探索性問題的常見類型及其求解策略（陳敏）

1、探索性問題的常見類型及其求解策略蒼南靈溪二高陳敏在近幾年的高考試題屮，有關(guān)探索性問題頻頻岀現(xiàn)，涉及代數(shù)、三角、幾何, 成為高考的熱點之一。正因如此，初等數(shù)學屮冇關(guān)探索性問題也就成為大家研究 的熱點。多年來筆者對此也做了一些探討。探索性問題是一種具冇開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完 備。要求解答者自己去探索，結(jié)合已冇條件，進行觀察、分析、比較和概括。它 對學生的數(shù)學思想、數(shù)學意識及綜合運用數(shù)學方法的能力提岀了較高的要求。它 冇利丁培養(yǎng)學生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方而的能力，使學生經(jīng) 丿力一個發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程。探索性問題一般可分為：條件追溯型，結(jié)論探索

2、型、條件重組型，存在判斷 型，規(guī)律探究型，實驗操作型。每一種類型其求解策略又有所不同。因此，我們 在求解時就必須首先要明辨它是哪一種類型的探索問題，然后再根據(jù)所屈類型制 定解題策略。下面分別加以說明：一、條件追溯型這類問題的基本特征是：針對一個結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確 定，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成 立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結(jié)論成立的充分條件。在“執(zhí)果索因”的 過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作 充分條件，應(yīng)引起注意。例.(2002年上海10)設(shè)函數(shù)/(x) = sin2x,/(x + 0是偶函數(shù)

3、,則t的一個 可能值是o分析與解答：t /(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2/).乂/(k)是偶函數(shù)f(x + t) = f(-x + r)b|jsin(2x + 2r) = sin(-2x + 2t)。由此可得、2r + 12兀 + 2r = -2x + 2t + t = tt - (2x + 2t) + 2k7r(k g z)：t =7r(k g z)4評注：木題為條件探索型題口，其結(jié)論明確，需要完備使得結(jié)論成立的充分 條件，可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件，進行演繹推理推導出所需尋求的條件.這 類題要求學牛變換思維方向，有利于培養(yǎng)學牛的逆向思維能力.二、結(jié)論

4、探索型這類問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確沱。解決 這類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論。在探索過程中?？上葟奶厥馇?形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結(jié)論，再就一般情形 去認證結(jié)論。例2.（2004年上海文12）若干個能惟一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基木量”。設(shè)/”是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列綣的四組量中，一定能成為該 數(shù)列“基本量”的是第組。（寫出所有符合要求的組號）。 si與s2;a2與s3;a】與an;q與an.其屮n為大于1的整數(shù)，sn為%的前n項和。分析與解答：（1）由j和s2,可知絢和a?。由 = q可得公比q,故能確定 數(shù)列是

5、該數(shù)列的“基本量”。（2）由a?與s3,設(shè)艮公比為q,首項為綱，可得a2 = 49,4 =二 a】+ aq + aq2q s? = - + cz” + aq'q -“: cgq' +（6/2 - s3）q + a2 = 0滿足條件的q可能不存在，也可能不止-個，因而不能確定數(shù)列，故不一定是 數(shù)列血的基木量。（3）由如與細，可得久=吋小兇小=乞,當n為奇數(shù)時，q可能有兩個值, 故不一定能確定數(shù)列，所以也不一定是數(shù)列的一個基本量。（4）由q與a.,由匕二吋心,可得q二傘f，故數(shù)列%能夠確定，是數(shù)列仏q的一個基本量。故應(yīng)填、評注：數(shù)學需要解題，但題海戰(zhàn)術(shù)絕對不是學習數(shù)學的最佳策略。本

6、題考查確 定等比數(shù)列的條件，要求正確理解等比數(shù)列和新概念“基木量”的意義。如何能 夠跳出題海，事半功倍，全面考察問題的各個方面，不僅可以訓練自己的思維, 而且可以縱觀全局，從整體上對知識的全貌有一個較好的理解.其中xwr, m是正整數(shù)，月例 3 （2002 上海）.規(guī)定c；” = *z）（"i）c、l,這是組合數(shù)c； （n, m是正整數(shù)，llm<n）的一種推廣.（i ）求c乙的值；（ii）組合數(shù)的兩個性質(zhì)：c： = c；c： + c：" = c；】是否都能推廣到（"r,肌是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并 給出證明；若不能，則說明理由；（iii）

