九年級上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

1、九年級上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié) 九年級上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)歸納 第二十一章 一元二次方程 第二十二章 二次函數(shù) 第二十三章 旋轉(zhuǎn) 第二十四章 圓 第二十五章 概率初步 第二十一章 一元二次方程 知識點(diǎn)1：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一個數(shù)，數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為 0，這樣的方程叫一元二次方 程 一般形式：ax2bx+c=0(a0）。注意：判斷某方程是否為一元二次方程時，應(yīng)首先將方程化為一般形式。 知識點(diǎn)2：一元二次方程的解法 1.直接開平方法：對形如(x+a）2=b（b0）的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的方法。 x+a= =-a+ =-a- 2.配方法：用配方法解一元二

2、次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步驟是：化為一般形式； 移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；如果b0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b<0，那么原方程無解 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通過配方推導(dǎo)出來的一元二次方程的求根公式是(b24ac0)。步驟：把方程轉(zhuǎn)化為一般形式；確定a，b，c的值；求出b24ac的值，當(dāng)b24ac0時代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理論根據(jù)：假設(shè)

3、ab=0，那么a=0或b=0。步驟是：將方程右邊化為0； 將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程乘積的形式，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5一元二次方程的考前須知： 在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào)a0因當(dāng)a=0時，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程 應(yīng)用求根公式解一元二次方程時應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；假設(shè)b24ac0，那么方程無解 利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有數(shù)的代數(shù)式如2(x4) =3（x4）中，不能隨便約去x4。 注意：解一元二次方

4、程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法因式分解法公式法 6一元二次方程解的情況 b24ac0方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； b24ac=0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； b24ac0方程沒有實(shí)數(shù)根。 解題小訣竅：當(dāng)題目中含有“兩不等實(shí)數(shù)根”“兩相等實(shí)數(shù)根”“沒有實(shí)數(shù)根”時，往往首先考慮用b24ac解題。主要用于求方程中系數(shù)的值或取值范圍。 知識點(diǎn)3：根與系數(shù)的關(guān)系:韋達(dá)定理 對于方程ax2bx+c=0(a0）來說，x1 +x2 =，x1x2= 。 利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如 。 解題小訣竅：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另

5、外一個根或系數(shù)時，可以用韋達(dá)定理。 知識點(diǎn)4：一元二次方程的應(yīng)用 一、考點(diǎn)講解： 1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型，常見的模型如下： 與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長率的應(yīng)用：此類問題是在某個數(shù)據(jù)的根底上連續(xù)增長（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)，常見的等量關(guān)系是a(1±x）2=b，其中a表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，x表示增長率（降低率），b表示后來的數(shù)據(jù)。注意：所得解中，增長率不為負(fù)，降低率不超過1。 經(jīng)濟(jì)利潤問題：總利潤=（單件銷售額單件本錢）×銷售數(shù)量； 或者，總利潤=總銷售額總本錢。 動點(diǎn)問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出數(shù)后，要想方法把圖

6、中變化的線段用數(shù)表示出來，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。 2注重解法的選擇與驗(yàn)根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性 一元二次方程與實(shí)際問題 1、 病毒傳播問題 2、 樹干問題 3、 握手問題（單循環(huán)問題） 4、 賀卡問題（雙循環(huán)問題） 5、 圍欄問題 6、 幾何圖形（道路、做水箱） 7、 增長率、降價(jià)率問題 8、 利潤問題（注意減少庫存、讓顧客受惠等字樣） 9、 數(shù)字問題 10、折扣問題 第二十二章 二次函數(shù) 一、二次函數(shù)概念： 1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需

7、要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) ，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù) 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng) 二、二次函數(shù)的根本形式 1. 二次函數(shù)根本形式：的性質(zhì)： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 時，隨的增大而 ； 時，隨的增大而 ；時，有最 值 時，隨的增大而 ；時，隨的增大而 ；時，有最 值 2. 的性質(zhì)： 上加下減。 的符號 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 時，隨的增大而 ； 時，隨的增大而 ；時，有最 值 時，隨的增大而 ；時，隨的

8、增大而 ；時，有最 值 3. 的性質(zhì)： 左加右減。 的符號 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 時，隨的增大而 ； 時，隨的增大而 ；時，有最 值 時，隨的增大而 ；時，隨的增大而 ；時，有最 值 4. 的性質(zhì)： 的符號 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) 時，隨的增大而 ；時，隨的增大而 ；時，有最 值 時，隨的增大而 ；時，隨的增大而 ；時，有最 值 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) ； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移” 概括成八個字

9、“左 右 ，上 下 ” 方法二： 沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成 （或） 沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數(shù)與的比擬 從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（假設(shè)與軸沒有交點(diǎn)，那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）. 畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn). 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時，拋物

10、線開口向上，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值 2. 當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，有最大值 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，為常數(shù)，）； 2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）； 3. 兩根式（兩點(diǎn)式）：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)

11、 二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大 總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小 2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下， 當(dāng)時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)； 當(dāng)時，即拋物線的對稱軸就是軸； 當(dāng)時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)； 當(dāng)時，即拋物線的對稱軸就是軸； 當(dāng)時，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè) 總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物

