[理學(xué)]量子力學(xué)導(dǎo)論ppt課件

1、多電子原子及分子光譜性多電子原子及分子光譜性( )( )ip rE tikrtA e A e問題問題:(1) 如何描畫微觀粒子的形狀如何描畫微觀粒子的形狀 ？ (2) 微觀粒子的形狀變化時(shí)應(yīng)微觀粒子的形狀變化時(shí)應(yīng) 遵照什么樣的運(yùn)動規(guī)律遵照什么樣的運(yùn)動規(guī)律 ？ 量量子子力力學(xué)學(xué)經(jīng)經(jīng)典典力力學(xué)學(xué)研研究究對對象象質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)微微觀觀粒粒子子狀狀態(tài)態(tài)描描寫寫位位置置和和動動量量波波函函數(shù)數(shù)自自由由粒粒子子有有確確定定的的動動量量與與能能量量有有確確定定的的頻頻率率與與波波長長且且波波的的傳傳播播方方向向不不會會變變化化平平面面波波運(yùn)運(yùn)動動定定律律牛牛頓頓定定律律薛薛定定格格方方程程( , )r t量子力學(xué)

2、與經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)中，體系運(yùn)動形狀隨時(shí)間的變化遵照牛頓力學(xué)。和經(jīng)典力學(xué)類似，我們也應(yīng)建立一個(gè)決議 隨 變化規(guī)律的方程式。從物理上，這個(gè)方程式必需滿足下述條件：t由于波函數(shù)滿足態(tài)疊加原理，而態(tài)疊加原理對任何時(shí)間都成立，因此描畫波函數(shù)隨時(shí)間變化的方程應(yīng)該是線性方程。方程的系數(shù)僅含有質(zhì)量、電荷等內(nèi)稟量，不應(yīng)含有和個(gè)別粒子運(yùn)動形狀特定性質(zhì)有關(guān)的量，如動量。、由于波函數(shù) 的自變量是 ，因此它必然是關(guān)于 和 的偏微分方程。、由于經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的極限情況，因此這個(gè)方程必需滿足對應(yīng)原理， 當(dāng) 時(shí)，它能過渡到牛頓方程。、對于自在粒子，這個(gè)方程的解應(yīng)該是平面波。,r trt0h()()ipr

3、E tikr tA eA e方程的尋覓 對平面波式 分別對 和 求微商后得： 由上兩式可以看出能量與動量作用在波函數(shù)上的結(jié)果與算符 及 作用在波函數(shù)上的結(jié)果一樣，即存在對應(yīng)關(guān)系：rt2 . 1i Et2 222 .2p ;2 .3Eipit iti 22(,)2HUrtm 1926年，薛定諤推行上述規(guī)那么到普通情況，找到了描畫波函數(shù)演化規(guī)律的薛定諤方程，設(shè)單個(gè)粒子體系的哈密頓量為： 得到薛定諤方程：22(,)2iUrtHtm 22( , )2iU r ttm 薛定諤方程式量子力學(xué)的根本假設(shè)之一，但必需指出，我們并未建立薛定諤方程，由于只知道微分方程的解是缺乏以建立微分方程的。 以上對應(yīng)關(guān)系式2

4、.3式，只是在直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)關(guān)系，在其他坐標(biāo)系中不一定成立。U下面我們討論一下定態(tài)情況：假設(shè) 不顯含時(shí)間 ，那么薛定諤方程可用分別變量法求解，此時(shí)可令 ：t( , )( ) ( )2 . 4r tr f t 221()2id fUrfd tm()( )rft將上式代入薛定諤方程并用 遍除等式兩邊，可得：t顯然上式左邊只和 有關(guān)，右邊只和 有關(guān)，故兩邊都只能等于一個(gè)常數(shù)，用 表示這個(gè)常數(shù)，有rE2 . 5d fi E fd t22( )2.62U rEm222()()02.7mrEUr和上式可改寫為：()iE tftc e此即定態(tài)薛定諤方程。方程2.5的解可直接給出為c代入 2.4 并將 吸

