D7_1矢量及7_2

1、第七章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 向量代數(shù)與空間解析幾何機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量及其線性運算 第七七章 一、向量的概念一、向量的概念物理量物理量數(shù)量（標量）：僅有大小數(shù)量（標量）：僅有大小 （功、質(zhì)量、容積）（功、質(zhì)量、容積）向量（矢量）：大小、方向向量（矢量）：大小、方向 （力、速度、電場強度）（力、速度、電場強度）1 向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量(又稱又稱矢量矢量). 2 向

2、量的幾何表示：向量的幾何表示：幾何上通常用有向線段來表示幾何上通常用有向線段來表示1M2Ma MM 或或記為記為21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向方向表示向量的方向3 向量的大小稱為向量的模向量的大小稱為向量的模 ,|,MM|21記作記作, | a或或4 單位向量：模為單位向量：模為1的向量，的向量，.eaa或或記作記作0零向量：模為零向量：模為0的向量，的向量，（方方向向任任意意）記記作作 05 向量相等：向量相等：.)(,bababa相相等等，記記作作與與，則則稱稱向向量量全全重重合合平

3、平移移后后可可完完方方向向相相同同大大小小相相等等與與向向量量6 兩向量平行兩向量平行:./,bababa平平行行，記記作作與與則則稱稱向向量量方方向向相相同同或或相相反反與與向向量量ababa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、向量的線性運算二、向量的線性運算1 加法加法: baba之之和和記記作作與與|b|a|ba| baba 同同向向時時與與,/) 1|b|a|ba| ba反反向向時時與與中中模模大大的的向向量量一一致致。，方方向向與與ba ba 不不平平行行，與與ba )2三角形法則：三角形法則： 01abABCabbaACACbBCaAB，連接連接,:20平行四邊形法則平行四邊形

4、法則 abba ab機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ba abaabbabaa向量的加法運算規(guī)律：向量的加法運算規(guī)律：abba 交換律交換律) 1 (cbacbacba )()()2(結(jié)合律結(jié)合律尾尾相相接接法法個個向向量量相相加加的的法法則則：首首n1a2a3a5a4a54321aaaaa2 減法減法: 負向量：負向量：, aaa的負向量，記作的負向量，記作稱為稱為向量，向量，的模相等，方向相反的的模相等，方向相反的與與)( abab 規(guī)定：規(guī)定：0)(aaaa 特別：特別：ABaCbab機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 數(shù)與向量的乘法數(shù)與向量的

5、乘法naaa. anaan記記為為相相同同的的向向量量，方方向向與與模模為為是個向量，是個向量，的乘積的乘積與與向量向量為實數(shù)為實數(shù)設設aa ,) 1:其模與方向規(guī)定如下其模與方向規(guī)定如下,|aa a的的模模為為方向一致方向一致與與時時方向方向aa,0:方向相反方向相反與與時時aa,0方向任意方向任意時時, 0,0a特別：特別：aa 11時，時，aa) 1(1時，時，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運算規(guī)律：運算規(guī)律：結(jié)合律：結(jié)合律：aa)()(分配律：分配律：aaa)(baba )(為實數(shù)。為實數(shù)。，其中其中關(guān)系關(guān)系向量及模與單位向量的向量及模與單位向量的 )2同同向向的的單單位位向向量

6、量，是是與與非非零零向向量量或或設設aaea)(0根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)與與向向量量的的乘乘法法：|0aaaaaeeaaaa或或或或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1. . ba，使使得得存存在在唯唯一一的的常常數(shù)數(shù)平平行行的的充充分分必必要要條條件件是是與與，則則設設bab0思路：證明兩向量相等即要證它們方向相同，思路：證明兩向量相等即要證它們方向相同， 模相等模相等機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設 M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)

7、(21baMC)(21abMD 53215abbba 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 化簡化簡解：解：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題：思考題：已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的對線的對線AC,a BDb 試用試用 表示平行四邊形四邊上對應的向表示平行四邊形四邊上對應的向量量.ba,ABCDMab思考題解答思考題解答)(21baMBAMABDC)(21baMDAMADBC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)向量的坐標表示 一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系二、向量在軸上的投影及投影定理二、向量在軸上的

8、投影及投影定理三、向量的坐標三、向量的坐標xyz一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標面 卦限(八個)面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzo向徑在直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(

9、zoxC(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;rrMPQRxyzxyzo向徑在直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;rr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 MPQR機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、向量在軸上的投影及投影定理二、向量在軸上的投影及投影定理1 向量的夾角向量的夾角00ba，設設abbOB,aOAo，作作任任取

