2022年量子力學(xué)第一節(jié)力學(xué)量算符教案

1、第一節(jié)力學(xué)量算符一 . 算符算符 : 作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號，量子力學(xué)中的算符是作用在波函數(shù)上的運(yùn)算符號。用表示一算符。二力學(xué)量算符1. 坐標(biāo)的算符就是坐標(biāo)本身：2. 動(dòng)量算符：, , 3. 動(dòng)能算符4. 哈密頓算符：5. 角動(dòng)量算符：如果量子力學(xué)中的力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式中將換成算符得出算符和它所表示的力學(xué)量的關(guān)系？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -第二節(jié)算符基本知識一線性算符滿足運(yùn)算規(guī)則的算符稱為線性算符。二單位算

2、符保持波函數(shù)不改變的算符三算符之和加法交換律加法結(jié)合律兩個(gè)線性算符之和仍為線性算符。四算符之積定義 : 算符與的積為注意 : 一般說算符之積不滿足交換律，即：這是與平常數(shù)運(yùn)算規(guī)則不同之處。五逆算符設(shè)能唯一解出，則定義的逆算符為：注意 : 不是所有的逆算符都有逆算符。，六算符的復(fù)共軛，轉(zhuǎn)置，厄密共軛精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -1 兩個(gè)任意波函數(shù)與的標(biāo)積2 復(fù)共軛算符算符的復(fù)共軛算符為：把的表示式中所有復(fù)量換成其共軛復(fù)量3 轉(zhuǎn)置算符定義 : 算符的轉(zhuǎn)置算符滿足：即：4 厄密共軛算

3、符算符的厄密共軛算符定義為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -即算符的厄密共軛算符即是的轉(zhuǎn)置復(fù)共軛算符5.厄密算符厄密算符是滿足下列關(guān)系的算符注意： 兩個(gè)厄密算符之和仍為厄密算符，兩個(gè)厄密算符之積卻不一定是厄密算符例 ：證明是厄密算符證：為厄密算符，為厄密算符精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -第三節(jié)力學(xué)量算符的本征值與本征函數(shù)一厄密算符的本征值與與本征函數(shù)設(shè)體系處于測量力

4、學(xué)量o ，一般說，可能出現(xiàn)不同結(jié)果，各有一定的幾率，多次測量結(jié)果的平均值趨于一確定值，每次具體測量的結(jié)果圍繞平均值有一個(gè)漲落，定義為如為厄密算符，也是厄密算符存在這樣一種狀態(tài)，測量力學(xué)量所得結(jié)果完全確定。即. 這種狀態(tài)稱為力學(xué)量的本征態(tài)。在這種狀態(tài)下稱為算符的一個(gè)本征值，為相應(yīng)的本征函數(shù)。二 力學(xué)量算符的性質(zhì)1.力學(xué)量算符是厄密算符量子力學(xué)的一個(gè)基本假定: 測量力學(xué)量時(shí)，所有可能出現(xiàn)的值，都是力學(xué)量算符的本征值。厄密算符的本征值必為實(shí)數(shù)證：設(shè)為厄密算符精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 41 頁 - - - - - - - -

5、 -取是實(shí)數(shù)表示力學(xué)量的算符為厄密算符2力學(xué)量算符為線性算符態(tài)疊加原理決定了力學(xué)量算符為線性算符【證】：設(shè)也應(yīng)是體系的態(tài)即為線性算符三 厄密算符本征函數(shù)的性質(zhì)1 正交性厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。如果兩函數(shù)和滿足積分是對變量變化的全部區(qū)域進(jìn)行, 則稱與相互正交。 證: 已知為實(shí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -由厄密算符性質(zhì)這里只考慮分離譜, 對連續(xù)譜也是成立的對歸一化的本征函數(shù)分離譜連續(xù)譜這樣的本征函數(shù)構(gòu)成正交歸一系.2.完備性設(shè)為代表某力學(xué)量的厄密算符, 它的正

6、交歸一本征函數(shù)系為, 對應(yīng)的本征值為則任一函數(shù)可按展開本征函數(shù)的這種性質(zhì)稱為完備性與 x 無關(guān) , 利用的正交歸一性, 將等式兩邊，對x 在整個(gè)區(qū)域積分即: 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -如總歸一化討論 :當(dāng)是算符的一本征函數(shù)時(shí), 即即其它系數(shù)為零, 這時(shí)測量力學(xué)量的測量值必是當(dāng)不是的本征函數(shù)時(shí), 可按本征函數(shù)展開,測量力學(xué)量的結(jié)果是本征值之一, 測量結(jié)果為的幾率為波( 態(tài)) 函數(shù)可以完全描述微觀粒子的狀態(tài)量子力學(xué)關(guān)于力學(xué)量與算符的關(guān)系的一個(gè)基本假定: 量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算

