不定積分基本公式和運算法則直接積分法

1、-復習1原函數(shù)的定義。2不定積分的定義。3不定積分的性質(zhì)。4不定積分的幾何意 義。引入在不定積分的定義、性質(zhì)以及基本公式的基礎上，我們進一步來討論不定積分的計算問題，不定積分的計算方法主要有三種：直接積分法、換元積分法和分部積分法。講授新課第二節(jié)不定積分的基本公式和運算直接積分法一 基本積分公式由于求不定積分的運算是求導運算的逆運算，所以有導數(shù)的基本公式相應地可以得到積分的基本公式如下：導數(shù)公式微分公式積分公式1(kx) =k,12、*d(kx) =kdxd (lx2) =xdx21 1 d ( )2dxx xjkdx=kx+c(ko)f2（尹）=x1 ” 1( -) jxx314(in |x

2、)f=xd(ln |x|) =dxxx12xdx= x +c 211-dx = +c xxdx = ln |x| +cbxaa+) =xdx5(f=xad(+c a +1a+15)je dx = e +cxxx6(e )=exxxd(e ) =e dxxxx_7/ a 、*x() =aaxd() = a dxd(s in x) = cosxdxa dx =+ cln a8(si nx)=cosxjcosxdx = sin x + cjsinxdx=-cosx+c9d(cos) =si(-cosx)=si nxnxdx1(ta nxjlsesxdx2d(ta nx) =secxdx12f_l d

3、x = |sec xdx=tanx+c cos x01( -cot x) =csc2 x2d(cotx)=cscxdxd(secx) =secxtanxdx12f_h dx |csc xdx-cotx乂；11(secx) =secxtanxsecx tan xdx = secx+ c21(-csx)=cs(xcotxd(-cso) =cs(xcoixdxcscx cot xdx = -cscx + c31(arctan x) = 1 +x1dxd(arctan x)=-芝1 +x21f -dx = arctan x + cm +x241(arcsin x)+xd(arcsin x) 一|dxx

4、+c1 . - dx arcs inl訥 +x25以 上 十 五 個 公 式 是 求 不 定 積 分 的 基 礎 ， 必 須 熟 記 ， 不 僅 要 記 右 端 的 結 果 ， 還 要 熟 悉 左 端 被 積 函數(shù)的的形式。求函數(shù)的不定積分的方法叫積分法。（2）x i xdx例1求下列不定積分（1）adx.1解：（1-2 +=.c-亠c）.2dxxdx=蘭x3-2 - 12x5（ ）.x、xdx=x2dx=x2 c225此例表明，對某些分式或根式函數(shù)求不定積分時，可先把它們化為x的形式，然后應用幕函數(shù)的積分公式求積分。不定積分的基本運算法則法則1兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即

5、f (x) g (x)dx二f (x)dx g (x)dx法則1對于有限多個函數(shù)的和也成立的.法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外，即kf (x)dx = k f (x)dx(k = 0)3x例2求(2x1 -e )dx1-e)d)=2x3dx+dx-exdx解(2x314x=x x e c。2注 其中每一項的不定積分雖然都應當有一個積分常數(shù)，但是這里并不需要在每一項后面加上一個積分常數(shù)，因為任意常數(shù)之和還是任意常數(shù)，所以這里只把它的和c寫在末尾，以后仿此。注 檢驗解放的結果是否正確，只把結果求導，看它的導數(shù)是否等于被積函數(shù)就行了。如上例由于(-x ex c)=2x3 1 - ex，

6、所以結果是正確的。24三直接積分法在求積分的問題中，可以直接按基本積分公式和兩個基本性質(zhì)求出結果(如上例)但有時，被 積函數(shù)常需要經(jīng)過適當?shù)暮愕茸冃?包括代數(shù)和三角的恒等變形)再利用積分的性質(zhì)和公式求出結 果，這樣的積分方法叫直接積分法。例3求下列不定積分（ ）+1）（ -=）dx-（ ）j dx22x解：(1)首先把被積函數(shù)(xfx-1化為和式，然后再逐項積分得vx）xdx1（、x 1）（ x1= x、xdx亠| xdx _ dx dx25 11=x2 x2-x -2x2 c。52注：（1）求函數(shù)的不定積分時積分常數(shù)c不能丟掉，否則就會出現(xiàn)概念性的錯誤。（2）等式右端的每個不定積分都有一個積

7、分常數(shù)，因為有限個任意常數(shù)的代數(shù)和仍是一個常數(shù)，所以只要在結果中寫一個積分常數(shù)c即可。（3）檢驗積分計算是否正確，只需對積分結果求導，看它是否等于被積函數(shù)。若相等，積分結果是正確的，否則是錯誤的。2(2)x =xx2_2dx= (1_)dx1x2 1dx二dx2 p x2arctan x c。 x2+1上例的解題思路是設法化被積函數(shù)為和式,然后再逐項積分,是一種重要的解題方法,練習x-3x2 2x 42x2x2dx， dx122，32x2(x21)1 xdx。答案1x2-3x 2ln|x|-4c,arcta nx-1 c，x3x arctanx cx例4求下列不定積分.（1）tan2xdx2(

8、2sin22)-dx解: (1)tan xdx二(sec x-1)dx2sec xdx - dx = tan x - x c(2)sin 2；dxdx =2 21 sin1 - cos x1上例的解題思路也是設法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項積分, 的恒等變不過它實現(xiàn)化和是利用三角式換。須掌握。練習1cot xdx.2答案1cot x -x c1(x sin x) c3sin x - cosx c222例5設f (sin x)=cos x，222x = 1 - sin解：由于f (sin x) =cosx，所以f (x) =1 -x， 故知f (x)是1 - x的原函數(shù),因此2xf (x)=(1

9、 - x)dx = xc 2小結基本積分公式，不定積分的性質(zhì)，直接積分法。練習求下列不定積分.22)dx(12sinx )dx(2)(1)cos x sinxx2(t 1)(3)(5)dt，(4)txcos dx32門cos2x ,dx cosx-sinx(6 x )dx，x6cos2x ,(6)x，(7)csc(cscx一cot(8)廠dx，sinxx)dx，x22e2xx(cos- sin-) dt，(10)(9)(tan x-1)dx，(11)e (3)dx。2 22v1-x2tan x-cot x c，答案1x 2cosx 2ln |x|c，1t22arcsin 2t ln |t i3arctatv c，c，x- x c，ln6 7一cotx cscx c，173 -x c，8- cot x - 2(3e)xc，t一cost c，