江蘇高考數學模擬題榮豹教授主編

1、高考數學模擬題（數學之友編）一、填空題1.已知復數z1=m+2i，z2=3-4i，若z1z2 為實數，則實數 m 的值為。解析：z1z2 =m+2i3-4i=(3m- 8)+(4m+6)i25，由 4m+6=0，得 m=-32。2如圖墻上掛有邊長為a 的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為2a的圓弧，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是。解析：陰影面積為 a2-(a2)2，所求概率為a2-(a2)2a2=1-4。3. 甲、乙兩個學習小組各有10 名同學，他們在一次數學測驗中成績的莖葉圖如下圖所示，則他們在這

2、次測驗中成績較好的是甲組。甲乙5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 4. 設集合 a=0,1,2 ，b=0,1,2 ，分別從集合 a 和 b 中隨機取 一 個數 a,和 b，確定平面上的一個點p(a,b)，記“點 p(a,b)落在直線x+y=n 上”為事件cn(0n4， nn)，若事件 cn的概率最大，則 n 的可能值為。解析：p點取法總共有 9 種，由圖知直線截距為2 時經過的點最多，故 n=2。5. 在平面直角坐標系中，正方形abcd 的中心坐標為 (3，2)，其一邊 ab 所在直線的方程為x-y+1=0，則邊 ab 的對邊 cd 所在直線的方程為。解

3、析：設邊 cd 所在直線的方程為 x- y+m=0，由點 (3，2)到直 線ab的距離， d=|3-2+1|12+12=2 ，可得|3-2+m|12+12=2 ，從而m=- 3或m=1(舍去 )， 所 以 ，邊 cd 所 在 直 線 的 方 程 為x- y- 3=0。6. 某個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是cm3。解析：幾何體是正三棱柱，體積為v=(12 2 3) 1= 3(cm3)。7. 若點p(2，0)到雙曲線x2a2-y2b2=1 的一條漸近線的距離為2 ，則該雙曲線的離心率為。解析：雙曲線x2a2-y2b2=1 的漸近線為 y=bax，由|2b|a2+b2=2，得 a=b，

4、從而離心率 e=2。8已知流程圖如右圖所示，該程序運行后，為使輸出的b 值為 16，則循環(huán)體的判斷框內處應填。解析：a=1 時進入循環(huán)此時 b=21=2，a=2 時再進入循環(huán)此時 b=22=4，a=3 時再進入循環(huán)此時b=24=16，a=4 時應跳出循環(huán)，循環(huán)滿足的條件為a3，填 3。9. 函數 y=f(x)的圖像在點 m(1, f(1)處的切線方程是 y=3x- 2，則f(1)+f (1)=。解析：切點既在曲線上也在切線上，f(1)=3- 2=1，f (1)=3，f(1)+ f (1)=4。10若直線 ax+by=1(a,br)經過點 (1，2)，則1a+1b的最小值是。解析：1a+1b=a

5、+2ba+a+2bb=3+2ba+ab3+2 2 。11已知在平面直角坐標系xoy 中，o(0,0), a(1,-2), b(1,1), c(2.-1)，動點 m(x,y) 滿足條件-2omoa21omob2，則omoc的最大值為。解析 ：可行域為-2x- 2y21x+y2?omoc=2x- y，即求z=2x-y 的最大值，當點m(2,0)時，z=2x- y 取最大值 4。12.已知三角形 abc 中，角 a、b、c 所對的邊為 a、b、c。若角 c3，且 a=2b，則角 b= 。解析：c3，ab23。由 a2b，得 sina2sinb。sin(23- b)2sinb，即32cosb+12si

6、nb=2sinb。32cos b =32sinb，即 tanb=33。b(0，23)，b6。13.對于數列 an ，定義數列 an滿足： an=an+1-an，(nn*)，定義數列 2an 滿足：2an= an+1- an， (nn*) ， 若 數 列 2an 中 各 項 均 為 1 ， 且a101=a2009=0， 則a1= 。解析：由數列 2an中各項均為1，知數列 an是首項為 a1，公差為 1 的等差數列，所以，an= a1+n-1k=1ak= a1+(n- 1)a1+12(n- 1)(n- 2)。這說明， an是關于 n 的二次函數，且二次項系數為12，由 a101= a2009=0

