專題一：用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類

1、1 / 22 用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)00()p xy，與斜率，其求法為：設(shè)00()p xy，是曲線( )yf x上的一點(diǎn)，則以p的切點(diǎn)的切線方程為：000()()yyfxxx若曲線( )yf x在點(diǎn)00()p xf x，的切線平行于y軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為0 xx下面例析四種常見的類型與解法類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)( )fx，并代入點(diǎn)斜式方程即可例 1 曲線3231yxx在點(diǎn)(11)，處的切線方程為（）34yx32yx43yx45yx1 解：由2( )

2、36fxxx則在點(diǎn)(11)，處斜率(1)3kf，故所求的切線方程為( 1)3(1)yx，即32yx，因而選練習(xí)：1 設(shè)f(x0)0， 則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0) 處的切線 ( ) a不存在b與x軸平行或重合c與x軸垂直d 與x軸斜交答案b 2. 2 / 22 已知函數(shù)yf(x)的圖像如右圖所示，則f(xa)與f(xb) 的大小關(guān)系是 ( ) af(xa)f(xb) bf(xa)f(xb) cf(xa)f(xb) d不能確定答案b 2曲線y2x21 在點(diǎn)(0,1) 處的切線的斜率是 ( ) a4 b0 c4 d 不存在答案b 10已知曲線y2x3上一點(diǎn)a(1,2) ，則a處的切線斜率

3、等于( ) a2 b4 c66x2(x)2d 6 答案d 4函數(shù)ysin2x的圖像在6，14處的切線的斜率是 ( ) a.3 b.333 / 22 c.12d.32答案d 分析將函數(shù)ysin2x看作是由函數(shù)yu2，usinx復(fù)合而成的解析y2sinxcosx，y|x62sin6cos6322曲線y13x32 在點(diǎn)(1，73)處切線的傾斜角為 ( ) a30 b45c135 d 60答案b 6yx3的切線傾斜角的圍為 _答案0 ，2) 解析ky3x20.8設(shè)點(diǎn)p是曲線yx33x23上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)p處切線傾斜角為，則角的取值圍是 ( ) a.23，b.2，56c. 0，256，d. 0，223，

4、答案d 解析由y3x23，易知y3，即 tan3. 02或230，所以x3. 3已知曲線yf(x)在點(diǎn)p(x0，f(x0) 處的切線方程為2xy10，那么 ( ) af(x0)0 bf(x0)0 d f(x0) 不能確定答案b 5如果曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0) 處的切線方程為x2y30，那么( ) af(x0)0 bf(x0)0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為 _ 答案ln2 1 4設(shè)曲線yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60 平行，則a等于( ) a1 b.12c12d 1 11 / 22 答案a 14設(shè)曲線yeax在點(diǎn)(0,1) 處的切線與直線x2y10 垂直，則a_. 答案

5、2 解析由題意得yaeax，y|x0aea02，a2. 10函數(shù)f(x)asinax(ar)的圖像過點(diǎn)p(2，0)，并且在點(diǎn)p處的切線斜率為 4，則f(x)的最小正周期為 ( ) a2 bc.2d.4答案b 解析f(x)a2cosax，f(2)a2cos2a. 又asin2 a0，2ak，kz. f(2)a2cosk4，a2.t2|a|.6曲線yln(2x1) 上的點(diǎn)到直線2xy30 的最短距離是( ) a.5 b25 c35 d 0 答案a 解析y22x12，x1. 切點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0) 由點(diǎn)到直線的距離公式，得d|2 103|22125. 19曲線yx(x1)(2 x) 有兩條平行于yx

6、的切線，則兩切12 / 22 線之間的距離為 _答案16272 解析yx(x1)(2 x)x3x22x，y 3x22x2，令 3x22x21，得x11 或x213. 兩個(gè)切點(diǎn)分別為 (1,2) 和(13，1427)切線方程為xy10 和xy5270. d|1 527|216 227. 類型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法6以下說確的是 ( ) a曲線的切線和曲線有交點(diǎn)，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)b過曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)c若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0) 處無切線d若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0

