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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上林初中2017屆中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)匯編:專題15角含半角模型(附答專題15 角含半角模型 破題策略 1 等腰直角三角形角含半角 如圖,在ABC中,ABAC,BAC90°,點(diǎn)D,E在BC上且DAE45° BAEADECDA BD2CE2DE2 A45°BDEC 證明易得ADCBBADEAB, 所以BAEADECDA 方法一:如圖1,將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACF,連結(jié)EF A45°FBDEC 則EAFEAD45°,AFAD,所以ADEFAE 所以DE EF 而CFBD,F(xiàn)CEFCAACE90°
2、;, 所以BD2 CE2CF2CE2EF2DE2 方法二:如圖2,作點(diǎn)B 關(guān)于AD 的對(duì)稱點(diǎn)F,連結(jié)AF,DF,EF A45°BDFEC 因?yàn)锽ADEACDAFEAF, 又因?yàn)锽ADDAF, 則FAECAE,AFABAC, 所以FAECAE 所以EF EC 而DFBD, DFEAFD AFE90°, 所以BD2 EC2 FD2 EF2 DE2 【拓展】如圖,在 ABC 中,ABAC,BAC90°,點(diǎn)D 在BC 上,點(diǎn)E 在BC 的延長(zhǎng)線上,且DAE45°,則BD2CE2DE2 ABDCE 可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來(lái)證明,如圖: FAAFBDCEB DCE
3、 將等腰直角三角形變成任意的等腰三角形:如圖,在ABC中,ABAC,點(diǎn)D,E在BC上,且DAE數(shù)為180°BAC A1BAC,則以BD,DE,EC為三邊長(zhǎng)的三角形有一個(gè)內(nèi)角度2BDEC 可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)、翻折的方法將BD,DE,EC轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中,如圖: AAFBBDFECDEC 2 正方形角含半角 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,EAF45°,連結(jié)EF,則: B45°EABEGABHE45°ACF圖1DCF圖2DCF圖3D EFBEDF; 如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AGEF于點(diǎn)G,則AGAD; 如圖3,連結(jié)BD交AE于點(diǎn)H,連結(jié)FH 則
4、FHAE 如圖4,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADI證明 BEACF圖4DI 則IAFEAF45°,AIAE, 所以AEFAIF, 所以EFIFDIDFBEDF 因?yàn)锳EFAIF,AGEF,ADIF, 所以AGAD HAFHDF45°可得A,D,F(xiàn),H 四點(diǎn)共圓, 從而AHF180°ADF90°, 即FHAE 【拓展】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊CB,DC 的延長(zhǎng)線上,EAF45°,連結(jié)EF,則EFDFBE EBAFCD 可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)證明.如圖: EABFCGD 如圖,在一組鄰邊相等、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形ABC
5、D 中,AB=AD,BAD+C=180 °,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC、CD上,EAF=1BAD,連結(jié)EF,則EF=BE+DF. 2BAECFD 可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)證明.如圖: BAEC FDG 例題講解 例1 如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,EAF45°. 試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系. 如圖2,在四邊形ABCD中,BAD90°,ABADBD180°,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,則當(dāng)EAF 與BAD 滿足關(guān)系時(shí),仍 有EFBEFD. 如圖3在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知ABAD80m,B60°
6、,ADC120°,BAD150°,道路BC,CD上分別有景點(diǎn)E,F(xiàn),且AEADDF40m現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直的道路,求 這條道路EF的長(zhǎng) ADFADDFBEC圖2FABC BEC圖1E圖3解: “正方形內(nèi)含半角模型”可得EFBEFD BAD2EAF,理如下: 如圖4,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G,使得DGBE連結(jié)AG. 易證ABEADG. 所以AEAG, 即EFBEDFDGDFGF.從而證得AEFAGF 所以EAFGAF11EAGBAD. 22AGDFBE圖4GHDFAB CE圖5C 如圖5,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1 50°至ADG連結(jié)AF 題意可得BAE60°
7、; 所以ABE 和ADG均為等腰直角三角形. 過(guò)點(diǎn)A作 AHDG于點(diǎn)H則 DH13AD40m,AH AD403 m. 22而DF40m. 所以EAFGAF45°. 可得EAFGAF 所以EF GF80m+40m109. 2m. 例2如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角,且滿足MA N45°連結(jié)MC、NC、MN 與ABM相似的三角形是,BMDN ; 求MCN的度數(shù); 請(qǐng)你猜想線段BM、DN和MN之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. ADBNCM 2解:NDA,a. AGDFBE圖4GHDFAB CE圖5C 如圖5,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1 50°至ADG連結(jié)AF 題意可得BAE60° 所以ABE 和ADG均為等腰直角三角形. 過(guò)點(diǎn)A作 AHDG于點(diǎn)H則 DH13AD40m,AH AD403 m. 22而DF40m. 所以EAFGAF45°. 可得EAFGAF 所以EF GF80m+40m109. 2m. 例2如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,BM、DN分別平分
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