7、，得 an=12(n- 101)(n-2009)，所以 a1=100400。14.下列命題中，錯誤命題的序號有(1)、(2)、(3) 。(1)“a=-1 ”是“函數 f(x)= x2+|x+a+1| ( xr) 為偶函數”的必要條件；(2)“直線 l 垂直平面 內無數條直線”是“直線l 垂直平面 ”的充分條件；(3)已知 a，b，c 為非零向量，則“ ab= ac”是“ b=c”的充要條件；(4)若 p: ?xr，x2+2x+20, 則 p:? xr，x2+2x+20。二、代數基本題1、已知向量 a=(cosx，sinx)，b=(- cosx，cosx)，c=(- 1，0)。(1)若 x=6，

8、求向量 a，c 的夾角；(2)當 x2，98 時，求函數 f(x)=2a b+1 的最大值。解：(1)當 x=6時，cos=a c|a| |c|=-cosxcos2x+sin2x(-1)2+02=- cosx=- cos6=cos56。 0 ， =56。(2) f(x)=2a b+1=2(- cos2x+sinxcosx)+1 =2sinxcosx- (2cos2x-1) =sin2x-cos2x=2sin(2x-4)。 x2，98 ，2x-434，2 ，故 sin(2x-4) - 1,22 ，當 2x-4=34，即 x=2時，f(x)max=1。2、已知 abc 的三個內角a、b、c 的對邊

9、分別為a、b、 c，且 b2+c2=a2+bc，求： (1) 2sinbcosc- sin(b-c)的值； (2)若 a=2，求 abc 周長的最大值。解：(1)b2+c2=a2+bc，a2=b2+c2- bc，結合余弦定理知cosa=12，a=3，2sinbcosc-sin(b- c)= sinbcosc+cosbsinc =sin(b+c) =sina=32。(2)由 a=2，結合正弦定理，得b+c=4 33sinb+4 33sinc =4 33sinb+4 33sin(23- b) =23sinb+2cosb=4sin(b+6)，可知周長的最大值為6。3、口袋中裝有質地大小完全的5 個球

10、，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號。如果兩個編號的和為偶數就算甲勝，否則算乙勝。(1)求甲勝且編號的和為6 的事件發(fā)生的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？說明理由。解： (1)設“甲勝且兩個編號的和為6”為事件 a，甲編號 x，乙編號 y，(x，y)表示一個基本事件，則兩人摸球結果包括(1，1)，(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(5，4)，(5，5)共 25 個基本事件； a 包含的基本事件有 (1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共 5 個，所以 p(a)=525=15。答：編號之和為

11、6 且甲勝的概率為15。(2)這種游戲不公平。設“甲勝”為事件b，“乙勝”為事件c。甲勝即兩編號之和為偶數所包(含基本事件數為以下13 個：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)；所以甲勝的概率為p(b)=1325。乙勝的概為 p(c)=1-1325=1225，p(b) p(c)，這種游戲規(guī)則不公平。三、立體幾何題4、如圖， pa 垂直于矩形 abcd 所在的平面， pd=pa，e、f 分別是 ab、pd 的中點。(1)求證： af平面 pce；(2)求證：平面 pce平面 pc

12、d。證明：(1)取 pc 中點 g，連接 fg、eg。因為 f、g 分別為 pd、pc 的中點，所以 fgcd 且 fg=12cd，又 aecd 且 ae=12cd，所以，fgae 且 fg=ae，四邊形 aegf 為平行四邊形，因此，afeg，又 af ? 平面 pce，所以 af平面 pce。(2) 由 pa平面 abcd，知 pacd，又 cdad，所以 cd平面 pad，cdaf。又 paad，f 為 pd 的中點，則 afpd，因此，af平面 pcd。而 afeg，故 eg平面 pcd，又 eg?平面 pce，所以，平面 pce平面pcd。5 、 平 行 四 邊 形abcd 中 ，