7、我們知道，組合數(shù)是正整數(shù).那么，對于c：,m是正整數(shù),是否也有同樣的結(jié)論？你能舉出一些c：er成立的例子嗎？分析與解答：（i）昭5 =（一（一：）（9）= _ii628.5 （ii） 一個性質(zhì)是否能推廣的新的數(shù)域上，首先需要研究它是否滿足新的定 義.從這個角度很快可以看hh性質(zhì)不能推廣例如當x = v2時，cz有定義， 但c滬無意義.性質(zhì)如果能夠推廣，那么，它的推廣形式應(yīng)該是：c：+cj=c：；,其中 x g r , m是正整數(shù).類比于性質(zhì)的思考方法，但從定義上是看不出孑盾的，那么，我們不妨仿造組合數(shù)性質(zhì)的證明過程來證明這個結(jié)論.事實上, 當加=1時，c； + c：=x + l = c：+當加

8、2時,c：+勢:兀（兀一 1）（兀一7 + 1）兀（兀一1）（兀一加+ 2）ml（m -1）!兀（兀一 1）（兀一加+ 2）（x-m + | j （m-1）!v m丿兀（兀一 1）（兀一加+ 2）（兀+1）=g+】由此，可以知道，性質(zhì)能夠推廣.（ill）從的定義不難知道，當xzurn 0時，c：”wz不成立，下面，我 們將著眼點放在%ez的情形.先從熟悉的問題入手.當x>/7時，就是組合數(shù)，故c；ez.當mz且兀< 加時，推廣和探索的一般思路是：能否把未知的情形（c：，必z x<m ）與已知的結(jié)論c； ez相聯(lián)系？一方面再一次考察定義：c：（z）（i + 1）；另一方面，可以

9、從具體的 問題入手.由（【）的計算過程不難知道：巴5=-嚎另外，我們可以通過其他例子發(fā) 現(xiàn)類似的結(jié)論.因此，將轉(zhuǎn)化為可能是問題解決的途徑.事實上，當兀<0吋，兀(x j)(兀_加+1) ml=(_),” (-5 -1)了+1)(韻=(_),” d.ml 若-x + m->m, b|jx<-l,則cj+心為組合數(shù)，故c：wz 若_兀+加1<加，即05xv加時，無法通過上述方法得出結(jié)論，此時，由具體的計算不難發(fā)現(xiàn)：c；=0，可以猜想，此時c'owz這個結(jié)論不難驗證申實上，當osxv加時，在+ l這m個連續(xù) 的整數(shù)屮，必存在某個數(shù)為0.所以，c；=oez綜上，對于xe

10、z km為正整數(shù)，均有c；ez評注：類比是創(chuàng)造性的“模仿”，聯(lián)想是“由此及彼”的思維跳躍.在開放題 的教學屮，引導學生將所求的問題與熟知的信息相類比，進行多方位的聯(lián)想，將 式子結(jié)構(gòu)、運算法則、解題方法、問題的結(jié)論等引申、推廣或遷移，可由已知探 索未知，由舊知探索新知，這既有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，乂有利于提高學生舉一反三、觸類旁通的應(yīng)變靈活性.三條件重組型這類問題是指給出了一些相關(guān)命題，但需對這些命題進行重新組合構(gòu)成新的 復合命題，或題設(shè)的結(jié)求的方向，條件和結(jié)論都需要去探求的一類問題。此類問 題更難，解題要有更強的基礎(chǔ)知識和皋本技能，需要要聯(lián)想等手段。一般的解題 的思路是通過對條件的反復重

11、新組合進行逐一探求。應(yīng)該說此類問題是真正意義 上的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力。例4 （1999年全國）a、b是兩個不同的平面，叭n是平面a及0之外 的兩條不同的直線，給出四個論斷：m丄nq丄bn丄bm丄a以其中的三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一 個命題o分析：本題給出了四個論斷，要求h中三個為條件，余下一個為結(jié)論，用枚 舉法分四種情況逐一驗證。分析與解答：依題意可得以下四個命題：(l)m 丄 n,a丄b,n丄 b => m丄 a ； (2)m丄n,a 丄 b , m丄 a =>n丄 p ；(3)m 丄 a ,n丄b ,m 丄 a => a 丄 b ; (4)

12、a 丄 b,n丄 b , m丄 a =>m丄n。不難發(fā)現(xiàn)，命題（3）、（4）為真命題,而命題（1）、（2）為假命題。故填上命題或。例5（2004年北京）已知三個不等式：ab>0,bc-ad（其中a ha, b, c, d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論 組成-個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是（）a、0b、1c、2d、3分析與解答：若 cib > 0,bc-ad > 0,則= > 0a h ah.c d cib0bc ad > 00a b若 >0,£->0,則0 a habc d:.be - ad >

13、0,即 ab > 0,> 0 be - ad > 0a b若處“>0,£丄>0,貝止二0a bab:.ab > 0,即be-ad > 0,> 0 => ab > 0a b故三個命題均為真命題，選do四、存在判斷型這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象(數(shù)值、圖 形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立。解決這類問題的基木策略是：通常假 定題屮的數(shù)學對彖存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其屮的一部分的結(jié)論，然后在這 個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論。其屮反證法在解題111起著重要