5、收入 中去，并有歸一化條件來確定，有 () r(,) ()2 .8iE trt re (,)rt又具有這種方式的波函數(shù)描畫的形狀稱為 。定態(tài)而滿足 (2.8)式的波函數(shù) 和 ，()r2 .5d fiE fd t稱為定態(tài)波函數(shù)。nE以 表示體系的能量算符的第 個(gè)本征值， 是與 相應(yīng)的波函數(shù)，那么體系的第 個(gè)定態(tài)波函數(shù)是nnnnE(,) ()ni Etnrt re ( , )( )niEtnnnr tcr e含時(shí)的薛定諤方程的普通解，可以寫成這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加：pE粒子勢能粒子勢能 滿足邊境條件滿足邊境條件pEaxxEax, 0,0, 0p (1)是固體物理金屬中自在電子的簡化模型；是固體物

6、理金屬中自在電子的簡化模型； (2)數(shù)學(xué)運(yùn)算簡單，量子力學(xué)的根本概念、原理數(shù)學(xué)運(yùn)算簡單，量子力學(xué)的根本概念、原理在其中以簡約的方式表示出來在其中以簡約的方式表示出來 .3. 一維定態(tài)問題討論aapExo) , 0 ( , 0a x x axxE, 0,p228hmEkaxE 0, 0p08dd2222hmEx0dd222kxkxBkxAxcossin) (aapExo) , 0 ( , 0a x x 0, 0, 0BxkxBkxAxcossin) (波函數(shù)的規(guī)范條件：單值、有限和延續(xù)波函數(shù)的規(guī)范條件：單值、有限和延續(xù) .kxAxsin)(, 0sinnkakaaapExo) , 0 ( , 0

7、a x x 228hmEk2228mahnE , 3 , 2 , 1,nank0sin,kaAax量子數(shù)量子數(shù)0sinkakxAxsin)(aapExo) , 0 ( , 0a x x xanAxsin)(, 3 , 2 , 1,nank1dd0*2xxa 歸一化條件歸一化條件1dsin022xxanAaaA2)0 ( ,sin2) (axxanaxaapExo) , 0 ( , 0a x x kxAxsin)(ankaA20 8dd2222hmEx得得xanaxsin2)(22 動搖方程動搖方程aapExo) , 0 ( , 0a x x 2228 mahnEn 概率密度概率密度)0 (,s

8、in2axxana 能量能量)( x), 0(, 0axx )1(,8221nmahE 波函數(shù)波函數(shù)aapExo) , 0 ( , 0a x x a 粒子能量量子化粒子能量量子化討論討論1：基基 態(tài)態(tài) 能能 量量), 3 , 2(,812222nEnmahnEn)0 (,sin2axxana 能能 量量 激發(fā)態(tài)能量激發(fā)態(tài)能量)(sin2)(22xanax 一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的 .aapExo) , 0 ( , 0a x x b 粒子在勢阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同粒子在勢阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同概率密度概率密度xanaxsin2)(0 x

9、波波 函函 數(shù)數(shù) 例如，當(dāng)例如，當(dāng) n =1時(shí)，時(shí)， 粒子在粒子在 x = a /2處出處出現(xiàn)的幾率最大現(xiàn)的幾率最大 c 波函數(shù)為駐波方式，阱壁處為波節(jié)，波函數(shù)為駐波方式，阱壁處為波節(jié)，波腹的個(gè)數(shù)與量子數(shù)波腹的個(gè)數(shù)與量子數(shù) n 相等相等a1n2n3n4nn2nxanAxsin) ( 0pE2228 mahnEn)(0) , (xpEtixet r1n16E19E14E1E1atEinnnex tx)(),(tinexanapnp2)sin(2駐波駐波 ？A)A)思索思索 時(shí)間因子時(shí)間因子 是沿是沿 x 軸正向、負(fù)向傳播的波，構(gòu)成軸正向、負(fù)向傳播的波，構(gòu)成 駐波駐波。兩端為波節(jié)。只需某些波長的波