13、cd=1 ， dcbafehggpabcdfebcd=60 ，且 bdcd，正方形 adef 所在平面與平面abcd 垂直， g，h 分別是 df，be 的中點。(1)求證： bd平面 cde；(2)求證： gh平面 cde；(3)求三棱錐 d-cef 的體積。解：(1)證明：平面 adef平面 abcd，交線為 ad。edad，ed平面 abcd.edbd。又bdcd，bd平面 cde。(2)證明：連結 ea，則 g 是 ae 的中點。eab 中，ghab。又 abcd，ghcd，gh平面 cde。(3)解：設 rtbcd 中 bc 邊上的高為 h。cd=1，bcd=60 ，bc=2，h=3

14、2。即：點 c 到平面 def 的距離為32，vd-cef=vc-def=1312 2 232=33。四、解析幾何題6、已知橢圓 c：x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12，且經過點 p(1，32)。(1)求橢圓 c 的方程；(2)設 f 是橢圓 c 的右焦點， m 為橢圓上一點，以m 為圓心， mf 為半徑作圓 m。問點 m滿足什么條件時，圓m 與 y 軸有兩個交點 ? (3)設圓 m 與 y 軸交于 d、e 兩點，求點 d、e 距離的最大值。解：(1) 橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12，且經過點 p(1，32)，a2-b2a=121a2+94b2=1，即3a2-

15、4b2=01a2+94b2=1，解得a2=4b2=3，橢圓 c 的方程為x24+y23=1。(2)易求得 f(1，0)。設 m(x0，y0)，則x024+y023=1，圓 m 的方程為 (x- x0)2+(y-y0)2=(1- x0)2+y02，令 x=0，化簡得 y2- 2y0y+2x0- 1=0，=4y02-4(2x0- 1)20。將 y02=3(1-x024)代入，得 3x02+8x0-160，解出 - 4x043。(3)設 d(0，y1)，e(0，y2)，其中 y1y2。由(2)，得de= y2- y1=4y02-4(2x0- 1)=-3x02-8x0+16=-3(x0+43)2+64

16、3，當 x0=-43時，de 的最大值為8 32。7、已知橢圓x2+y23=1(0b1)的左焦點為 f，左、右頂點分別為a，c，上頂點為 b，過 f、b、c 作p，其中圓心 p 的坐標為 (m,n)。(1)當 m+n0 時，求橢圓離心率的范圍；(2)直線 ab 與p 能否相切？證明你的結論。解：(1)設 f、b、c 的坐標分別為 (- c, 0)，(0, b)，(1, 0)，則 fc、bc 的中垂線分別為 x=1-c2，y-b2=1b(x-12)，聯(lián)立方程組，解出x=1- c2y=b2-c2b。m+n=1- c2+b2- c2b0，即 b-bc+b2- c0，即 (1+b)(b-c)0，bc。

17、從而 b2c2，即有 a22c2，e212，又 e0，0e22。(2)直線 ab 與p 不能相切。由kab=b，kpb=b-b2-c2b0-1-c2=b2+cb(c-1)，如果直線 ab 與p 相切，則bb2+cb(c-1)=- 1，又 b2+c2=1，解出 c=0 或 2，與 0c1 矛盾，所以直線 ab 與p 不能相切。五、導數應用題8、水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t 表示時間 (單位：月 )，以年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量 (單位：億立方米 )關于 t 的近似函數關系式為v(t)= 1240(- t2+15t- 51)et+50 (0t9)4(t- 9)(3t- 41)+5

18、0 (0t12)。(1)若該水庫的蓄水量小于50 的時期稱為枯水期，以i-1ti 表示第 i 月份(i=1，2，12)，問一年內那幾個月份是枯水期？(2)求一年內該水庫的最大蓄水量(取 e3=20 計算)。解：(1)當 0t9 時，v(t)=1240(-t2+15t- 51)et+5050，即 t2- 15t+510，解得 t15+ 212或 t15-212，從而 0t15-2125.2。當 9t12 時，v(t)=4(t-9)(3t-41)+5050，即(t- 9)(3t- 41) 0，解得 9t413，所以 9t12。綜上，0t5.2 或 9t12，枯水期為 1，2，3，4，5，10，11

