高等數(shù)學：13-5 斯托克斯公式(1-30)

1、14.5 斯托克斯公式斯托克斯公式1 斯托克斯公式斯托克斯公式)( ),( , ),( , ),( ),( 1CzyxRzyxQzyxPzyxf定理定理 (stokes) 設(shè)設(shè) L 是空間是空間 中的光滑中的光滑(或分段光滑或分段光滑)的有向閉曲線的有向閉曲線 , 是以是以 L 為邊界的光滑為邊界的光滑(或分片光滑或分片光滑)的有向曲面的有向曲面 則有下式成立則有下式成立 LRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( 其中其中 L 的正向與的正向與 的正側(cè)符合右手規(guī)則的正側(cè)符合右手規(guī)則 說明說明n(2) 為了方便記憶為了方便記憶 , 引入記號引入記號L (1

2、) 曲線積分正向與曲面積分曲線積分正向與曲面積分正側(cè)成右手規(guī)則正側(cè)成右手規(guī)則dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RQPzyxdxdydzdxdydz ( 按第一行展開按第一行展開 ) cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyR RQPzyx coscoscos ( 按第一行展開按第一行展開 )斯托克斯公式可表示為斯托克斯公式可表示為 LRdzQdyPdx RQPzyxdxdydzdxdydz LRdzQdyPdxdSRQPzyx coscoscos , , dxdydzdxdydz RQPzyxkjizyxf).,(dSdSnSdcos,cos,cos 又

3、由又由斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式:dSnzyxf),(Lsdzyxf),( LRdzQdyPdxSdzyxf),(說明說明若若 , 是平面是平面 , ),( , ),( ),(0yxQyxPyxf區(qū)域區(qū)域 , L 為其邊界的正向為其邊界的正向 , 則則 stokes 公式公式即為即為 Green 公式公式zyx解解1 22 yx 其中其中 L : 例例計算計算LdzyxdyxzdxzyI)()()( 122 yx 1 zx, 且從且從 x 軸正向看去軸正向看去 , L 的的方向是反時針的方向是反時針的n設(shè)設(shè) 為為 x + z = 1 上曲線上曲線 L 所圍的有向曲面所圍的有向

4、曲面 , 其正向與其正向與 L形成右手規(guī)則形成右手規(guī)則 , , ),(yxxzzyzyxf , , ),(222zyxf利用利用 stokes 公式有公式有dSnzyxfI),() , , (21021ndS , , , , 21021222dS) (24122224yxdxdy) ( 4說明說明本題也可將本題也可將 L 表示為參數(shù)方程表示為參數(shù)方程 201ttztytxL , cos,sin,cos:化為定積分計算化為定積分計算解解例例計算計算 LxdzzdyydxI, 其中其中 L 是球面是球面2222azyx與平面與平面 x + y + z = 0 的交線的交線 ,其方向從其方向從 x

5、軸正向看去是反時針的軸正向看去是反時針的zyxn設(shè)設(shè) 為為 x + y + z = 1 上曲線上曲線 L 所圍的有向曲面所圍的有向曲面 , 其正向與其正向與 L形成右手規(guī)則形成右手規(guī)則L , , ),(xzyzyxfdSnzyxfI),() , , (313131n利用利用 stokes 公式有公式有dSxzyzyxkji , , 11131dS , , ,11111131dS323 a 2 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度向量場向量場 沿場中閉曲線沿場中閉曲線 L 的環(huán)流量的環(huán)流量),(zyxf( , , )Lf x y zds (1) 0( , , )Lf x y zds 表明表明 : L 的所在區(qū)域

6、中有的所在區(qū)域中有 “ 旋旋 ” , 在在),(zyxf區(qū)域內(nèi)整體上有旋轉(zhuǎn)趨勢區(qū)域內(nèi)整體上有旋轉(zhuǎn)趨勢 ( 宏觀的宏觀的 )(2) 環(huán)流量環(huán)流量 不能反映不能反映 ( , , )Lf x y zds ),(zyxf在區(qū)域內(nèi)各點處的旋轉(zhuǎn)趨勢狀況在區(qū)域內(nèi)各點處的旋轉(zhuǎn)趨勢狀況 ( 微觀的微觀的 )環(huán)量面密度環(huán)量面密度 設(shè)設(shè) M 是場中的一點是場中的一點 , 在點在點 M 處取定處取定 一個方向一個方向 , 過過 M 以以 為法向作一曲面為法向作一曲面 , nn其邊界曲線為其邊界曲線為 L , L 的正向與的正向與 成右手規(guī)則成右手規(guī)則, n 的面積為的面積為 SnM L LsdzyxfSS ),(1平

