數(shù)學模型常用例子PPT課件

1、10.1 牙膏的銷售量牙膏的銷售量 問問題題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型 預測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量 收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費用(百萬元)其它廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期第1頁/共42頁基本模型基本模型y 公司牙膏銷售量x1其它廠家與本公司價格差x2公司廣告費用110 xy222210 xxy

2、55.566.577.577.588.599.510 x2y-0.200.20.40.677.588.599.510 x1y22322110 xxxyx1, x2解釋變量(回歸變量, 自變量) y被解釋變量（因變量） 0, 1 , 2 , 3 回歸系數(shù) 隨機誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機變量）第2頁/共42頁MATLAB 統(tǒng)計工具箱 模型求解模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 輸入 x= n 4數(shù)據(jù)矩陣, 第1列為全1向量1 2221xxxalpha(置信水平,0.05) 22322110 xxxyb 的估計值 bintb的置信區(qū)間 r 殘差向量

3、y-xb rintr的置信區(qū)間 Stats檢驗統(tǒng)計量 R2,F, p yn維數(shù)據(jù)向量輸出 由數(shù)據(jù) y,x1,x2估計 參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3第3頁/共42頁結果分析結果分析y的90.54%可由模型確定 參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.3486

4、0.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 322322110 xxxyF遠超過F檢驗的臨界值 p遠小于 =0.05 2的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近) x2對因變量y 的影響不太顯著x22項顯著 可將x2保留在模型中 模型從整體上看成立第4頁/共42頁22322110 xxxy銷售量預測銷售量預測 價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=650萬元銷售量預測區(qū)間為 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作庫存管理的目標值 下限用來把握公司的現(xiàn)金流 若估計x3=3

5、.9，設定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在 7.8320 3.7 29（百萬元）以上控制x1通過x1, x2預測y2933.822322110 xxxy(百萬支)第5頁/共42頁模型改進模型改進x1和x2對y的影響獨立 22322110 xxxy21422322110 xxxxxy參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間29.113313.70

6、13 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000 3 0 1 2 4x1和x2對y的影響有交互作用第6頁/共42頁兩模型銷售量預測兩模型銷售量預測比較比較21422322110 xxxxxy22322110 xxxy2933. 8 y(百萬支)區(qū)間 7.8230，8.7636區(qū)間 7.8953，8.7592 3272. 8 y(百萬支)控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元預

7、測區(qū)間長度更短 略有增加 y 第7頁/共42頁x2=6.5x1=0.2 -0.200.20.40.67.588.59x1y -0.200.20.40.67.588.59x1y 56787.588.599.510 x2y 567888.599.51010.5x2y 22322110 xxxy21422322110 xxxxxy兩模型兩模型 與與x1, ,x2關系的關系的比較比較y 第8頁/共42頁交互作用影響的討論交互作用影響的討論2221 . 06712. 07558. 72267.301xxyx價格差 x1=0.1 價格差 x1=0.32223 . 06712. 00513. 84535.3

8、21xxyx21422322110 xxxxxy5357. 72x加大廣告投入使銷售量增加 （ x2大于6百萬元）價格差較小時增加的速率更大 56787.588.599.51010.5x1=0.1x1=0.3x2y 1 . 03 . 011xxyy價格優(yōu)勢會使銷售量增加 價格差較小時更需要靠廣告來吸引顧客的眼球 第9頁/共42頁完全二次多項式模型完全二次多項式模型 22521421322110 xxxxxxyMATLAB中有命令rstool直接求解00.20.47.588.599.5105.566.57x1x2y ),(543210從輸出 Export 可得第10頁/共42頁10.2 軟件開發(fā)

9、人員的薪金軟件開發(fā)人員的薪金資歷 從事專業(yè)工作的年數(shù)；管理 1= =管理人員，0= =非管理人員；教育 1= =中學，2= =大學，3= =更高程度建立模型研究薪金與資歷、管理責任、教育程度的關系分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考 編號薪金資歷管理教育0113876111021160810303187011130411283102編號薪金資歷管理教育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名軟件開發(fā)人員的檔案資料 第11頁/共42頁分析與假設分析與假設 y 薪金，x1 資歷（年）x2 = = 1 管理人員，x