19、，12 月。(2)由(1)知，水庫的最大蓄水量只能在69 月份。v (t)=1240(- t2+13t- 36)et =-1240et(t- 1)(t- 9)，令 v (t)=0，解得 t=9 或 t=4(舍去)，又當 t(6,9)時，v (t)0；當 t(9,10)時，v (t)0。所以，當 t=9 時，v(t)的最大值 v(9)=1240 3 e9+50=150(億立方米 )，故一年內該水庫的最大蓄水量是150 億立方米。9、一變壓器的鐵芯截面為正十字形，為保證所需的磁通量， 要求十字形應具有 4 5m2的面積。問應如何設計十字形的寬x 及長 y，才能使其外接圓的 周長最短，這樣可使繞在鐵

20、芯上的銅線最節(jié)省。解：設 ab=h，則長 y=2h+x。由題意， x2+4xh=45，h=4 5-x24x，又 l=2 r，欲求 l 的最小值，只須求出r的最小值，4r2= x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2)，設 (x)= x2+2hx+2h2 = x2+45- x24x+2h2+80- 8 5x2+x48x2=5+58x2+10 x2(0 x2r)。令 (x)= 54x- 20 x3=0 ? x4=16，x=2，這時 h=4 5- 48=5- 12，y=2h+x=5+1。根據問題的實際意義，此最小周長l，最小半徑 r是存在的，故 x=2cm，y =(5+1)cm 即為所求。六、

21、數列綜合題10、已知等比數列 an 的前 n 項和為 sn，若 am, am+2, am+1(mn*) 成等差數列，(1)求數列 an 的公比；(2)試判斷 sm, sm+2, sm+1是否成等差數列，并證明你的結論。解：(1)設等比數列 an 的首項為 a1，公比為 q(a10, q0) ，若 am,am+2,am+1成等差數列，則2am+2=am+am+1，2a1qm-1= a1qm-1+ a1qm，a10, q0 ，2q2- q- 1=0，解得 q=1 或 q=-12。(2)當 q=1 時， sm=ma1， sm+1 =(m+1) a1，sm+2=(m+2) a1，2sm+1sm+ sm

22、+1，sm, sm+2, sm+1不成等差數列。當 q=-12時， (sm+ sm+1)- 2sm+1=( sm+ sm+ am+1)- 2(sm+ am+1+ am+2) = - am+1- 2am+2 =- am+1- 2qam+1 =- am+1- 2am+1(-12)，2sm+2=sm+ sm+1，sm, sm+2, sm+1成等差數列。11、設數列 an 為前n 項和為sn，數列 bn 滿足： bn=nan，且數列 bn 的前n 項和為(n- 1)sn+2n(nn*)。(1)求 a1,a2的值；(2)求證：數列 sn +2是等比數列；(3)抽去數列 an中的第 1 項，第 4 項，第

23、 7 項，第 3n- 2 項，余下的項順序不變，組成一個新數列 cn ，若cn的前 n 項和為 tn，求證：125tn+1tn113。解：(1)由題意得： a1+2a2+3a3+nan=(n- 1) sn +2n；當 n=1 時，則有： a1=(1- 1)s1 +2，解得： a1=2；當 n=2 時，則有： a1+2a2=(2-1)s2 +4，即 2+2a2=(2+a2)+4，解得： a2=4。(2)由 a1+2a2+3a3+nan=(n- 1)sn +2n，得a1+2a2+3a3+nan+(n+1)an+1= n sn+1+2(n+1) ，- 得：(n+1)an+1=nsn+1- (n-1)

24、sn+2，即 (n+1)(sn+1- sn)= nsn+1-(n- 1)sn+2，得 sn+1=2sn+2； sn+1+2=2(sn+2)，由 s1+2= a1+2=40 知數列 sn +2是以 4 為首項， 2 為公比的等比數列。(3)由(2)知 sn +2=4 2n-1- 2=2n+1- 2，當 n2 時，an= sn- sn-1 =(2n+1- 2)- ( 2n-2)= 2n對 n=1 也成立，即 an= 2n，數列 cn 為 22，23，25，26，28，29，它的奇數項組成以4 為首項，公比為 8的等比數列；偶數項組成以8 為首項、公比為 8 的等比數列；當 n=2k- 1(kn*)

25、時，tn=(c1+ c3+c2k-1)+ (c2+ c4+ c2k-2) =(22+25+23k-1)+( 23+26+23k-3) =4(1-8k)1- 8+8(1- 8k)1- 8=578k-127，tn+1= tn+cn+1=578k-127+23k=1278k-127，tn+1tn=12 8k-125 8k- 12=125+845(5 8k- 12)， 5 8k-1228，125tn+1tn3。當 n=2k- 1(kn*)時，tn=(c1+ c3+c2k-1)+ (c2+ c4+ c2k) =(22+25+23k-1)+( 23+26+23k) =4(1- 8k)1- 8+8(1- 8

26、k)1-8=1278k-127，tn+1= tn+cn+1=1278k-127+23k+2=4078k-127，tn+1tn=40 8k- 1212 8k-12=103+73(8k- 1)，8k-17 ，103tn+1tn113，125tn+1tn113。12.設數列 an滿足 a1 = 3，an+1 = 2ann 2n+13n，n1。(1)求數列 an 的通項公式；(2)求數列 an 的前 n 項之和 sn。解: (1) an= 2an-1(n- 1) 2n3n-1=22an-2+(n- 2) 2n-13n-2(n- 1) 2n3n-1 =22an-2(n- 2)(n-1) 2n(23n-2

27、3n-1) =222an-3(n- 3) 2n-23n-3(n- 2)(n-1) 2n(23n-23n-1) =23an-3(n- 3)(n-2)(n-1) 2n(22 3n-32 3n-23n-1) =2 n-1a1123 (n- 1) 2n(2n-2 32n-3 32 3n-1) =2n-1 3n(n-1)2 2n2n-2 31- (32) n-11-32=2n-1 (n2- n3)2n-1 3(32)n-1- 1 =2n-1 (n2- n)3n。(2)設數列 bn，其中 bn =2n-1 (n2- n)，mn 為其前 n 項和，則 sn= mn3n。mn =01 2 212 3 223

28、4 23 (n- 1)n 2n-1，2mn = 1 2 222 3 23 (n-1)n 2n，相減得- mn = 1 2 22 2 223 2 23 2 (n-1) 2n-1- (n-1)n 2n=1 222 233 24 (n- 1)2n- (n-1)n 2n，-2 mn = 1 232 243 25 (n-1) 2n+1- (n- 1)n 2n+1，相減得mn = 1 222324 2n- (n-1) 2 n+1(n- 1)n 2n= (2- n) 2 n+1(n-1) n 2n- 4，sn = mn332 3n= 3(3n-1)2- (n- 2) 2n+1(n-1) n 2n- 4。13

29、.已知數列 an的前 n 項之和 sn = n2an，其中 a1 = 1。(1)求數列 an 的通項公式；(2)求數列 an 的前 n 項之和；(3)求證: 2n-1i=1si 2n+1- n- 2。解：(1) an=snsn-1 = n2an- (n-1)2an1，(1- n2) an = - (n- 1)2a n1，(1n) an = (n- 1)a n1，an an1= n1n1，an an1an1 an2 a3a2a2a1= n1n1n2nn3n12413，ana1= 2 1(n1) n，an = 2(n1) n。(2) sn = n2an= 2nn1。(3) 2n-1i=1si =2

30、(1-12)(1-13) (1-12n) = 2(2n- 1)- (12131412n)，其中，12131412n12(14+1422-1個)(18+18+18+1823-1個)(12n+12n+12n2n-1個+12n) =(12+12+ 12n個+12) = n2，2n-1i=1si2(2n-1)- 2n2= 2n+1-n- 2。七、函數綜合題14、已知函數 f(x)=x+ax，g(x)= x-ax，a2 2- 3，(1)求證：函數 f(x)在(0,1 上單調遞增；(2)函數 g(x)在（0,1 上單調遞減，求 a 的取值范圍；(3)若對任意 x(0,1，函數 h(x)=x|x- b|+a