7、，f(x0) 處有切線，則f(x0) 不一定存在答案d 例3 求過曲線32yxx上的點(diǎn)(11)，的切線方程13 / 22 3 解：設(shè)想00()p xy，為切點(diǎn)，則切線的斜率為02032xxyx|切線方程為2000(32)()yyxxx320000(2)(32)()yxxxxx又 知 切 線 過 點(diǎn)(11)， 把 它 代 入 上 述 方 程 ， 得3200001(2)(32)(1)xxxx解得01x，或012x故所求切線方程為(12)(32)(1)yx，或13112842yx，即20 xy，或5410 xy評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線5410 xy并不以(11)，為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過了點(diǎn)(11)，且以1

8、72 8，為切點(diǎn)的直線這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問題可用待定切點(diǎn)法練習(xí)：類型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解例4 求過點(diǎn)(2 0)，且與曲線1yx相切的直線方程4 解：設(shè)00()p xy，為切點(diǎn)，則切線的斜率為0201xxyx|切線方程為00201()yyxxx，即020011()yxxxx又已知切線過點(diǎn)(2 0)，把它代入上述方程，得020011(2)xxx解得000111xyx，即20 xy評(píng)注：點(diǎn)(2 0)，實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性例 5 已知函數(shù)33y

9、xx，過點(diǎn)(016)a，作曲線( )yf x的切線，求此14 / 22 切線方程5 解：曲線方程為33yxx，點(diǎn)(0 16)a ，不在曲線上設(shè) 切 點(diǎn) 為00()m xy， 則 點(diǎn)m的 坐 標(biāo) 滿 足30003yxx 因200()3(1)fxx，故切線的方程為20003(1)()yyxxx點(diǎn)(016)a，在切線上，則有32000016(3)3(1)(0)xxxx化簡得308x，解得02x所以，切點(diǎn)為( 22)m，切線方程為9160 xy評(píng)注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)a是否在曲線上，若點(diǎn)a在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)a不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)練習(xí)：17已知曲線方程為yx2，求

10、過a(3,5) 點(diǎn)且與曲線相切的直線方程解析解法一設(shè)過a(3,5) 與曲線yx2相切的直線方程為y5k(x3) ，即ykx53k. 由ykx53kyx2，得x2kx3k50. k24(3k5)0，整理得 (k2)(k10)0. k2 或k10. 所求的直線方程為2xy10,10 xy250. 15 / 22 解法二設(shè)切點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (x0，y0) ，由yx2，得y2x. y|xx02x0. 由已知kpa2x0，即5y03x02x0. 又y02x0，代入上式整理，得x01 或x05. 18已知曲線s：y3xx3與點(diǎn)p(2,2) ，則過點(diǎn)p可向s引切線，其切線條數(shù)為 ( ) a0 b1 c2 d

11、3 答案d 解析顯然p不在s上，設(shè)切點(diǎn)為 (x0，y0)，由y33x2，得y|xx033x20. 切線方程為y(3x0 x30) (3 3x20)(xx0)p(2,2) 在切線上，2(3x0 x30)(3 3x20)(2 x0) ，即x303x2020. (x01)(x202x02) 0. 由x010，得x01. 由x202x020，得x013. 有三個(gè)切點(diǎn)，由p向s作切線可以作 3 條綜合練習(xí)：10已知f(x) x22xf(1) ，則f(0) 等于 ( ) a0 b4 c2 d 2 16 / 22 答案b 解析f(x)2x2f(1) ，令x1，得f(1) 22f(1) ，f(1) 2. f(

12、0) 2f(1) 4. 12設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1) 處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1) 處的切線的斜率為( ) a4 b14c2 d 12答案a 解析依題意得f(x) g(x) 2x，f(1) g(1) 24，選 a. 15(1) 求過曲線yex上點(diǎn)p(1，e)且與曲線在該點(diǎn)處的切線垂直的直線方程；(2) 曲線y15x5上一點(diǎn)m處的切線與直線yx3 垂直，求此切線方程解析(1) yex，曲線在點(diǎn)p(1 ，e) 處的切線斜率是y|x1e. 過點(diǎn)p且與切線垂直的直線的斜率為k1e. 所求直線方程為ye1e(x1)，17 / 22 即xe