14、的作用。n例6、(2004年福建)l|.f(x) = 4x + 2 一一x3(xg/?)在區(qū)間-1川上是增函數(shù)。(1) 求實數(shù)a的值組成的集合a；(2) 設(shè)關(guān)于x的方程f(x) = 2x-x3的兩個非常零實根為x】、試問：是 否存在實數(shù)m,使得不等式m2 +zah4-1 > |%! -x2|對任意a g ajat g -1,1恒成立？若 存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。分析與解答:(1) ff(x) = 4 + 2ax-2x2,f(x)在1, 1上是增函數(shù),廣> 0對兀e - 1,1忙(成立即x一ax 2w0,對xw1, 1恒成立設(shè)(p(x) = x2 - cix-20

15、(1) = 1 q 2<0.0(-1) = 1 + 6/ -2 < 0/. 1 5 a 5 1對1,1只有當0 = 1吋，廣(1) = 0以及當a = -l時，廣(1) = 0:.a = a - < a <i .22313lx|4x + cix x 2x hx .33兀0/ cix _ 2 = 0,v a = z2 + 8 > 0兀1，兀2是方程兀2-ox-2 = 0的兩非零實根，(2)卜1一兀2|=/州+無2)2-4兀丿2 二 j/+&乂 - i < a < 1,/. x -x2| = j/ +8 < 3.要使不等式加2 +仍2 + 1

16、 n卜_珂對任意° g 4及/ g - 1,1恒成立， g(-l) = m2 - m - 2 > 0, g(l) = m2 + m - 2 < 0.m2 或 mw 2.所以，存在實數(shù)m,使不等式m2 + r/n +1 > x(-勺對任意。丘 a及r g -1,1恒成立，其取值范圍是樹加> 2,或加< -2評注：“存在”就是有，證明有或者可以找出一個也行?！安淮嬖凇本褪菦]有, 找不到。這類問題常用反證法加以認證?！笆欠翊嬖凇钡膯栴}，結(jié)論有兩種：如果 存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由。這類問題常用“肯眾順推”。例7、(2003年天津)已知常數(shù)a0,向

17、量c二(0, a), i= (1, 0),經(jīng)過原點 0以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過疋點a (0, a)以i 2入c為方向向量的直線 相交于點p,其中x gr.試問：是否存在兩個定點e、f,使得|pe| + |pf|為定值. 若存在，求出e、f的坐標；若不存在，說明理由.分析與解答：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點p坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是 否存在兩定點，使得點p到兩定點距離的和為定值.vi=(l,0),c= (0, a), c + 加=",ai一22c = (1,-2加).=1,因此，直線0p和ap的方程分別為/ly=ax和y滬一2兄ax 消去參數(shù)久，得1點p(x, y)的坐標滿足方

18、程y (y-a)=-2av ,整理得8因為a>0,所以得:(i)當a= 2時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點e和f；v2j n;你(ii )當0<a< 2時，方程表示橢圓，焦點e 222和f(- l-a29)2y22為合乎題意的兩個定點；(0,丄(d+j/丄)(iii)當a> 2時，方程表示橢圓，焦點e 2' y 2和(0, _(q -j/f 2' v 2)為合乎題意的兩個定點.評注：假設(shè)存在，按常規(guī)方法去求解，但要注意對d進行討論。五、規(guī)律探究型這類問題的基本特征是：未給出問題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、 證明一般結(jié)論。解決這類問題的基本策

19、略是：通常需要研究簡化形式但保持本質(zhì) 的特殊情形，從條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、類比、猜測、聯(lián)想來探路， 解題過程中創(chuàng)新成分比較高。在數(shù)列問題研究中，經(jīng)常是據(jù)數(shù)列的前幾項所提供 的信息作大膽的猜測，然后用數(shù)學歸納法證明，限于篇幅這樣的例了不在列舉。下面來看：x2/(x)= ,例8、(2002年全國理)已知函數(shù)1 + f那么門)+ /(2) + 囲)+ /(3) + 用)+ /(4)打(護_./u)+ /(-) = !分析與解答：考察函數(shù)可發(fā)現(xiàn)左式構(gòu)成規(guī)律：x ,于是立得結(jié)論7 為若直接代入費力乂費時。評注：本題要求學生在陌生的問題情境中能自主探索，提取相關(guān)信息，獲得規(guī)律，從而解決問題。例9

20、、（2001年上海）在棱長為。的正方體oabc-oa'b'c'中，e、卩分別是 棱ab、bc上的動點，且ae = bfo（1）求證：a'f 丄 oe；（2）當三棱錐b*- bef的體積取得最大值時，求二面角b-ef-b的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）分析與解答:如圖（2）：（1 ）中e、f雖在棱上運動，但始終體現(xiàn)出直線4f丄ck 的一個不變關(guān)系，而gf丄川o不變，故只要去證cf丄of即可達到目的。（2） 中尋求的是e、f在變化過程中二面角刃- ef-b的最值狀態(tài)，易看到該三棱錐的 高一定，因此，只要底面面積最大即可?？疾靍、f在變化過程中當e由a向b運 動吋，ab

