求解古典概型常見錯(cuò)誤剖析VIP

1、求解古典概型常見錯(cuò)誤剖析古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其它概型的 基礎(chǔ)現(xiàn)將求解古典概型常見的錯(cuò)誤剖析如下.一、“有序”與“無(wú)序”混同，導(dǎo)致基本事件的個(gè)數(shù)求 錯(cuò)例1從10件產(chǎn)品（其中次品3件）中，一件一件地不 放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率.錯(cuò)解因?yàn)榈谝淮斡?0種取法，第二次有9種取法，第 三次有8種取法，第四次有7種取法，由乘法原理可知從10 件取4件共有10x9x8x7種取法，故從10件產(chǎn)品（其中 次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有 10x9x8x7個(gè)可能的結(jié)果設(shè)a= “取出的4件中恰有1件 次品”，則a含有c13xc37種結(jié)果（先從3件次品中取1 件

2、，再?gòu)?件正品中取3件），剖析該題錯(cuò)在計(jì)算所有等可能結(jié)果的個(gè)數(shù)是用排列的 方法，即考慮了抽取的順序，而計(jì)算事件a所包含結(jié)果個(gè)數(shù) 時(shí)是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序.正解所有可能的結(jié)果共有a410個(gè)，事件a包含a14 a13 a37個(gè)結(jié)果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取 中有一次抽到次品，有a14種方式，對(duì)于每種方式，從3件 次品中取一件，再?gòu)?件正品中一件一件地取3件，共有a14 a13a37種取法).所以 p (a) =a14 a13 a37a410=12.二、"非等可能”與'等可能”混同，對(duì)古典概型的等 可能性理解不清例2擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求事件a二“出現(xiàn)

3、的點(diǎn)數(shù)之 和等于3”的概率.錯(cuò)解擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為2, 3,4,12,事件a發(fā)生的結(jié)果只有一種，故p (a) =111.剖析公式p (a)二事件a所含的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)所述試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果是等可能的時(shí)候才成立， 而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只在點(diǎn)數(shù)為(1, 1)才出 現(xiàn)，而3卻在兩種情況(1, 2),(2, 1)時(shí)可出現(xiàn)，其它的情況類推.正解擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的等可能的情況：(1, 1), (1,2),，(1, 6), (2, 1), (2, 2),，(2, 6),，(6, 1), (6, 2),，(6, 6),結(jié)果總數(shù)為6x6=36.在這些結(jié)果 中，事件a

4、含有兩種結(jié)果(1, 2), (2, 1),故p (a) =236=118.三、對(duì)古典概型的有限性把握不準(zhǔn)而將古典概型誤判為幾何概型圖1例3甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由兩人在心中各想 一個(gè)整數(shù)，分別記為x、y,當(dāng)x、yel, 5,且|x-y|wl 時(shí)，則稱甲、乙二人“心有靈犀”.求甲、乙二人“心有靈 犀”的概率.錯(cuò)解設(shè)甲、乙二人“心有靈犀”為事件a,由于x、ywl, 5,且|x-y|wl,如圖1,由幾何概型概率公式得，p (a)二s 陰影 s 正方形=16-916=716.剖析本題沒有注意x、y的取值是整數(shù)，忽視了古典概 型的有限性.正解設(shè)甲、乙二人“心有靈犀”為事件a,由于x、ywl, 5,所以

5、滿足條件的整數(shù)對(duì)共有5x5對(duì)，滿足|x-y|w 1的 整數(shù)對(duì)共有 13 對(duì)，即(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4) 所以甲、乙二人“心有靈犀”的概率 p (a) =1325.四、混淆“無(wú)放回抽取”與“有放回抽取”而出錯(cuò)例4從含有2件正品al, a2和一件次品b的三件產(chǎn)品 中每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取2次，記“取 出的兩件中恰有一件次品”為事件a,如果將“每次取出后 不放回”換成“每次取出后放回”，連續(xù)取2次，記“取

6、出的兩件中恰有一件次品”為事件b,則a. p (a) =p (b)b. p (a) p (b)d.無(wú)法確定錯(cuò)解每次任取1件，取出后不放回地(或有放回地)連 續(xù)抽取兩次，所有可能的結(jié)果是(al, bl), (b, al), (a2, b), (b, a2), (al, a2)共6個(gè)基本事件；取出的2件恰有 一件次品的事件b包含的結(jié)果是(al, b), (a2, b), (b, al), (b, a2),共4個(gè)基本事件所以p (a) =p (b) =46=23,選a.剖析本題錯(cuò)在混淆“每次取出后不放回”與“每次取 出后放回” 從3件產(chǎn)品中不放回地抽取2件和有放回地抽 取2件的基本事件都不是很大，可

7、以一一列舉出來(lái).正解(1)每次任取1件，取出后不放回地連續(xù)抽取兩 次，所有可能的結(jié)果是(al, b), (b, al), (a2, b), (b, a2), (al, a2), (a2, al),共6個(gè)基本事件；取出的2件 恰有一件次品的事件a包含的結(jié)果是(al, b), (a2, b), (b, a2), (b, a2),共4個(gè)基本事件所以(2)有放回地連續(xù)抽取兩次，所有可能的結(jié)果是(al, b), (b, al), (al, al), (a2, b), (b, a2), (a2, a2), (al, a2), (a2, al), (b, b)共9個(gè)基本事件.取出的2件恰有 一件次品的事件b包含的結(jié)果是(al, b), (a2, b), (b, al), (b, a2),共4個(gè)基本事件.所以 p (b) =49.所以 p (a) >p (b),選 c.五、未能正確判斷事件的關(guān)系，導(dǎo)致概率計(jì)算錯(cuò)誤例5同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求至少有一個(gè)5點(diǎn) 或6點(diǎn)的概率.錯(cuò)解拋擲兩枚骰子，基本事件的總數(shù)為36.記一枚出現(xiàn) 5點(diǎn)為事件a, 枚出現(xiàn)6點(diǎn)為事件b,事件a與事件b包含 的基本事件都為11種情形而事件a與事件b是互斥事件， 由古典概型的