7、均環(huán)量面密度平均環(huán)量面密度 反映反映: 在點在點 M 附近繞附近繞 ),(zyxfn的旋轉(zhuǎn)趨勢的大小的旋轉(zhuǎn)趨勢的大小 如果如果 保持在保持在 M 點處以點處以 為法向為法向 , n并且以任意方式收縮為點并且以任意方式收縮為點 M 時時 , 極限極限LMMsdzyxfSS ),(limlim1存在存在 , 則稱此極限值為則稱此極限值為 在在 M 點處沿點處沿),(zyxfn方向的方向的環(huán)量面密度環(huán)量面密度 , 記作記作 , 即即 dSd LMMsdzyxfSSdSd ),(limlim1環(huán)量面密度的計算方法環(huán)量面密度的計算方法 )( ),( , ),( , ),( ),( 1CzyxRzyxQz

8、yxPzyxf利用利用 stokes 公式和積分中值定理公式和積分中值定理LLRdzQdyPdxsdzyxf ),(dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( SyPxQxRzPzQyRM cos)(cos)(cos)( SdSdM lim cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyR cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyRdSd 環(huán)量面密度的計算公式環(huán)量面密度的計算公式 :向量場向量場 的旋度的旋度),(zyxf點點 M 處的向量處的向量 , , yPxQxRzPzQyR稱為稱為 在在 M 點處的旋度點處的旋度 記作記作),(zyxf),( zyxf

9、rot , , ),( yPxQxRzPzQyRzyxfrot即即 說明說明 (1) 旋度也可表示為旋度也可表示為),(),( zyxfzyxfrotRQPzyxkji(2) 環(huán)量面密度可以寫成環(huán)量面密度可以寫成nzyxfrotdSd),( 表明表明 在在 M 點處的旋度點處的旋度 ,),(zyxf),( zyxfrot其方向是環(huán)量面密度取最大值的方向其方向是環(huán)量面密度取最大值的方向 , 其其模模 是環(huán)量面密度的最大值是環(huán)量面密度的最大值),( zyxfrot(3) Stokes 公式可以寫成公式可以寫成 Lsdzyxf),(Sdzyxfrot),( dSnzyxfrot),( Lsdzyxf

10、),(4) 旋度的運算性質(zhì)旋度的運算性質(zhì)grotfrotgfrot ) ( 1)2)fgradufrotufurot ) ( 3) 0) (grad urot(5) 平面向量場平面向量場 , ),( , ),( ),(0yxQyxPyxf , , ),( yPxQyxfrot00解解 , , 33304rzryrxrotqErot 例例計算位于坐標原點的點電荷計算位于坐標原點的點電荷 q 所產(chǎn)生的電場所產(chǎn)生的電場 電場強度向量場電場強度向量場 的旋度的旋度204rrqE 其中其中 rrzyxr , , , Erot )( )( , )()( , )()( 33333304rxyryxrzxrx

11、zryzrzyq , , ryrxrxryrxrzrzrxrzryryrzq44444403333334 , , 0000r3 無旋場的曲線積分無旋場的曲線積分問題問題平面曲線積分平面曲線積分 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)dyyxdxyxPL),(),(的條件的條件 就是就是yPxQ000 , , ),( yPxQyxfrot將平面曲線積分與路徑無關(guān)的結(jié)論推廣將平面曲線積分與路徑無關(guān)的結(jié)論推廣到空間的曲線積分到空間的曲線積分定義定義設(shè)有向量場設(shè)有向量場 ),( , ),( , ),( ),(zyxRzyxQzyxPzyxf(1) 如果空間曲線積分如果空間曲線積分 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)與內(nèi)與Lsdzyxf)

12、,(路徑無關(guān)路徑無關(guān) , 則稱向量場則稱向量場 在在 內(nèi)是內(nèi)是保守場保守場),(zyxf(2) 如果在如果在 內(nèi)恒有內(nèi)恒有 , 則稱則稱 0),( yxfrot),(zyxf在在 內(nèi)是內(nèi)是無旋場無旋場(3) 如果存在函數(shù)如果存在函數(shù) u(x , y, z) , 使得在使得在 內(nèi)成立內(nèi)成立),(),(zyxuzyxf則稱則稱 在在 內(nèi)是內(nèi)是有勢場有勢場 , u(x , y, z) 稱為稱為 ),(zyxf向量場向量場 的的勢函數(shù)勢函數(shù)),(zyxf定理定理設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域 是一維單連通區(qū)域是一維單連通區(qū)域 , 向量場向量場 )( ),( , ),( , ),( ),( 1CzyxRzyxQz