7、符都是厄密算符, 它們的本征函數(shù)組成完全系, 當(dāng)體系處于波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時(shí), 測量力學(xué)量f 所得的數(shù)值必定是算符的本征值之一, 測得的幾率是四 力學(xué)量算符的平均值.對于一態(tài), 將其按某力學(xué)量的本征函數(shù)集展開是歸一化的出現(xiàn)本征值的幾率為, 則按由幾率求平均值的法則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -上式可改寫為是歸一化的 證明 如未歸一化：如本征值是連續(xù)譜定理 : 在任何狀態(tài)下, 厄密算符的平均值都是實(shí)數(shù) 證明 逆定理 : 在任何狀態(tài)下平均值為實(shí)數(shù)的算符為厄密算符例 1: 設(shè)為厄密算

8、符 , 則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 41 頁 - - - - - - - - - 證明 第四節(jié)幾種典型力學(xué)量算符的本征函數(shù)一 .坐標(biāo)算符即為坐標(biāo)算符本征值為的本征函數(shù)。二 .動(dòng)量算符動(dòng)量算符的本征值方程，它們的解如何確定歸一化系數(shù)c這是由于本征值可取任意值，動(dòng)量本征值組成連續(xù)譜, 可以看出在空間任意一點(diǎn)本征值出現(xiàn)的幾率都是一樣的. 對連續(xù)譜的本征函數(shù), 我們一般將函數(shù)歸一化函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 41 頁 - - - - - - -

9、 - - = 取, 歸一化為函數(shù)歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)為箱歸一化 :如給波函數(shù)加上邊界條件, 即粒子被限制在一正方形箱中, 邊長為 l，要求波函數(shù)在兩個(gè)相對的箱壁上對應(yīng)點(diǎn)具有相同的值，同理：，為正負(fù)整數(shù)或零。本征值譜由分離變?yōu)檫B續(xù).精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -加進(jìn)周期性邊界條件后, 動(dòng)量本征函數(shù)可歸一化為1，歸一化常數(shù)為。歸一化波函數(shù)為三 .角動(dòng)量算符，用球坐標(biāo)表示：，可以看出角動(dòng)量算符只與有關(guān)1.的本征函數(shù)，解出精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

10、 - - - - - - 第 12 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -應(yīng)滿足邊界條件 exp =1 ，歸一化后，是的本征值為的歸一化本征函數(shù)。2角動(dòng)量的共同本征態(tài)：球諧函數(shù)的共同本征函數(shù)為球諧函數(shù)：軌道角量子數(shù)磁量子數(shù)具體表達(dá)式：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -是正交歸一的：對應(yīng)于的一個(gè)本征值有個(gè)不同的本征函數(shù)。我們把對應(yīng)于一個(gè)本征值有一個(gè)以上本征函數(shù)的情況稱為簡并。的本征值是度簡并。第五節(jié)算符的對易關(guān)系共同本征態(tài)函數(shù)測不準(zhǔn)關(guān)系一 . 量子力學(xué)的基本對易關(guān)系記

11、1.坐標(biāo)與動(dòng)量算符的對易關(guān)系為任意波函數(shù), 所以同理精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -概括起來2.角動(dòng)量算符的對易關(guān)系式同理可證常用的對易關(guān)系式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -二 . 共同本征態(tài)如兩算符, 滿足. 稱對易定理 : 如果兩算符有一組共同本征函數(shù)，而且組成完全系，則對易 證 設(shè)是任一波函數(shù)逆定理 : 如果兩個(gè)算符對易，則這兩個(gè)算符有組成完全系的共同本征

12、函數(shù)上述定理可推廣到兩個(gè)以上情況。它們的共同本征函數(shù)完全集是相互對易，它們有共同本征函數(shù)要完全確定體系所處的狀態(tài)，需要有一組相互對易的力學(xué)量，這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量，稱為力學(xué)量完全集。完全集合中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)目相符。從對易關(guān)系可以看出，普朗克常數(shù)在力學(xué)量對易關(guān)系中占有重要地位。體系微觀規(guī)律與宏觀規(guī)律之間差異，如在所討論問題中可略去，則坐標(biāo)，動(dòng)量，角動(dòng)量之間都對易，這些力學(xué)量同時(shí)有確定值，微觀體系就過渡到宏觀體系。三測不準(zhǔn)原理精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 41 頁 - - - - - - - -