10、2 = = 0 非管理人員1= =中學2= =大學3= =更高其它中學,x013其它大學,x014資歷每加一年薪金的增長是常數(shù)；管理、教育、資歷之間無交互作用 教育443322110 xaxaxaxaay線性回歸模型線性回歸模型 a0, a1, , a4是待估計的回歸系數(shù)， 是隨機誤差 中學：x3=1, x4=0 ；大學：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 第12頁/共42頁模型求解模型求解443322110 xaxaxaxaay參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間a011032 10258 11807 a1546 484 608 a26883 6248 7517 a3-2994 -3826

11、 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546 管理人員薪金多6883 中學程度薪金比更高的少2994 大學程度薪金比更高的多148 a4置信區(qū)間包含零點，解釋不可靠! !中學：x3=1, x4=0;大學：x3=0, x4=1; 更高：x3=0, x4=0. x2 = = 1 管理，x2 = = 0 非管理x1資歷( (年) )第13頁/共42頁殘差分析方法 結果分析結果分析443322110 xaxaxaxaay殘差yyee 與資歷x1的關系 05101520-2000-100001000200

12、0e與管理教育組合的關系 123456-2000-1000010002000殘差全為正，或全為負，管理教育組合處理不當 殘差大概分成3個水平， 6種管理教育組合混在一起，未正確反映 。應在模型中增加管理x2與教育x3, x4的交互項 組合123456管理010101教育112233管理與教育的組合第14頁/共42頁426325443322110 xxaxxaxaxaxaxaay進一步的模型進一步的模型增加管理x2與教育x3, x4的交互項參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間a01120411044 11363a1497486 508a270486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-34

13、8-545 152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101R2=0.999 F=554 p=0.000R2, ,F有改進，所有回歸系數(shù)置信區(qū)間都不含零點，模型完全可用 消除了不正?，F(xiàn)象 異常數(shù)據(jù)( (33號) )應去掉 05101520-1000-5000500e x1 123456-1000-5000500e 組合第15頁/共42頁去掉異常數(shù)據(jù)后去掉異常數(shù)據(jù)后的結果的結果參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間a01120011139 11261a1498494 503a270416962 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 281a5-3056-317

14、1 2942a619971894 2100R2= 0.9998 F=36701 p=0.000005101520-200-1000100200e x1 123456-200-1000100200e 組合R2： 0.957 0.999 0.9998F： 226 554 36701 置信區(qū)間長度更短殘差圖十分正常最終模型的結果可以應用第16頁/共42頁模型應用模型應用 制訂6種管理教育組合人員的“基礎”薪金( (資歷為0）組合管理教育系數(shù)“基礎”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a01120061

15、3a0+a218241426325443322110 xxaxxaxaxaxaxaay中學：x3=1, x4=0 ；大學：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 x1= = 0； x2 = = 1 管理，x2 = = 0 非管理大學程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高 大學程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低 第17頁/共42頁對定性因素( (如管理、教育) )，可以引入0- -1變量處理，0- -1變量的個數(shù)應比定性因素的水平少1 軟件開發(fā)人員的薪金軟件開發(fā)人員的薪金殘差分析方法可以發(fā)現(xiàn)模型的缺陷，引入交互作用項常常能夠改善模型 剔除異常數(shù)據(jù)，有助于得到更好的結果注：可

16、以直接對6種管理教育組合引入5個0- -1變量 第18頁/共42頁10.3 酶促反應酶促反應 問問題題研究酶促反應（酶催化反應）中嘌呤霉素對反應速度與底物（反應物）濃度之間關系的影響 建立數(shù)學模型，反映該酶促反應的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關系 設計了兩個實驗 ：酶經(jīng)過嘌呤霉素處理；酶未經(jīng)嘌呤霉素處理。實驗數(shù)據(jù)見下表: 方方案案底物濃度底物濃度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反應反應速度速度處理處理764797107123 139 159 152 191 201 207 200未處理未處理6751848698115 131 124 144 158 16

17、0/第19頁/共42頁線性化模型線性化模型 經(jīng)嘌呤霉素處理后實驗數(shù)據(jù)的估計結果 參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值（參數(shù)估計值（10-3）置信區(qū)間（置信區(qū)間（10-3） 15.1073.539 6.676 20.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 p=0.00008027.195/11104841. 0/122xxy21xy111121對 1 , 2非線性 對 1, 2線性 x121第20頁/共42頁線性化模型結果分析線性化模型結果分析 x較大時，y有較大偏差 1/x較小時有很好的線性趨勢，1/x較大時出現(xiàn)很大的起落 參數(shù)估計時，x較?。?/x很大）的數(shù)據(jù)控制了回歸參數(shù)的確定