13、ye210. (2) 切線與yx3 垂直，切線斜率為1. 又yx4，令x41，x1.切線方程為 5x5y40 或 5x5y40. 4yax21 的圖像與直線yx相切，則a( ) a.18b.14c.12d 1 答案b 解析由已知yax21，yx有唯一解，即xax21，ax2x10 有唯一解，14a0，a14. 15點(diǎn)p在曲線yf(x) x21 上，且曲線在點(diǎn)p處的切線與曲線y2x21 相切，求點(diǎn)p的坐標(biāo)解析設(shè)p(x0，y0) ，則y0 x201. f(x0)limx0 x0 x21x201x2x0. 所以過點(diǎn)p的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0 x1x20. 而此直線與曲線y2x2

14、1 相切，所以切線與曲線y2x21 只有一個(gè)公共點(diǎn)由y2x0 x1x20，y2x21， 得18 / 22 2x22x0 x2x200. 即4x208(2x20) 0. 解得x0233，y073. 所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (233，73)或(233，73) 17若直線ykx與曲線yx33x22x相切，求k的值解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0，y0)，y|xx03x206x02k. 若x00，則k2. 若x00，由y0kx0，得ky0 x0. 3x206x02y0 x0，即 3x206x02x303x202x0 x0. 解之，得x032. k3(32)2632214. 綜上，k2 或k14. 16已知函數(shù)f(x

15、) 2x3ax與g(x) bx2c的圖像都過點(diǎn)p(2,0) ，且在點(diǎn)p處有公共切線，求f(x) 、g(x) 的表達(dá)式解析f(x)2x3ax的圖像過點(diǎn)p(2,0) ，a8. f(x) 2x38x. f(x) 6x28. 對(duì)于g(x) bx2c的圖像過點(diǎn)p(2,0) ，則 4bc0. 又g(x) 2bx，g(2) 4bf(2) 16. b4. c16. g(x)4x216. 綜上可知，f(x)2x38x，g(x) 4x216. 19 / 22 1已知直線l1 為曲線yx2x2 在點(diǎn)(1,0) 處的切線，l2 為該曲線的另一條切線，且l1l2. (1) 求直線l1，l2 的方程；(2) 求由直線l1

16、，l2 和x軸所圍成的三角形的面積分析(1) 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：先求曲線在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)， 這點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值即為過此點(diǎn)切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方程； (2) 求面積用s12ah即可完成解析(1) 因?yàn)閥2x1，則直線l1的斜率k12113，則直線l1 的方程為y3x3， 設(shè)直線l2 過曲線yx2x2 上的點(diǎn)b(x0,y0)，因?yàn)閘1l2。則l2 的方程為311200 xxfk,所以320 x，9200y所以直線l2 的方程為y13x229. (2) 解方程組y3x3y13x229，得x16y52.所以直線l1 和l2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (16，52)，l1，l2 與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)

17、分別為 (1,0) ， (223， 0) 所以所求三角形的面積s12253|52| 12512. 17求證：雙曲線c1：x2y25 與橢圓c2：4x29y272 在第一象限交點(diǎn)處的切線互相垂直證明聯(lián)立兩曲線的方程， 求得它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)為(3,2) c120 / 22 在第一象限的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為yx25，于是有：y(x25) 12 x252x25xx25，k1y|x332. c2 在第一象限的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y849x2. y89x2849x22x3 18x2. k2y|x323. k1k2 1，兩切線互相垂直? 重點(diǎn)班選做題18曲線ye2xcos3x在(0,1) 處的切線與l

18、的距離為5，求l的方程解析由題意知y(e2x)cos3xe2x(cos3x)2e2xcos3x3( sin3x)e2x2e2xcos3x3e2xsin3x，曲線在 (0,1) 處的切線的斜率為ky|x02. 該切線方程為y12x?y2x1. 設(shè)l的方程為y2xm，則d|m1|55.解得m4 或m6. 21 / 22 當(dāng)m4 時(shí)，l的方程為y2x4；當(dāng)m6 時(shí)，l的方程為y2x6. 綜上，可知l的方程為y2x4 或y2x6. 下面例析四種常見的類型與解法（學(xué)生用）類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)( )fx，并代入點(diǎn)斜式方程即可例 1 曲線3231yxx在點(diǎn)(11)，處的切線方程為（）34yx32yx43yx45yx類型二：已知斜率，求曲