13、-設(shè)兩算符對易關(guān)系為令考慮積分是實(shí)參數(shù)都是厄密算符不等式成立的條件是對坐標(biāo)和動(dòng)量精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -例： 通過測不準(zhǔn)原理關(guān)系說明線性諧振子的零點(diǎn)能【解】振子的平均能量是和不能同時(shí)為零最小值不能為零為求最小值，測不準(zhǔn)關(guān)系取等號得出的最小值，測不準(zhǔn)關(guān)系是量子力學(xué)中的基本關(guān)系，它反映了微觀粒子波粒二象性。第六節(jié)電子在庫侖場中的運(yùn)動(dòng)氫原子精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 41 頁 - - - - - -

14、 - - -一電子在庫侖場中的運(yùn)動(dòng)核（ ze），核外電子 (-e)氫原子 z=1類氫原子 z1勢能薛定諤 方程分離變量法徑向方程的解與角度部分有關(guān)的解n 主量子數(shù)軌道角動(dòng)量量子數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -m磁量子數(shù)可以看出能量本征值是和n 有關(guān)，對應(yīng)于第n 個(gè)能量有個(gè)波函數(shù)電子第個(gè)能級是度簡并的。二氫原子對氫原子應(yīng)考慮核運(yùn)動(dòng)，這是一兩體問題薛定諤方程相對坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 4

15、1 頁 - - - - - - - - -約化質(zhì)量分離變量帶入方程用除方程兩邊與坐標(biāo)無關(guān) 式描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，這是能量為的自由粒子的定態(tài)薛定諤方程。式是電子相對于核運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)所滿足的方程，即是一個(gè)質(zhì)量為的粒子在勢能為的力場中運(yùn)動(dòng)，這里我們只需要把前面結(jié)果中z 的取為 1，把電子質(zhì)量換成約化質(zhì)量即可氫原子能級能級隨 n 增大而增大電子電離精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -電離能=13.60=13.597 ( 取約化質(zhì)量 )電子由能級躍遷到時(shí)輻射出光的頻率里德伯 常數(shù) r=109737

16、31.1/mr=10967758/m （約化質(zhì)量）電子按半徑r 的分布幾率玻爾電子軌道半徑的本質(zhì)：分布幾率出現(xiàn)極值的地方。第七節(jié)力學(xué)量隨時(shí)間變化與守恒定律一力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化，守恒量在量子力學(xué)中，處于一定狀態(tài)下的體系在每一時(shí)刻不是所有力學(xué)量都有確定值，只是具有確定的平均值及幾率分布精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -有薛定諤 方程若力學(xué)量不是含 t 則，。如又和對易即，則：滿足上式，即力學(xué)量平均值不隨時(shí)間變化的力學(xué)量稱為守恒量，守恒量的幾率分布不隨時(shí)間改變。證：設(shè)為守恒量 ,

17、 則，取的一組共同本征態(tài)對任一態(tài)按展開精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -總結(jié)： 如果是與對易的不含t 的力學(xué)量（守恒量）則在體系的任何態(tài)下，平均值不隨時(shí)間改變在體系的任何態(tài)下，的幾率分布不隨時(shí)間改變。（3）若初始時(shí)刻， 體系處于守恒量的一個(gè)本征態(tài)，則以后仍將保持該本征態(tài)，若初始時(shí)刻， 體系不處于本征態(tài)，則以后狀態(tài)也不是本征態(tài)。例：（ 1）自由粒子的動(dòng)量動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒（2）中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子角動(dòng)量守恒只與有關(guān)角動(dòng)量平方及角動(dòng)量分量都是守恒量。(3) 哈密頓不現(xiàn)含時(shí)間的體系能量守

18、恒精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -能量守恒（4）哈密頓對空間反演不變時(shí)的宇稱守恒空間反演宇稱算符的本征值是1，的本征值是（偶宇稱）（奇宇稱）設(shè)體系的哈密頓算符在空間反演后不變則和可以有共同本征函數(shù)。宇稱守恒定律: 體系能量本征函數(shù)可以有確定宇稱且不隨時(shí)間改變。守恒量與定態(tài)的區(qū)分：1.定態(tài)是體系的一種特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則是體系的一種特殊的力學(xué)量，即不顯含時(shí)間與對易的力學(xué)量2.在定態(tài)下，不顯含t 的一切力學(xué)量（不管是不是守恒量）的平均值及幾率分布均不隨時(shí)間改變，而力學(xué)