18、0102030405000.0050.010.0150.020.0251/y1/xxy112100.511.5050100150200250 xxy21xy第21頁/共42頁beta,R,J = nlinfit (x,y,model,beta0) beta的置信區(qū)間MATLAB 統(tǒng)計工具箱 輸入 x自變量數(shù)據(jù)矩陣y 因變量數(shù)據(jù)向量beta 參數(shù)的估計值R 殘差，J 估計預測誤差的Jacobi矩陣 model 模型的函數(shù)M文件名beta0 給定的參數(shù)初值 輸出 betaci =nlparci(beta,R,J) 非線性模型參數(shù)估計非線性模型參數(shù)估計function y=f1(beta, x)y=

19、beta(1)*x./(beta(2)+x);xxy21x= ; y= ;beta0=195.8027 0.04841;beta,R,J=nlinfit(x,y,f1,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta, betaci beta0線性化模型估計結果 第22頁/共42頁非線性模型結果分析非線性模型結果分析參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間 1212.6819197.2029 228.1609 20.06410.0457 0.0826 畫面左下方的Export 輸出其它統(tǒng)計結果。拖動畫面的十字線，得y的預測值和預測區(qū)間剩余標準差s= 10.9337x

20、xy21最終反應速度為半速度點(達到最終速度一半時的x值 )為6831.21210641. 02其它輸出命令nlintool 給出交互畫面00.511.5050100150200250o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結果 00.20.40.60.81-50050100150200250第23頁/共42頁混合反應模型混合反應模型 x1為底物濃度， x2為一示性變量 x2=1表示經(jīng)過處理，x2=0表示未經(jīng)處理 1是未經(jīng)處理的最終反應速度 1是經(jīng)處理后最終反應速度的增長值 2是未經(jīng)處理的反應的半速度點 2是經(jīng)處理后反應的半速度點的增長值 在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響xxy2112221211)(xxxxy

21、）（第24頁/共42頁o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結果 混合模型求解混合模型求解用nlinfit 和 nlintool命令,17001,6001,05. 00201. 002估計結果和預測剩余標準差s= 10.4000 參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間 1160.2802145.8466 174.7137 20.04770.0304 0.0650 152.403532.4130 72.3941 20.0164-0.0075 0.0403 2置信區(qū)間包含零點，表明 2對因變量y的影響不顯著12221211)(xxxxy）（參數(shù)初值(基于對數(shù)據(jù)的分析)經(jīng)嘌呤霉素處理的作用不影響半速度點參數(shù)未經(jīng)

22、處理經(jīng)處理第25頁/共42頁o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結果 未經(jīng)處理經(jīng)處理簡化的混合模型簡化的混合模型 簡化的混合模型形式簡單，參數(shù)置信區(qū)間不含零點剩余標準差 s = 10.5851，比一般混合模型略大 12221211)(xxxxy）（121211xxxy）（估計結果和預測參參數(shù)數(shù)參數(shù)估參數(shù)估計值計值置信區(qū)間置信區(qū)間 1166.6025 154.4886 178.7164 20.05800.0456 0.0703 142.025228.9419 55.1085第26頁/共42頁一般混合模型與簡化混合模型預測比較一般混合模型與簡化混合模型預測比較實際實際值值一般模型預測一般模型預測值值(一般一般模型

23、模型）簡化模型預測簡化模型預測值值(簡化簡化模型模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812簡化混合模型的預測區(qū)間較短，更為實用、有效12221211)(xxxxy）（121211xxxy）（預測區(qū)間為預測預測區(qū)間

24、為預測值值 第27頁/共42頁注：非線性模型擬合程度的評價無法直接利用線性模型的方法，但R2 與s仍然有效。酶促反應酶促反應 反應速度與底物濃度的關系非線性關系求解求解線性模型線性模型 求解非線性模型求解非線性模型機理分析嘌呤霉素處理對反應速度與底物濃度關系的影響混合模型混合模型 發(fā)現(xiàn)問題，得參數(shù)初值引入0-1變量簡化模型簡化模型 檢查參數(shù)置信區(qū)間是否包含零點第28頁/共42頁10.4 投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù) 問問題題建立投資額模型，研究某地區(qū)實際投資額與國民生產(chǎn)總值 ( GNP ) 及物價指數(shù) ( PI ) 的關系2.06883073.0424.5201