13、yxPzyxf則以下五個結(jié)論等價則以下五個結(jié)論等價(1) 曲線積分曲線積分 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān) Lsdzyxf),(即向量場即向量場 在在 內(nèi)是內(nèi)是保守場保守場),(zyxf(2) 對對 內(nèi)任一分段光滑的閉曲線內(nèi)任一分段光滑的閉曲線 L , 有有0Lsdzyxf),(3) 在在 內(nèi)處處成立內(nèi)處處成立0),( yxfrot即即 為為無旋場無旋場 ),(zyxf(4) 微分形式微分形式 Pdx + Qdy + Rdz 在在 內(nèi)是全微分式內(nèi)是全微分式即存在函數(shù)即存在函數(shù) u(x , y , z) 使使RdzQdyPdxzyxdu),(函數(shù)函數(shù) u(x , y , z) 稱為該微分

14、形式稱為該微分形式 的一個的一個原函數(shù)原函數(shù)),(zyxf(5) 在在 內(nèi)是內(nèi)是有勢場有勢場 , 即存在即存在 u(x , y , z) 使使),(),(zyxuzyxf說明說明 同樣可以證明同樣可以證明),(),( ),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu000是微分形式是微分形式 Pdx + Qdy + Rdz 在在 內(nèi)的一個原函數(shù)內(nèi)的一個原函數(shù)zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu000000),(),(),(),(zyx),(0000zyxM),(001zyxM),(zyxM),(02zyxM定理定理 ( 空間曲線積分的微積分基本定理空間曲線積分的微積分基本定理

15、)一維單連通區(qū)域一維單連通區(qū)域 上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù) , 則有則有如果如果 u(x , y , z) 微分形式微分形式 Pdx + Qdy + Rdz 在在 ),(),(),(),(),( zyxuzyxzyxzyxzyxRdzQdyPdx222111222111解解)cos()cos(),( yzyyzxyzzzxxyzzyxkjizyxfrot222222例例證明向量場證明向量場 )cos(, )cos( , ),(yzyyzx yzzzxxyzzyxf222222在在 R3 上是有勢場上是有勢場 , 并求一個勢函數(shù)并求一個勢函數(shù))( )cos( , 312222RCyzzzxQx

16、yzP)( )cos(3122RCyzyyzx R , , 000),( zyxf在在 R3 上是一無旋場上是一無旋場 ),( zyxf在在 R3 上是有勢場上是有勢場 dzyzyyzxdyyzzzxdxxyz)cos()cos( (222222RdzQdyPdxdzyzyyzdzxdyyzzdyzxdxxyz)cos()cos(222222)()()cos()(222222zydxyzdyzdyzxxdyz)sin(yzxyzd22)sin(),(yzxyzzyxu22所以勢函數(shù)所以勢函數(shù)用湊微分法求原函數(shù)用湊微分法求原函數(shù)例例計算計算 ABdzyxzdyzxydxzyxI)()()(222

17、其中其中 A = (0 , 0 , 0) , B = ( 1 , 1 , 1)解解)( , , 31222RCyxzzxyzyxf0222yxzzxyzyxzyxkjifrot 積分與在積分與在 R3 上與路徑無關(guān)上與路徑無關(guān)),( zyxf在在 R3 上是一無旋場上是一無旋場 xdydyyzdxydxdxxRdzQdyPdx22ydzxdzdzzzdy2)()()()(xdzydxzdydxd333313131)()(ydzzdyxdzzdx)(yzxzxyzyxd33331yzxzxyzyxzyxu)(),(33331原函數(shù)原函數(shù) 433311100031)(),(),(yzxzxyzyx

18、I解解例例計算計算 LdzxyzxdyzxdxzxyzI)()(2232332其中其中 L 為為 與與 的交的交 1222222czbyax1czbyax線上自點線上自點 A(a , 0 , 0) 到點到點 B( 0 , 0 , c ) 的優(yōu)弧段的優(yōu)弧段)( , , 312232332RCxyzxzxzxyzf03222323xyzxzxzxyzzyxkjifrot 積分與在積分與在 R3 上與路徑無關(guān)上與路徑無關(guān)),( zyxf在在 R3 上是一無旋場上是一無旋場 dzxyzxdyzxdxzxyz) ( )(2232332其被積表達式其被積表達式xdzdzyzxdyzxzdxdxxyz2232332 )()()(yzxxzdxzdyzxd3232yzxxzzyxu32),(原函數(shù)原函數(shù) 0320000)(),(),(yzxxzcaI調(diào)和場調(diào)和場 如果向量場如果向量場 在區(qū)域在區(qū)域 , , ),(RQPzyxf 內(nèi)恒有內(nèi)恒有 ),( , ),( 00zyxfrotzyxfdiv即即 既是無散