19、量只要是守恒量，則在一切狀態(tài)下（不管是不是定態(tài)），它的平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變。第三章小結(jié)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -一 . 力學(xué)量用算符表示, 1.力學(xué)量與力學(xué)量算符的關(guān)系全部本征值是且僅是相應(yīng)力學(xué)量f 的所有可能取值。2 表示力學(xué)量的算符須具有的基本性質(zhì) (1). 線性算符 , 即滿足條件 :疊加原理要求薛定諤方程必須是線性的, 要求是線性的 , 而又是由諸力學(xué)量算符構(gòu)成.(2). 厄密算符，。物理要求力學(xué)量所有可能值 ( 觀測值 ) 均為實(shí)數(shù) , 即力學(xué)量的本征

20、值為實(shí)數(shù), 只有厄密算符的本征值全是實(shí)數(shù)。 3 力學(xué)量算符本征函數(shù)具有的基本性質(zhì)(1). 正交歸一性 ，這是由算符的厄密性決定的.分離譜連續(xù)譜(2).算符的本征函數(shù)集具有完備性（a）分離值, .精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -取值為的幾率（b） 連續(xù)譜：完備性的另一描述：分離譜連續(xù)譜 證 ：, 若上式 =, 則要求4 力學(xué)量算符的平均值一般表示，分離譜連續(xù)譜精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 41 頁 - -

21、 - - - - - - -上述波函數(shù)是歸一化的。二 . 幾種基本的力學(xué)量算符及本征函數(shù)1. 坐標(biāo)算符本征值譜為連續(xù)譜, 所有實(shí)數(shù)本征值為的本征函數(shù)正交歸一性 : 完備性 : 2. 動(dòng)量算符本征值為連續(xù)譜, 區(qū)間內(nèi)所有實(shí)數(shù)值, 本征值為的歸一化本征函數(shù)正交歸一化條件: 完備性 : 2.軌道角動(dòng)量算符常用球坐標(biāo)表示精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -與有共同的本征函數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)的本征函數(shù)正交歸一性 : 完備性 : 3.一維無限深勢阱的能量本征函數(shù)（寬度a）4.一維線性諧振子的能

22、量本征函數(shù)厄米多項(xiàng)式逆推關(guān)系 :精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -三 . 算符的對易關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系1.常見對易關(guān)系(1)(2)(3)(4)2.測不準(zhǔn)關(guān)系.四 . 氫原子( 電子在庫侖場中運(yùn)動(dòng))哈密頓量 :精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -能量本征值 :能量本征函數(shù): , 能級度簡并 .第三章例題主要類型 : 1.算符運(yùn)算 ; 2. 力學(xué)量的平均值; 3. 力學(xué)量幾率

23、分布.一 .有關(guān)算符的運(yùn)算1.證明如下對易關(guān)系(1.)(1) (2)(3)(4)(5) 證 (1) (2) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -(3)一般地 , 若算符是任一標(biāo)量算符, 有(4) 一般地 , 若算符是任一矢量算符, 可證明有(5)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -=0同理：。2.證明哈密頓算符為厄密算符 解 考慮一維情況為厄密算符 , 為厄密算符 ,為

24、實(shí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -為厄密算符為厄密算符3 已知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符和共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為,取: 試證明 : 也是和共同本征函數(shù), 對應(yīng)本征值分別為 : 。 證 。是的對應(yīng)本征值為的本征函數(shù)是的對應(yīng)本征值為的本征函數(shù)又:可求出 :精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -二 . 有關(guān)力學(xué)量平均值與幾率分布方面1.(1) 證明是的一個(gè)本征函數(shù)并求出相應(yīng)的本征值；(2) 求 x 在態(tài)中的平均值 解 即是的本征函數(shù)。本征值2.設(shè)粒子在寬度為a 的一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)，如粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫。求粒子能量的可能值相應(yīng)的概率及平均值【解】寬度為 a 的一維無限深勢井的能量本征函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 頁，共 41 頁 - - - - - - - - -注意 : 是否歸一化波函數(shù)能量本征值出現(xiàn)的幾率 , 出現(xiàn)的幾率能量平均值另一做法精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -