第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布(習(xí)題課)

1、第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布(習(xí)題課)本章題型一、基本概念：1、粒子相空間、自由度；廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量；粒子微觀狀態(tài)、系統(tǒng)微觀狀態(tài)；經(jīng)典相格與粒子微觀狀態(tài)；系統(tǒng)宏觀態(tài)與系統(tǒng)微觀態(tài)。2、等概率原理（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本假設(shè)）：平衡態(tài)孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。最概然分布作為平衡態(tài)下的分布近似。3、近獨(dú)立粒子孤立系統(tǒng)的粒子分布和與一個(gè)分布相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)及各分布出現(xiàn)的幾率、最概然分布。 1與分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為分布要滿足的條件是：系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)系統(tǒng)某時(shí)刻的微觀狀態(tài)只是其中的一個(gè)。在宏觀短，微觀長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)（一瞬間）系統(tǒng)經(jīng)歷了所有的微觀狀態(tài)-各態(tài)歷經(jīng)假說(shuō)。且各微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等-玻

2、耳慈曼分布。此分布（宏觀態(tài)）的概率為即：最概然分布幾乎就是孤立系統(tǒng)的平衡態(tài)分布。4、熱力學(xué)第一定律的統(tǒng)計(jì)解釋： 比較可知： 即：從統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)觀點(diǎn)看，做功：通過(guò)改變粒子能級(jí)引起內(nèi)能變化；傳熱：通過(guò)改變粒子分布引起內(nèi)能變化。二、相關(guān)公式1、分布與微觀狀態(tài)數(shù)、2、最概然分布玻耳茲曼分布玻色-愛因斯坦分布費(fèi)米-狄拉克分布本章題型、第一類是求粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在空間的相軌跡: 關(guān)鍵是由已知條件寫出廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量滿足的函數(shù)關(guān)系。、第二類是求粒子能態(tài)密度；已知粒子的哈密頓量與廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量滿足的函數(shù)關(guān)系，求粒子能態(tài)密度。不同方法有不同步驟，方法有：方法一：量子力學(xué)方法。第一步，解薛定諤方程，求能量本證值第

3、二步，求出粒子能量小于的量子態(tài)數(shù)第三步，求出粒子能量在到范圍的量子態(tài)數(shù)。方法二：半經(jīng)典近似法。該方法的依據(jù)是：對(duì)自由度為的一個(gè)粒子，對(duì)每一個(gè)可能的狀態(tài)對(duì)于空間中大小為的一個(gè)相體積元，因此，粒子能量小于的量子態(tài)數(shù)為由此求得粒子能量在到范圍的量子態(tài)數(shù)。計(jì)算步驟：第一步、寫出粒子自由度和粒子哈密頓。第二步、由求出粒子能量小于的狀態(tài)數(shù)。第三步、求出粒子態(tài)密度。例1、對(duì)于二維自由粒子，在長(zhǎng)度L2內(nèi)，求粒子在到的能量范圍內(nèi)量子態(tài)數(shù)。方法一：解，量子力學(xué)方法: 邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形平面內(nèi)，粒子哈密頓算符的能量本征方程為設(shè)： 則解得：利用周期性邊界條件：得：由上式可知，量子數(shù)完全決定了粒子的量子狀態(tài)。以為直角坐標(biāo)

4、軸，構(gòu)成二維量子數(shù)空間，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，它代表一個(gè)量子態(tài)，這種點(diǎn)成為代表點(diǎn)，此空間中邊長(zhǎng)為1的一個(gè)正方形（面積為1）內(nèi)有1個(gè)代表點(diǎn)，即相應(yīng)于1個(gè)量子態(tài)。由可知，在數(shù)空間中能量的等能線為半徑的圓，它所包圍的面積為，而單位面積對(duì)應(yīng)1個(gè)量子態(tài)，所以粒子能量小于的量子態(tài)數(shù)為，所以粒子在到的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)其中：為態(tài)密度，顯然此情況在數(shù)空間態(tài)密度是均勻的。方法二： 解，半經(jīng)典方法:由可知，在二維動(dòng)量空間中，等能線滿足，等能線為半徑等于的圓，由此求得粒子能量小于的量子態(tài)數(shù)：所以粒子在到的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)、第三類確定孤立系統(tǒng)的粒子分布和與一個(gè)分布相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)及各分布出現(xiàn)的幾率或求最概

5、然分布。例2：（1）假設(shè)某種類型分子的許可能級(jí)為0、，而且都是非簡(jiǎn)并的，如果體系含有6個(gè)分子，問(wèn)與總能量相聯(lián)系的是什么樣的分布？并根據(jù)公式計(jì)算每種分布的微觀態(tài)數(shù),并由此確定各種分布的幾率（設(shè)各種微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等）。（2）、在題（1）中，如0和兩能級(jí)是非簡(jiǎn)并的，而和兩個(gè)能級(jí)分別是6度和10度簡(jiǎn)并。試重復(fù)上面的計(jì)算。解：（1）粒子的在各能級(jí)的分布可以描述如下：能 級(jí) 能量值 簡(jiǎn)并度 分布數(shù) 分布要滿足的條件是： ， 滿足上述限制條件的分布可以有： 則各分布所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為： 所以此種情況下體系的總的微觀狀態(tài)數(shù)為各分布的幾率為： （2）粒子的在各能級(jí)的分布可以描述如下：能 級(jí) 能量值 簡(jiǎn)并度

6、分布數(shù) 分布要滿足的條件是： ， 滿足上述限制條件的分布可以有： 則各分布所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為： 所以此種情況下體系的總的微觀狀態(tài)數(shù)為各分布的幾率為： 例3：設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨(dú)立的。假設(shè)粒子可分辨，處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為：和其中和是兩種粒子的能級(jí)，和是能級(jí)簡(jiǎn)并度。證： 粒子A能級(jí)，粒子數(shù)分布：al簡(jiǎn)并度 粒子B能級(jí)，粒子數(shù)分布：al簡(jiǎn)并度體系兩種粒子分布要滿足的條件為： ， 分布，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為        

7、;                   分布，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為                           則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為 上式表明：當(dāng)?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴閍

8、l，而同時(shí)第二類粒子的分布為al時(shí)系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在平衡下兩種粒子的最可幾分布是對(duì)應(yīng)于在限制條件， 下使為極大的分布。利用斯特林公式可得：由，得而由限制條件可得：， 引入拉氏不定乘子，得根據(jù)拉格朗日未定乘子法原理，每個(gè)及的系數(shù)都等于零，所以得：討論：（1）、上面的推導(dǎo)表明，兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布，兩分布的，不同，但有共同的，原因在于開始就假設(shè)兩種粒子的粒子數(shù)和能量具有確定值，這意味著在相互作用中兩粒子可以交換能量，但不會(huì)相互轉(zhuǎn)化。從上述結(jié)果還可看出，由兩個(gè)弱相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)有相同的（2）、如果把每一種粒子看作是一個(gè)子系統(tǒng)，則總系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)組成，在熱平衡

9、時(shí)，兩子系統(tǒng)的溫度相等。由于在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的溫度相等。從上面打推導(dǎo)中可看出，在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的是相同的，由此可見，參數(shù)是一個(gè)與溫度有關(guān)的量。例4：設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨(dú)立的。如果粒子玻色子或費(fèi)米子。試導(dǎo)出，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別。解： 考慮一般性，系統(tǒng)由N個(gè)玻色子和N.個(gè)費(fèi)米子組成，總能量為，體積為時(shí)，粒子的分布和必須滿足， 才有可能實(shí)現(xiàn)。玻粒子A能級(jí)，粒子數(shù)分布：al簡(jiǎn)并度費(fèi)米粒子B能級(jí)，粒子數(shù)分布：al簡(jiǎn)并度玻色子處于分布時(shí)，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為       

10、;                    費(fèi)米子處于分布時(shí)，對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為                           則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為 上式表明

11、：當(dāng)?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴閍l，而同時(shí)第二類粒子的分布為al時(shí)系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在平衡下兩種粒子的最可幾分布是對(duì)應(yīng)于在限制條件， 下使為極大的分布。利用斯特林公式可得：由，得而由限制條件可得：， 引入拉氏不定乘子，得根據(jù)拉格朗日未定乘子法原理，每個(gè)及的系數(shù)都等于零，所以得： 拉氏不定乘子由限制條件， 確定。上式表明，兩種粒子分別遵從玻色分布和費(fèi)米分布，其中，不同，但相等。第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布習(xí)題解答習(xí)題6.1試證明，在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為：證明： （1）進(jìn)行變量代換：，代入（1）式對(duì)積分 證畢。習(xí)題6.2 試證明，對(duì)子一維自由粒子，再長(zhǎng)度L內(nèi)，在到的能量范圍

12、內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為：證：一維自由粒子，附近的量子態(tài)為；于是。而 ±Px對(duì)應(yīng)同一能量，于是：習(xí)題6.3試證明，對(duì)于二維自由粒子，在長(zhǎng)度L2內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為證：二維；在Px,Py附近dPxdPy區(qū)間上內(nèi)的粒子數(shù)。 (s面積)因只與P有關(guān)（P>0）,故對(duì)積分可得： ， (s=L2)習(xí)題6.4在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為。試求在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。解：由于只與有關(guān)，與、無(wú)關(guān)，于是以上已經(jīng)代入了 于是， 補(bǔ)充習(xí)題1、求一個(gè)一維線性諧振子，在的能量范圍內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)。解：方法一、用量子力學(xué)方法求 一維諧振子的能量本征值為，能級(jí)非 故能量范圍粒子可能的狀態(tài)數(shù) 、 ； 方法二，用相空間方法求由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系有，即一個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)相空間面 積元的面積為h。一維諧振