 求求3xxIe dx .lnxxaa dxca 13.331ln3ln3xxxxeeeIdxcce 式式視為底數(shù)，利用積分公視為底數(shù)，利用積分公，將，將因因解解333eeexxx 不定積分PPT課件 dxxxI22cossin111求求例例 I解解 dxxxxx2222cossincossin xdxxdx22cscsecdxxdxx 22sin1cos1cxx cottan不定積分PPT課件.xdx 2 2例例1 12 2求求I I= = t ta an n 2sec1Ixdx 解解tan.xxc 不定積分PPT課件思考：思考：1、分段函數(shù)、分段函數(shù) 求求10(