高中物理重點難點精講：6萬有引力定律

1、一 萬有引力定律自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這個物質(zhì)的質(zhì)量的乘 積成正比，跟它們的距離的二次方成反比，這個規(guī)律叫做萬有引力定律，數(shù)學(xué)表達式是：f = g理乞。廠萬有引力定律雖然是利用開普勒定律和牛頓運動定律推導(dǎo)岀來的，但它是普 遍存在于宇宙中的任何有質(zhì)量的物質(zhì)之間的相互吸引力，不論這兩個物體是相對 運動的還是相對靜止的，也不論其中的物質(zhì)與其他的物質(zhì)是否存在另一種性質(zhì)的 力；萬有引力是一種不同于其他性質(zhì)的力，它區(qū)別于彈力，電磁力等性質(zhì)的力。 由萬有引力定律的表達式可以看岀，影響引力大小的是兩個物體質(zhì)量的乘積，而 不是孤立的某一個物質(zhì)的質(zhì)量。萬有引力同其他性質(zhì)的力一樣具有相互性

2、，即 兩個物體都要受到大小相等，方向相反的引力作用；嚴(yán)格來講，萬有引力公式只適用于兩個質(zhì)點間的相互作用，但當(dāng)兩物體的距 離遠大于物體本身大小時，公式也近似適用，公式中的廠為兩物體質(zhì)心之間的距 離o【難點突破】：重力的定義是由于地球的吸引而使物體受到的力，由此可以知道，重力并不 等于萬有引力。但它們之間有什么關(guān)系呢？由于地球的自轉(zhuǎn)，地面上的所有物體跟隨地球一起做勻速圓周運動，其旋轉(zhuǎn) 中心是地軸上的某點o,如圖所示。旋轉(zhuǎn)時所需的向心力是萬有引力在旋轉(zhuǎn)面 內(nèi)的一個分力f, ff=mco2rcos3,式中加為地面上某物體的質(zhì)，g為地球的自轉(zhuǎn) 角速度，廠是地球半徑，&為物體所處的緯度。萬有引力f

3、 = g巴學(xué)，式中m為地球質(zhì)量。重力g應(yīng)該是萬有引力尸的另一個分力，方向并不指向地心，由于f很小, 所以g的數(shù)值非常接近f的數(shù)值，在粗略計算時可以不作區(qū)別。物體一旦離開地球表面而繞著地心做勻速圓周運動時， 地球的自轉(zhuǎn)是不影 響物體的受力情況的。此時的重力就是萬有引力。【例題】地核的體積約為整個地球體積的16%,地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量 的34%,經(jīng)估算，地核的平均密度為kg/m3o （結(jié)果取兩位有效數(shù)字，/?3=6.14xl03 km, g=6.7xlo nn-in2/kg2） （2000 年，北京）【分析】本題所提供的已知條件很少，但從題干最后括號所提供的數(shù)據(jù)可u 看出.一是要應(yīng)用萬有弓i力知

4、識求解又因為題干中要求的是估算，因 而可以認為重力等于萬有弓i力.這樣一來所能運用的公式和已知條件便 豐官多了.【題解】 設(shè)g為地球表面的重力加速度，重力近似等于牙有引力gmm式中胚 胡分別麥?zhǔn)镜厍蛸|(zhì)量和虛擬物休的質(zhì)量. 根據(jù)密度的計算式m m _亍疋解、兩式得p=4r將式代入數(shù)據(jù)并保留兩位有效數(shù)字p = 4 x 6.4 x 106 x 3.14 x 6.1 x i(rnkg/5 x 1 應(yīng)g/m迪 根據(jù)題目中的條件可知，v/-r =0.34. =0.16afy3x9.8式中分、討分別表示地核的質(zhì)雖和體積.地核密度和地球密度的關(guān)系式為。核 034金才麗解-兩式得«=1.2x lokg

5、/m3 【答案】1.2j"【例題】某物體在地面上受到的重力為160n,將它放入衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以 加速度a=-g隨火箭向上加速上升過程中，衛(wèi)星中的支持面對物體的彈力為 90n,求此時火箭距地面的高度？（地球半徑/?=6.4xl03km, g=10m/s2）【分析】衛(wèi)星在火箭中以加速度a向上做勻加速直線運動，根據(jù)對物體進行 受力分析可u得到辦受到的重力，并且重力等于萬有引力.由萬有引 力計算式得出火箭距地面的髙度.【題解】設(shè)火箭距地面高度為力時，衛(wèi)星中物體受到的彈力為用=90n,此時 物休受到的重力為珂 ，根據(jù)牛頓第二定律得jfn=ma 又知道重力等于萬有引力 噸 =<°

6、 mm 一，閘在地球表面重力近似等于萬有引力mg=g解、.式得一1s-ma式代入數(shù)據(jù)后得a=1.92 * ltf'km【答案】k92 x lkm二萬有引力定律的應(yīng)用萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用主要有兩條: 一是對天體質(zhì)量、密度進行估算。二是發(fā)現(xiàn)并研究天體的運行規(guī)律。m、p分別表示恒星的質(zhì)量和密度。如果行星沿恒星表面運動，即r=ro,質(zhì) 量m和密度°的計算式還可以簡化為：“吟3鞏m =、 | , p =gt 天體質(zhì)量m、密度"的估算由于很多恒星周圍都有衛(wèi)星行星繞其運動，如果能夠測出恒星的半徑 為、行星的軌道半徑7?以及行星的運轉(zhuǎn)周期那么，萬有引力提供行星的向心 力（行

7、星的運動簡化為繞恒星的勻速圓周運動） 發(fā)現(xiàn)并研究天體的運行規(guī)律在研究天體做圓周運動的有關(guān)問題時，向心力大小有三種表達形式，即:，gt2小mm以上規(guī)律同樣適用于行星周圍有衛(wèi)星和某天體周圍有人造衛(wèi)星的情況。長期觀測天體的運行周期和軌道半徑有可能發(fā)現(xiàn)新的天體，尤其發(fā)現(xiàn)“暗天 體”，即不發(fā)光或發(fā)光十分微弱的天體?！倦y點究破】放在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，是地球?qū)ξ矬w引力和地面對物 體支持力的合力提供的。環(huán)繞地球運行的天體或衛(wèi)星的向心力完全由地球引力 提供。因此它的向心加速度計算方法完全不同，地面上物體向心加速度ci=ra）（?, s為地球自轉(zhuǎn)角速度，衛(wèi)星的向心加速度a=om【例題】兩個星球組

8、成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線 上某點做周期相同的勻速圓周運動，現(xiàn)測得兩星中心距離為/?,其運動周期為t, 求兩星的總質(zhì)量。（2001年，安徽）【分析】宇宙中的雙星即伴星組合在一起繞其連線上某點做勻速園周運動是天 體運動的一種形戎.雙星運動的一個重要聯(lián)系是各自做圓周運動的向心力 來源于彼此間的萬有弓【力，且二者運動的角速度相同.將隱含條件挖掘出 來，問題的解決就容易多了.【題解】如圖6-4所示設(shè)兩星質(zhì)量分別為血、加2,兩星的軌道半徑分別為妣、局. 兩星繞o點做勻速圓周運動，萬有引力提供各自的向心力，g-g-r2叫念嫁叫&（尸由.得皿17?1=觀2?2r+riur由、mj

9、?mxr得2吋吋mm2r4n2rz由、.解得叫+叫=g2gt2【例題】組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的 自轉(zhuǎn)速率。如果超過了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的 物體的圓周運動，由此能得到半徑為/?、密度為、質(zhì)量為m且均勻分布的星 球的最小自轉(zhuǎn)周期toa t=2訶衛(wèi)- gm【分析】星球最初是由星云軻質(zhì)靠弓i力聚集在一起而形成的.這樣，星球的自轉(zhuǎn) 速度肯定存在弓 物戰(zhàn)由于離心現(xiàn)篆，將被星球甩51 了出去.本題問的就是攝小自轉(zhuǎn)周期.下列表達式中正確的是：（2001年，上海）u珂b. f=2ti3應(yīng) gmge嘗一個極限，超過這個極限，星球表面尤其赤道附近桶體【題解

10、】假設(shè)在伽麒做零由翱豔冊好不被甩出去,r2 tt宀 寸gm 又因為滄號眄尸鈴所以m-npr?3由-解得t=【答案】a、d【例題】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動。已知行星表面的重力加速度為g 竹行星的質(zhì)量m與衛(wèi)星的質(zhì)量加之比 =81,行星的半徑/?行與衛(wèi)星的半徑/?m衛(wèi)乙比證"血 仃星與衛(wèi)星n間的距離'與仃星的半涇恥丁乙比百"0°設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g衛(wèi)，則在衛(wèi)星表面有g(shù) 學(xué)二加g卩經(jīng)計算得出：衛(wèi)星表 r面的重力加速度為行星表面的重力加速度的三千六百分之一。上述結(jié)果是否正 確？若正確，列式證明；若錯誤，求出正確結(jié)果?！痉治觥款}中給出了多個物理量及它們之間的

11、關(guān)系，顯然是比較繁雜的，如果 能夠畫出草圖.可u形欽地展示各物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系.幫助瞬.培 養(yǎng)良好的解題習(xí)慣.【題解】其質(zhì)量分別為m、初那么，對 ®m陽/«衍畫出行星及衛(wèi)星相對位置示童圖，如圖6-5所示，并標(biāo)出題中給出的物 理量設(shè)行星.衛(wèi)星表面各有一虛擬物體、 行星表面的物體，萬有引力等于重力對衛(wèi)星表面的物體，萬有引力等于重力解、兩式得x廠芳（瓷八&汗°"盼【答案】所得結(jié)杲是錯誤的 gx=0.16gfj三宇宙速度 人造地球衛(wèi)星在距地面的一定高度上，將物體以足夠大的速度發(fā)射出去，物體圍繞地球旋 轉(zhuǎn)而不會落回地面，成為一顆繞地球運動的人造地球衛(wèi)星。

12、人造地球衛(wèi)星繞地球運行的最大環(huán)繞速度，掙脫地球束縛成為環(huán)繞太陽飛行 的人造行星的最小發(fā)射速度以及掙脫太陽束縛成為繞銀河系中心運動的人造飛 行物的最小發(fā)射速度統(tǒng)稱宇宙速度。1 宇宙速度(1) 第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運行的最大速度。設(shè)地球的質(zhì)量為m,衛(wèi)星的質(zhì)量為加，衛(wèi)星以速度卩繞地球在半徑為尸的圓 形軌道上飛行，萬有引力提供衛(wèi)星飛行時的向心力：從式中可以看出，衛(wèi)星的軌道半徑廠越大，即距離地面越遠，衛(wèi)星的環(huán)繞速 度越小。當(dāng)人造地球衛(wèi)星在近地軌道上運行時，軌道半徑，近似等于地球的半 徑r,即：如果用地面附近的重力加速度和地球半徑表示，即：v = 7 = 7.9km/s這一速度是人造地球

13、衛(wèi)星環(huán)繞地球表面運行的速度，是在圓形軌道上的最 大速度，稱為第一宇宙速度。第一宇宙速度并不是發(fā)射衛(wèi)星時，在地面上的發(fā) 射速度。軌道半徑越大，即離地面越遠的衛(wèi)星，從地面的發(fā)射速度應(yīng)該越大。實 際發(fā)射時表現(xiàn)為運載火箭所需燃料應(yīng)該越多。(2) 第二宇宙速度是人造物體掙脫地球束縛而成為一顆太陽的人造小行星在 地面上的最小發(fā)射速度。理論計算表明，當(dāng)物體以v=11.2km/s的速度在地面被發(fā)射出去，物體就可以 掙脫地球的引力，成為一顆繞太陽運行的小行星。這一速度稱為第二宇宙速度。(3) 第三宇宙速度是人造物體掙脫太陽的束縛而成為一顆繞銀河系中心運行 的小恒星在地面上的最小發(fā)射速度。理論計算表明，當(dāng)物體以v