25、.00001185.9195.0101.95142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145 992.7144.281.63422417.8423.0170.8679 944.0149.371.50422163.9386.6160.8254 873.4133.361.40051918.3324.1150.7906 799.0122.851.32341718.0257.9140.7676 756.0125.741.25791549.2206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.72

26、77 637.797.421.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號根據(jù)對未來GNP及PI的估計，預測未來投資額 該地區(qū)連續(xù)20年的統(tǒng)計數(shù)據(jù) 第29頁/共42頁時間序列中同一變量的順序觀測值之間存在自相關以時間為序的數(shù)據(jù)，稱為時間序列 分分析析許多經(jīng)濟數(shù)據(jù)在時間上有一定的滯后性 需要診斷并消除數(shù)據(jù)的自相關性，建立新的模型若采用普通回歸模型直接處理，將會出現(xiàn)不良后果 投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù) 1.32341718.0257.9140.7676 756.0125

27、.741.25791549.2206.1130.7436 691.1113.531.15081434.2228.7120.7277 637.797.421.05751326.4 229.8110.7167 596.7 90.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號第30頁/共42頁基本回歸模型基本回歸模型投資額與 GNP及物價指數(shù)間均有很強的線性關系ttttxxy22110t 年份， yt 投資額，x1t GNP, x2t 物價指數(shù) 0, 1, 2 回歸系數(shù) x1tytx2tyt t 對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機變量第31頁/共42頁基本回歸模型的結果與分析基本

28、回歸模型的結果與分析 tttxxy21479.8596185. 0725.322MATLAB 統(tǒng)計工具箱 參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間 0322.7250224.3386 421.1114 10.61850.4773 0.7596 2-859.4790-1121.4757 -597.4823 R2= 0.9908 F= 919.8529 p=0.0000剩余標準差 s=12.7164 沒有考慮時間序列數(shù)據(jù)的滯后性影響R20.9908，擬合度高模型優(yōu)點模型缺點可能忽視了隨機誤差存在自相關；如果存在自相關性，用此模型會有不良后果第32頁/共42頁自相關性的定性診斷自相關性的定性診斷

29、 殘差診斷法tttyye模型殘差作殘差 etet-1 散點圖大部分點落在第1, 3象限 t 存在正的自相關 大部分點落在第2, 4象限 自相關性直觀判斷在MATLAB工作區(qū)中輸出et為隨機誤差 t 的估計值 -30-20-1001020-30-20-1001020et-1et t 存在負的自相關 基本回歸模型的隨機誤差項 t 存在正的自相關 第33頁/共42頁自回歸自回歸性性的的定量診斷定量診斷自回歸模型tttttttuxxy122110,自相關系數(shù) 1| 0, 1, 2 回歸系數(shù) = 0無自相關性 0 0如何估計 如何消除自相關性D-W統(tǒng)計量D-W檢驗檢驗 ut 對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機

30、變量存在負自相關性存在正自相關性廣義差分法 第34頁/共42頁D-W統(tǒng)計量與D-W檢驗 nttnttteeeDW22221)(檢驗水平, ,樣本容量，回歸變量數(shù)目D-W分布表nttnttteee222112）（12n較大nttnttteee2221/4011DWDW4-dU44-dLdUdL20正自相關負自相關不能確定不能確定無自相關20DW01DW41DW檢驗臨界值dL和dU由DW值的大小確定自相關性第35頁/共42頁廣義差分變換 )1 (0*0以 *0, 1 , 2 為回歸系數(shù)的普通回歸模型原模型 DW值 D-W檢驗無自相關 有自相關 廣義差分繼續(xù)此過程原模型 新模型 新模型 ttttux

31、xy*22*11*0*步驟 原模型tttttttuxxy122110,1*tttyyy2, 1,1,*ixxxtiitit變換）（12DW21DW不能確定增加數(shù)據(jù)量；選用其它方法 第36頁/共42頁投資額新模型的建立投資額新模型的建立 DWold dL 作變換 原模型殘差et樣本容量n=20，回歸變量數(shù)目k=3， =0.05 查表臨界值dL=1.10, dU=1.54DWold=0.8754原模型有正自相關1*5623. 0tttyyy2 , 1,5623. 01,*ixxxtiititnttnttteeeDW22221)(5623. 02/1DWDW4-dU44-dLdUdL20正自相關負自相關不能確定不能確定無自相關第37頁/共42頁參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間 *0163.49051265.4592 2005.2178 10.69900.5751 0.8247 2-1009