10、取空空間間一一點點oAaBb)0(，即即設設的的規(guī)規(guī)定定不不超超過過AOBAOB。即即或或記記作作的的夾夾角角，與與稱稱為為向向量量)()()(,baabbaba規(guī)定：規(guī)定：)( ,0)(/) 1,baba bababa 反反向向與與同同向向，與與時時，之之間間任任意意取取值值與與可可在在時時，其其中中之之一一為為與與0)(0)2, baba 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 向量在軸上的投影向量在軸上的投影).(方向和長度的直線方向和長度的直線規(guī)定了規(guī)定了及其確定的軸及其確定的軸設單位向量設單位向量Le ABr 任給向量任給向量A ABB L軸上的投影軸上的投影在在與與稱為稱為LBAB

11、A, 軸上的分向量軸上的分向量在在稱為向量稱為向量LrBAeBA/eBA,使得使得存在唯一的存在唯一的上的投影，上的投影，在軸在軸為向量為向量稱數(shù)稱數(shù)LrABPrjrPrjLL或或記作記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 投影定理投影定理ABjLPrcos| AB定理定理1：，則則的的夾夾角角為為與與軸軸設設向向量量LABA ABB LB L12機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：可正、可負也可為零；可正、可負也可為零；ABPrjAB L, 0) 12020200cos|，ABABPrjL機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 影相同；影相同；相等向量在同一軸上投相等向量在同一軸上投

12、 )2);cos(|)3,baaaPrjba b上上的的投投影影，在在a b 定理定理2：.)(2121ajPrajPraajPrLLL軸軸，則則及及，設設有有向向量量Laa21AA BB CC L1a2a證：證：三三點點的的始始終終點點為為設設CBAaa,21,BAaPrj L1則則CBaPrjL2CAaaPrjL)(2121aa CABA21aPrjaPrjLL機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：向向量量的的結(jié)結(jié)論論可可推推廣廣到到有有限限個個定定理理2)(21nLaaaPrjnLLLaPrjaPrjaPrj21思考：思考： .)(2121ajP

13、rajPraajPrLLL?均均為為常常數(shù)數(shù)。,在空間直角坐標系下,設點 M , ),(zyxM則kzjyixrxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為rNMONOMOCOBOA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ixOA, jyOBkzOC表表示示可可用用向向徑徑任任意意向向量量OMr三、向量的坐標三、向量的坐標式式按按基基本本單單位位向向量量的的分分解解或或此此式式稱稱為為向向量量)(OMr1 向量的坐標表示向量的坐標表示的的向向徑徑。稱稱為為點點坐坐標標的的向向量量的的坐坐標標為為以以終終點點起起點點固固定定在在坐坐標標原原點點，MrOMzyxM,),(

14、 量量沿沿三三個個坐坐標標方方向向的的分分向向稱稱為為向向量量 OMkzjyix,在在三三個個坐坐標標軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量其其中中OMzyx,的的坐坐標標表表達達式式稱稱為為向向量量表表達達式式OMzyxOM,2 向量的模和方向余弦的坐標表示式向量的模和方向余弦的坐標表示式xoyzMNBCijkAr222NMONOM222OCOBOA222zyx222zyxOM 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oyzxr向向量量的的方方向向角角：與與三三條條坐坐標標軸軸正正向向的的非非零零向向量量zyxOM,的的方方向向角角的的夾夾角角稱稱為為向向量量 OM),0(,設設夾夾角角分分別

15、別為為有有：則則由由投投影影定定理理 1cosOMx cosOMy cosOMz MA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向向量量的的方方向向余余弦弦：OM 稱稱為為向向量量方方向向角角的的余余弦弦cos,cos,cos.方方向向余余弦弦,|cos222zyxxOMx,|cos222zyxyOMy,|cos222zyxzOMz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：; 1coscoscos) 1222 的的方方向向余余弦弦，單單位位向向量量的的坐坐標標就就是是它它 )2即即.cos,cos,cos|0aaa？1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1)3kji 機動 目錄

16、上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 用坐標作向量的線性運算用坐標作向量的線性運算,222111zyxbzyxa設設ba212121,zzyyxxa111,zyx，為實數(shù)為實數(shù)則則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論：推論： 222111,) 1zyxzyxba 212121,zzyyxxbaba )()2平平行行共共線線與與非非零零向向量量向向量量212121zzyyxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意教材注意教材P12頁最后一行的說明頁最后一行的說明 例例1：,3232kjib已已知知向向量量,) 1的的模模及及方方向向余余弦弦求求b .)20ab 向向量量平平行行且且方方向向相相反反的

17、的單單位位求求與與例例2：),(),(21222111zyx,.MzyxM已已知知空空間間兩兩點點，求求及及數(shù)數(shù),) 12121MMMM 及及向向量量,)22121MMMMMMM 向向量量使使的的連連線線上上求求一一點點與與在在點點Oxyz2M1M.M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :空空間間兩兩點點距距離離公公式式221221221)()()(zzyyxxMM21:的的定定比比分分點點公公式式空空間間點點 M121xxx121yyy121zzz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21M

18、M 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 在 z 軸上求與兩點)7, 1 ,4(A等距解解: 設該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示提示:(1) 設動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 設動點為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 已知兩點)2,2,2