2018版高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用1.2利用二分法求方程的近似解學(xué)案北師大版必修1

1、1. 2 利用二分法求方程的近似解學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能用二分法求出方程的近似解；2.知道二分法是求方程近似解的一種常用 方法，體會(huì)“逐步逼近”的思想.|課前預(yù)習(xí)自 4 學(xué)習(xí).積淀基訕預(yù)習(xí)教材 P117- 119 完成下列問(wèn)題：知識(shí)點(diǎn)一二分法的定義對(duì)于圖像在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且滿足f(a) f(b)0 的函數(shù)y=f(x)，每次取區(qū)間 的中點(diǎn)將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱(chēng)為二分法.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)應(yīng)滿足哪些條件？提示前提條件：(1)f(x)在區(qū)間a,b上的圖像連續(xù)不斷.(2) 在區(qū)間a,b端點(diǎn)的函數(shù)值f(a) f(b)0 .2.所有函數(shù)的零點(diǎn)都

2、可以用二分法求出嗎？提示 不是，例如函數(shù)y= (x+ 2)2的零點(diǎn)一 2 就無(wú)法用二分法求出.知識(shí)點(diǎn)二用二分法求方程近似解的步驟給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1) 確定區(qū)間a, b，驗(yàn)證f(a) f(b)0，給定精確度；(2) 求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c；(3) 計(jì)算f(c);1若f(c) = 0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；2若f(a)f(c)0 ,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x (a,c).3若f(c)f(b)0 ,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x (c,b).判斷是否達(dá)到精確度:即若 lab| &，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù) .【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1 用二分法求函數(shù)f(x) =

3、x3+ 5 的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是()A. 2,1B. 1,0C. 0,1D. 1,2解析 /f( 2) = 30,f( 2) f(1)0，故可取2,1作為初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算.答案 A2.用二分法研究函數(shù)f(x) =x3+ 3x 1 的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算得f(0)0 ,2可得其中一個(gè)零點(diǎn)xo_ ，第二次應(yīng)計(jì)算 _ .解析 因?yàn)閒(0)0，所以f(0) f(0.5)0，故f(x)的一個(gè)零點(diǎn)xo (0,0.5),利用二分法，則第二次應(yīng)計(jì)算f一 2 =f(0.25).答案(0,0.5)f(0.25)il堂互貂“.題型剖樁心互動(dòng)探究題型一二分法概念的理解【例 1】 下列圖像與x軸均有交點(diǎn)，

4、其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()解析 按定義，f(x)在a,b上是連續(xù)的，且f(a) f(b)0，才能不斷地把函數(shù)零點(diǎn) 所在的區(qū)間一分為二，進(jìn)而利用二分法求出函數(shù)的零點(diǎn)故結(jié)合各圖像可得選項(xiàng)B、C、D滿足條件，而選項(xiàng) A 不滿足，在 A 中，圖像經(jīng)過(guò)零點(diǎn)X。時(shí)，函數(shù)值不變號(hào)，因此不能用二 分法求解.故選 A.答案 A規(guī)律方法 判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖像在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn). 因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零 點(diǎn)適合，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適合.【訓(xùn)練 1】 下列函數(shù)中，能用二分法求零點(diǎn)的為()解析 函數(shù)圖像連續(xù)不斷，函數(shù)零點(diǎn)附近的

5、函數(shù)值異號(hào)， 這樣的函數(shù)零點(diǎn)才能使用二分 法求解，觀察四個(gè)函數(shù)圖像，只有B 選項(xiàng)符合.答案 B典例遷移題型二用二分法求方程的近似解【例 2】 用二分法求方程 2x3+ 3x 3 = 0 的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度 0.1).33解 令f(x) = 2x+ 3x 3,經(jīng)計(jì)算，f(0) = 30,f(0) f(1)0 ,所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)， 即方程 2x3+ 3x= 3 在(0,1)內(nèi)有解.取(0,1)的中點(diǎn) 0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)0 ,所以方程 2x3+ 3x 3 = 0 在(0.5,1)內(nèi)有解.如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表:(a,b)中點(diǎn)cf(a)

6、f(b)曽)(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于 |0.687 5 0.75| = 0.062 50.1,所以方程 2x3+ 3x 3 = 0 的一個(gè)精確度為 0.1 的正實(shí)數(shù)近似解可取為0.687 5 .3【遷移 1】(變換條件)本例變?yōu)椋焊鶕?jù)下表，用二分法求函數(shù)f(x) =x 3x+1 在區(qū)間(1,2)上的零點(diǎn)的近似值(精確到 0.1)是_f(1) = 1f(2) = 3f(1.5) = 0.