10、才干構(gòu)成駐波。兩端為波節(jié)。只需某些波長的波才干構(gòu)成駐波。n的取值不同的取值不同 , 能量不同，腹的數(shù)目不同。波腹的能量不同，腹的數(shù)目不同。波腹的數(shù)目等于數(shù)目等于 n的數(shù)目。的數(shù)目。a 為半波長的整數(shù)倍為半波長的整數(shù)倍.ieeii2sinqqq討論討論2 2：B) 束縛態(tài)與擴(kuò)展態(tài)束縛態(tài)與擴(kuò)展態(tài):束縛態(tài)束縛態(tài): 在在 r 波函數(shù)為零的形狀稱為束縛態(tài)波函數(shù)為零的形狀稱為束縛態(tài). n( x ) = 0 x 0 x a) xanAx npsin)(束縛態(tài)束縛態(tài)擴(kuò)展態(tài)擴(kuò)展態(tài): 如對自在粒子的波函數(shù)如對自在粒子的波函數(shù)常數(shù)202),( tr有有: :0),(2xtr因此普通有因此普通有: :)(2sin1)

11、(axanaxnp所以自在粒子的所以自在粒子的形狀為擴(kuò)展態(tài)形狀為擴(kuò)展態(tài).可以證明對勢阱可以證明對勢阱的勢能函數(shù)為的勢能函數(shù)為: :axxU-a0)( a xxxU 或或-a )(勢阱寬度勢阱寬度2a的一維無限深勢阱中粒子其定態(tài)波函數(shù)為的一維無限深勢阱中粒子其定態(tài)波函數(shù)為: :222122022xxxphhxapExamphEEmm aD) 宇稱宇稱: xxnnC ) 基態(tài)能量與測不準(zhǔn)關(guān)系基態(tài)能量與測不準(zhǔn)關(guān)系:該波函數(shù)具有以下性質(zhì)該波函數(shù)具有以下性質(zhì): :當(dāng)當(dāng)n n 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí): :當(dāng)當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí): xxnn xxP這來源于勢函數(shù)這來源于勢函數(shù)U(x)U(x)對對x=0 x=0處

12、的對稱性處的對稱性U(x)=U(-x)U(x)=U(-x)宇稱算符宇稱算符: : )(2xxPxPP P稱為宇稱算符稱為宇稱算符. . 以以P P表示把表示把X X變?yōu)樨?fù)變?yōu)樨?fù)X X的運(yùn)算的運(yùn)算, ,那么有那么有: : P P的本征值的本征值: : 由由 xxP11知知 P2P2的本征值為的本征值為1, 1, 因此因此 P P的本征值為的本征值為+1+1或或-1, -1, 即有即有: : xxP22(,)rt偶宇稱偶宇稱 奇宇稱奇宇稱 量子力學(xué)處置問題的根本步驟：量子力學(xué)處置問題的根本步驟：1)寫出哈密頓量及哈密頓算符寫出哈密頓量及哈密頓算符.4)由初始條件和邊境條件由初始條件和邊境條件,并根

13、據(jù)波函數(shù)的并根據(jù)波函數(shù)的 規(guī)范化條件的要求規(guī)范化條件的要求,求出能量本征值求出能量本征值.3)解出通解解出通解,其中包含待定常數(shù)其中包含待定常數(shù): 能量本征值及一些待定常數(shù)能量本征值及一些待定常數(shù).5)求出與本征值相應(yīng)的本征波函數(shù)求出與本征值相應(yīng)的本征波函數(shù).6)進(jìn)展必要的討論進(jìn)展必要的討論.2)建立薛定格方程建立薛定格方程. 本節(jié)我們將進(jìn)一步討論粒子在一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。 設(shè)描畫粒子形狀的波函數(shù)是 ，在 時(shí)辰 在 點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率是： 幾率密度隨時(shí)間的變化率為：rt*(,) (,)(,)rt rtrt *ttt212iUtmin由薛定諤方程及其共軛：*2*12iUtmi*22*()2()2 .4 .12itmimn可得：*()2iJm 令：稱為概率流密度，由2.4.1式得：2.4.2式就是概率流守恒定律。02.4.2JtV對上式兩邊同時(shí)對恣意空間體積 積分VSdd V J d Sd t V這是概率流守恒定律的積分表示此式闡明，在空間某體積 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