21、ef的面積先由小漸人到一沱值后乂漸小，因此，在e為ab的中點時該 三棱錐的體積取得最大值，從而解決問題。評注：本題要求學生能讓動態(tài)的量靜止下來觀察探究其特殊位置下的極值情 況或一些恒成立的情況；讓靜止的量運動起來，觀察探究其取值情況，并滲透極 限思想。這是這類問題求解常用的方法之一。本題如果把（1）問改為4f與ge 的位置關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論則更好。六、實驗操作型這類問題的基本特征是：給出一定的條件要求設(shè)計一種方案。解決這類問題 的基本策略是：需要借助逆向思考動手實踐。例10、（2002年全國文）已知四個面都是直角三角形的三棱錐，其中三個面 展開后構(gòu)成一直角梯形abcdo如圖（3）所示，a

22、d 丄 ab,ad 丄 dc,ab = 2a, bc =壬a, cd = a.請你在圖中設(shè)計一種虛線，沿虛線翻折可成原來的三棱錐（指三棱錐的三個 面）；求這個三棱錐外接球的體積。分析與解答：本題是考查線面的垂直，直角三角形的性質(zhì)和球的體積公式等 知識。需大膽猜測：虛線之交點應(yīng)是某邊的中點，然后動手實踐，加以檢驗。如圖，取ad的屮點e,連ec, eb,沿ec, eb折起，使a與d重合。接下 來通過證明得abec為直角三角形即可（略）（2）略。評注：該高考題在當年考后受一致好評，它要求考生冇一泄的動手能力和犬 膽的猜測能力。例11、某自來水廠要制作容積為500m2的無蓋長方體水箱?，F(xiàn)有三種不同規(guī)

23、格的金屬制箱材料（單位加）:（1） 19x19；（2）30x10;（3）25x12請你選擇其中的一 種規(guī)格并設(shè)計出相應(yīng)的制作方案（要求用料最省，簡便易行）分析與解答：“用料最省”等價于“無蓋水箱表面積最小”。因此先確延該水 箱的尺寸使其表面積最小，然后根據(jù)尺寸選擇材料。設(shè)無蓋水箱的長、寬、高分別為錢肛,則其體積:v=abc = 500m3表面積：s = 2bc + 2ca + ab ,這樣問題可以轉(zhuǎn)化為：已知：5b,c為正數(shù)，abc = 500 o求：2bc + lea + ab的最小值及相應(yīng)以疋的值。由均值不等式知2bc + 2cci + abl 3目2bc + 2ca + ab = 3目4

24、（肪c），=300,當且僅當 2bc = 2ca = ab ,即a=b = 10,c = 5 時,2bc + 2ca + ab = 300/n2 最小。這表明將無蓋 水箱設(shè)計為10x10x5時，用料最省。如何選擇材料并設(shè)計制作方案？我們可逆向思考，先將無蓋水箱分解（展開）， 我們不難發(fā)現(xiàn)制作10x10x5的無蓋長方體水箱需一個10x10的正方形及4個10x5 的長方形；而用一個30x10的長方形材料，我們只耍割四次易得10x10正方形一個 及10x5正方形4個。故選擇30x10的材料，不但用料最省而且簡便易行。評注：本題又是實際應(yīng)用問題中的問題，解答時除了考慮前面提及的方法外, 還需考慮實際意

25、義及可行性?？傊鉀Q探索性問題，較少現(xiàn)成的套路和常規(guī)程序，需要較多的分析和數(shù) 學思想方法的綜合應(yīng)用。它對學牛的觀察、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括等方 面的能力有較高的要求。思維能力訓練1、（2004浙江）若（頁+展開式中存在常數(shù)項，則n的值可以是a、8b、9c、10d、122、(2004浙江)若/(z)和g(x)都是眾義的實數(shù)集r上的函數(shù)，且方程 x -fg(x) = 0有實數(shù)解，則gf(x)不可能是> > >x2 + x b> x2 + x + c> x2d> x2 + 55553、(2004北京)如果a, b, c滿足c v b v d,且ac v 0

26、,那么下列選項中不一定 成立的是a、ah > acb、c(h - a) > 0c、cb2 > ab2d、ac(a - c) < 04、(2004上海)某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的人小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況， 則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一眾是a、計算機行業(yè)好于化工行業(yè)b、建筑行業(yè)好于物流行業(yè)c、機械行業(yè)最緊張d、營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張5、三棱錐中，互相垂直的棱最多有()對。a. 3b.4c. 5d. 66(20