7、125f(1.75) = 1.109 375f(1.625) = 0.416 015 625f(1.562 5)= 0.127 197 265解析 由表中數(shù)據(jù)知f(1.5) f(2)0 ,f(1.5) f(1.562 5)0,所以函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間(1.5,1.562 5) 上，又因?yàn)?|1.562 5 1.5| = 0.062 50.1,所以函數(shù)f(x) =x3 3x+ 1 在區(qū)間(1,2)上的零點(diǎn)的近似值可以取1.5.故填 1.5 .答案 1.5【遷移 2】(變換條件)(本例變?yōu)?用二分法求 2x+x= 4 在1,2內(nèi)的近似解(精確度為0.2).參考數(shù)據(jù)：x1.1251.251.3751.51

8、.6251.751.875x22.182.382.592.833.083.363.67解 令f(x) = 2x+x 4,則f(1) = 2+ 1 40.區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)值Xnf(Xn)的值及符號(hào)(1,2)X1= 1.5f(X1)= 0.330(1,1.5)X2= 1.25f(X2)= 0.370(1.25,1.5)X3= 1.375f(X3)= 0.0350 |1.375 1.5| = 0.1250 ,f( 2)0 ,f( 2)0(2, 1.5)1.5 2X121.75f(X 2.2030(2, 1.75)1.75 2X2-2- 1.875f(X2)0.7360(2, 1.875)1.875 2X

9、3-2 1.937 5f(Xs)0.097 40(1.937 5 , 1.875)由于| 1.875 + 1.937 5| = 0.062 50.1 ，所以函數(shù)在區(qū)間2, 1內(nèi)的一個(gè)近似零 點(diǎn)可取為一1.937 5 .規(guī)律方法 1.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則(1) 需依據(jù)圖像估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間m n(般采用估計(jì)值的方法完成).(2) 取區(qū)間端點(diǎn)的中點(diǎn)c,計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是(m c)還是(c,n)，逐步縮小區(qū) 間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值.2.二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看.同號(hào)丟，異號(hào)算，

10、零點(diǎn)落在異號(hào)間.重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口.丨裸堂反饋羔鏈矗矗矗義.透屋矗屢蠶蠶J蠶蠹暮蚩底債撿測(cè)成歿課堂達(dá)標(biāo)1下列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的是()6A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3 ,+)答案 B3用二分法求方程x3- 2x 5= 0 在區(qū)間(2,3)內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)為xo= 2.5，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是 _ .解析 令f(x) =X3- 2x- 5,則f(2) = 23- 2X2- 5=- 10 ,下一個(gè)有根的區(qū)間是(2,2.5).答案(2,2.5)4.已知方程mx-x 1 = 0 在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)m的

11、取值范圍是 _ .解析設(shè)函數(shù)f(x) =mx-x- 1,因?yàn)榉匠蘭x-x-1= 0 在(0,1)內(nèi)恰有一解，所以當(dāng)m= 0 時(shí)，方程一x- 1 = 0 在(0,1)內(nèi)無(wú)解，當(dāng)m0時(shí)，由f(0)f(1)0,即(mr 1- 1)2.答案(2 ,+)5.用二分法求函數(shù)f(x) =x3-x- 1 在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度為 0.1).27 37解f(1) =- 10,那么函數(shù)f(X) 定存在零點(diǎn)的區(qū)間是()7上125551f(1.25) =- 12 一一 1 = 一 0.1 ;f(1.375)0 ，所以零點(diǎn)在區(qū)間 (1.25,1.375) 內(nèi)，此時(shí) |1.375 1.25| = 0.1250.1 ;又f(1.312 5)0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(1.312 5,1.375)內(nèi)，此時(shí) |1.375 1.312 5| = 0.062 50.1 ，3故f(x) =xx 1 在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)的一