2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第4講 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（解析版）

1、第4講 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合高考預(yù)測一：等差等比的證明 1已知數(shù)列和滿足，對都有，成立（）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（）求和的通項公式；（3），求證：【解析】證明：對都有，成立，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為；是等差數(shù)列，公差為2解：由可得：解：，2已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和【解析】（1）證明：，即，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，即，（2）由（1）知，又數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，的公差為1，3已知數(shù)列的前項和，其中（1）證明是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求【解析】解：（1）根據(jù)題意，若，當(dāng)時，兩式

2、相減，得，即，即，即，是等比數(shù)列，公比，當(dāng)時，即，；（2）若，則，即，則，得4已知等比數(shù)列的公比（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）證明，對任意，成等差數(shù)列【解析】（1）解：由，以及可得數(shù)列的前項和（2）證明：對任意， 把代入可得，故，故，成等差數(shù)列高考預(yù)測二：等差等比的交匯問題5在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間，內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，（2）由，得，數(shù)列中落入?yún)^(qū)間，內(nèi)的項的個數(shù)，6已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列（1）若，是否存在、，有？說明理由；（2）找出所有數(shù)列和，使對一切，并說明理由；（3）若

3、，試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明【解析】解：（1）由，得，整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立（2）設(shè)，若，對都成立，且為等比數(shù)列，則，對都成立，即，對都成立，若，則，若，則，（常數(shù)），即，則，矛盾綜上所述，有，使對一切，（3），設(shè)，、，、，取，由二項展開式可得整數(shù)、，使得，存在整數(shù)滿足要求故當(dāng)且僅當(dāng)，命題成立7已知數(shù)列中，且且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)的值【解析】解：（1）因為且,所以,則,上式對也成立，故；（2）等價為,數(shù)列的前項和為,令,其前項和為,則有,故,當(dāng)時，,則有,綜上可得,不等式成立的或28設(shè)數(shù)列的前項和為，（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別寫出和關(guān)于的表達式；（2）是否存在自然數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由（3）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由【解析】（1）證明：由，得當(dāng)時，即，故數(shù)列是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列于是，；（2