14、=16.7km/s的速度在地面被發(fā)射出去，物體就可以 掙脫太陽的束縛，飛離太陽系，飛向太空深處，成為一顆繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)的人 造飛行物。這一速度稱為第三宇宙速度。2 人造地球衛(wèi)星根據(jù)用途不同，可以將人造地球衛(wèi)星分為兩大類：一類是近地軌道衛(wèi)星；另 一類是地球同步衛(wèi)星。（1）近地軌道衛(wèi)星：衛(wèi)星環(huán)繞地球飛行，提供向心力的是衛(wèi)星和地球之間的萬有引力，地球的自 轉(zhuǎn)不再影響衛(wèi)星的飛行。衛(wèi)星繞地心旋轉(zhuǎn)的軌道平面和地球赤道平面可以成任 意夾角。當(dāng)這兩個平面正交時的衛(wèi)星稱為極地衛(wèi)星，這樣的衛(wèi)星能夠在地面任 何位置的上空飛行，常用于遙感、測驗、氣象服務(wù)等領(lǐng)域。（2）地球同步衛(wèi)星：地球同步衛(wèi)星是指衛(wèi)星在赤道平面內(nèi)繞

15、地心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)衛(wèi)星的運動的角速度和 地球的自轉(zhuǎn)速度相等時，就好象衛(wèi)星定點于赤道上空。設(shè)地球同步衛(wèi)星距地面 的高度為仏速度為卩，運行周期為幾那么有：g誥嚴(yán)d（和代入數(shù)據(jù)后得到：h = 3.6xl07m地球同步衛(wèi)星只能在赤道上空3o 6x107m的軌道上，這一軌道稱為同步軌 道。同步衛(wèi)星常用于通訊服務(wù)等領(lǐng)域。同步衛(wèi)星的線速度為：【難點究破】1. 第一宇宙速度是衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的最大速度，是發(fā)射地球衛(wèi)星的最小速 度。2. 任何地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的向心力均為地球?qū)λ娜f有引力， 因此，衛(wèi)星做圓周運動的圓心一定是地心?！纠}】可以發(fā)射一顆這樣的人造地球衛(wèi)星，使其圓軌道：（2000年，安徽a. 與

16、地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓b. 與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓c. 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對于地球表面是靜止的d. 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，但衛(wèi)星相對于地球表面是運動的 【分析】a人造地球衛(wèi)星是以衛(wèi)星和地球之間的萬有引力為向心力來完成圓冋 運動的，雖然其軌道半徑和運行速度有一定的范國，徂和地球的相對位 置并不是任意的，考慮問題時可以參照極地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星的運動恃點.【題解】irll人造地球衛(wèi)星做圓周運動的向心力是衛(wèi)星和地球之間的萬有引力， 方向是指向地心的，因而衛(wèi)星的圓軌道平面必然經(jīng)過地心.所以圓軌道 與地球表面上某點緯度線（非赤道）

17、共面是不可能的.以極地衛(wèi)星為例,irll如圖6-6所示，其圓形軌道平面雖然在某一時刻與某一經(jīng)度線決定的 共面，但這一經(jīng)度線是隨瞬 自轉(zhuǎn)的即衛(wèi)星的運行軌道平面不可能和 地球表面上某一點的經(jīng)度線所決定的平面始終共面.而衛(wèi)星在赤道上空 飛行時.赤道線所在的平面是不變，所以發(fā)射在赤道上空相對于地球運 動的或者靜止的衛(wèi)星是可能的.極地軌道赤道cp【答案】c、d【例題】2000年1月20日我國發(fā)射了 一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)98。 的經(jīng)線在同一平面內(nèi)。若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似取為東經(jīng)98。和 北緯a=40°,已知地球半徑/?、地球自轉(zhuǎn)周期地球表面重力加速度g（視為常 量）和光速“ 試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時 間。（要求用題給的已知量的符號表示2000年，全國）【分析】由于地球同步衛(wèi)星在赤道上空，衛(wèi)星到嘉峪關(guān)的距離并不等于衛(wèi)星 距地面的高度或者衛(wèi)星的軌道半徑，所