12、線對稱軸的位置 的符號的判定：對稱軸在軸左邊那么，在軸的右側(cè)那么，概括的說就是“左同右異” 總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的 二次函數(shù)解析式確實(shí)定： 根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況： 1. 拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選

13、用一般式； 2. 拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式； 3. 拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； 4. 拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式 九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°） 關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是；

14、 關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對稱 關(guān)于點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式 十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)： 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的

15、距離. 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點(diǎn)； 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo). 拋物線與軸有兩個交點(diǎn)

16、 二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù) 一元二次方程有兩個不相等實(shí)根 拋物線與軸只有一個交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值為非負(fù) 一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 拋物線與軸無交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值恒為正 一元二次方程無實(shí)數(shù)根. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 圖像參考： 十一、函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型 1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如： 以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 那么的值是 2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同

17、一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x a b c d 3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。 4 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如： 拋物線（a0）與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的

18、開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。 【例題經(jīng)典】 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號 例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，那么點(diǎn)在（ ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 （2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，那么以下結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ） a1個 b2個 c3個 d4個 (1) (2) 【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵 例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，o)、(x1

19、，0)，且1o；4a+co，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) a 1個 b. 2個 c. 3個 d4個 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例3.：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，那么拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d(3，2) 例4、如圖（單位：m），等腰三角形abc以2米/秒的速度沿直線l向正方形移動，直到ab與cd重合設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊局部的面積為ym2 （1）寫出y與x的關(guān)系式； （2）當(dāng)x=2，3.5時，y分別是多少？ （3）當(dāng)重疊局部的面積是正方形面積的一半時，

20、三角形移動了多長時間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對稱軸. 例5、拋物線y=x2+x- （1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸 （2）假設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為a、b，求線段ab的長 【點(diǎn)評】此題（1）是對二次函數(shù)的“根本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 例6.：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)p(4，10)，交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于c點(diǎn)，且滿足3ao=ob (1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)m，使銳角mco>aco?假設(shè)存在，請你求出m點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；假設(shè)不存在，請你說明理由 例7、 “函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)a（c

21、，2）， 求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。”題目中的矩形框局部是一段被墨水污染了無法識別的文字。 （1）根據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？假設(shè)能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象； 假設(shè)不能，請說明理由。 （2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。 點(diǎn)評： 對于第（1）小題，要根據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)a（c，2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能

22、夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)等。 用二次函數(shù)解決最值問題 例1 某產(chǎn)品每件本錢10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表： x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 假設(shè)日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似

23、，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例2.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如下圖，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂學(xué)生丙的身高是15 m，那么學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示) ( ) a15 m b1625 m c166 m d167 m 分析：此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用 第二十三章 旋

24、轉(zhuǎn) 一、旋轉(zhuǎn) 1、定義 把一個圖形繞某一點(diǎn)o轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中o叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。 2、性質(zhì) （1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。 （2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。 二、中心對稱 1、定義 把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心。 2、性質(zhì) （1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。 （2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。 （3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。 3、判定 如果兩個圖

25、形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。 4、中心對稱圖形 把一個圖形繞某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。 考點(diǎn)五、坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的特征 （3分） 1、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特征 兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)的符號相反，即點(diǎn)p（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為p（-x，-y） 2、關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的特征 兩個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號相反，即點(diǎn)p（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為p（x，-y） 3、關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征 兩個點(diǎn)關(guān)于y軸對稱時，它們的坐標(biāo)中

26、，y相等，x的符號相反，即點(diǎn)p（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為p（-x，y） 第二十四章 圓 一、知識回憶 圓的周長：c=2r或c=d、圓的面積：s=r? 圓環(huán)面積計(jì)算方法：s=r?-r?或s=（r?-r?）(r是大圓半徑，r是小圓半徑） 二、知識要點(diǎn) 一、圓的概念 集合形式的概念：1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念： 1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓； 固定的端點(diǎn)o為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦

27、叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的局部叫做圓弧，簡稱弧。 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。 二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)； 2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上； 3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外； 三、直線與圓的位置關(guān)系 1、直線與圓相離 無交點(diǎn)； 2、直線與圓相切 有一個交點(diǎn)； 3、直線與圓相交 有兩個交點(diǎn)； 四、圓與圓的位置關(guān)系

28、外離（圖1） 無交點(diǎn) ； 外切（圖2）有一個交點(diǎn) ； 相交（圖3）有兩個交點(diǎn) ； 內(nèi)切（圖4）有一個交點(diǎn) ； 內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； 五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。 推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧 中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中，

29、 弧弧 六、圓心角定理 頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。 圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中， 只要知道其中的1個相等，那么可以推出其它的3個結(jié)論， 即：； ； ； 弧弧 七、圓周角定理 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。 1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論： 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??； 即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧

30、是半圓，所對的弦是直徑。 即：在中，是直徑 或 是直徑 推論3：假設(shè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 即：在中， 是直角三角形或 注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理 （1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線 （2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個定理及推論也稱二推一定理： 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。 十、切線長定理 切線長定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：、是的兩條切線 平分 十一、圓冪定理 （1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。 即：在中，弦、相交于點(diǎn)， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。 即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)