31、 的圖象在 x 軸下方，求 b 的取值范圍。解：設 0 x1x21，(1) a0，f(x1)- f(x2)=( x1- x2)(1-ax1x2 )0，f(x)在(0，1)上遞增。(2)g(x1)- g(x2)=( x1- x2)(1-ax1x2 )0，1+ax1x2 0，a-x1x1，而-x1x1最小值為 -1， a- 1。(3)h(x)0，即| x-b| -ax，x+axbx-ax，即 f(x)bg(x)，f(x)maxbg(x) g(x)min，x(0,1)。當-12 2 -3 時，由 (1) 知 f(x)max為 f(1)=1+a，而 g(x)=x-ax2 - a ，1+ab2-a。當

32、a-1 時，由 (2)結論的可逆性，可得g(x)最小值為 g(1)=1- a，由(1)知 f(x)最大值仍為 f(1)=1+a，1+ab1-a。15、對任意 xr，給定區(qū)間 k-12,k+12( kz)，設函數 f(x)表示實數 x 與 x 的給定區(qū)間內整數之差的絕對值。(1)寫出 f(x)的解析式；(2)設函數 g(x)= logax，(e- 21a1) 試證明：當 x1 時，f(x)g(x)；當 0 x1 時，f(x)g(x)；(3)求方程 f(x)- logax =0的實根， (e- 21a1)。解：(1)當 x k-12,k+12( kz) 時，由定義知： k 為與 x 最近的一個整數

33、，故f(x)=|x-k|，x k-12,k+12( kz) 。(2) 當 x1 時， |x-k| 012logax，所以 f(x)g(x)；當12x1 時，設 h(x)= g(x)- f(x)= 12logax- (1- x)，(12x1)。則 h (x)= 121xlogae+1=12xlna+112xln e- 21+1=-1x+10，所以當12x1 時，h(x)為減函數， h(x)h(1)=0，故 f(x)g(x)；當 0 x12時，設 g(x)= g(x)- f(x)=12logax- x，明顯 g(x)為減函數， g(x)g(12)=h(12)0，故 f(x)g(x)。另證： g(x

34、)=12logax12loga12=12loga4- 2112logae- 2112logaa=12= f(12)f(x)。(3)由(2)，容易驗證 x=1 為方程|x-k|-12logax=0 的實根，所以，若e- 21a1，方程f(x)- logax=0 有且僅有一個實根，實根為1。16、已知 f(x)=ax- lnx，x0, e，g(x)=lnxx，ar，(1)若 a=1，求 f(x)的極小值；(2)在(1)條件下證明 f(x)g(x)+12；(3)是否存在實數 a 使 f(x)的最小值為 3。解：(1)f(x)=ax- lnx，f (x)=1-1x=x- 1x，當 0 x1 時，f (

35、x)0，此時 f(x)單調遞減；當 1xe時，f (x)0，此時 f(x)單調遞增。 f(x)的極小值為 f(1)=1。(2)f(x)的極小值為 1，即 f(x)在(0，e)上的最小值為 1，f(x)0，f(x)min=1。令 h(x)=g(x)+12=lnxx+12，h (x)= 1-lnxx，當 0 xe時，h (x)0，h(x)在(0，e) 上單調遞增，h(x)max= h(e)= 1e+1212+121=| f(x)|min。在(1)的條件下， f(x)g(x)+12。(3)假設存在實數 a，使 f(x)=ax-lnx ，x0, e有最小值 3，f (x)=a-1x=ax- 1x，當

36、a0 時，f(x)在（0，e 上單調遞減， f(x)min= f(e)=ae- 1=3，a=4e( 舍去)，所以，此時 f(x)無最小值。當 01ae時，f(x)在(0,1a)上單調遞減，在 (1a, e 上單調遞增，f(x)min= f(1a)=1+lna=3，a=e2，滿足條件。當1ae 時，f(x)在(0，e)上單調遞減， f(x)min= f(e)=ae-1=3，a=4e(舍去) ，所以，此時f(x)無最小值。綜上，存在實數 a=e2，使得當 x0, e時 f(x)有最小值為 3。八、空間向量題（理科附加）17、如圖，正棱柱 abc-a1b1c1的所有棱長都為4，d 為 cc1中點，(

37、1)求證： ab1平面 a1bd；(2)求二面角 a-a1d-b 的大小。解：(1)取 bc 中點 o，連接 ao，取 b1c1中點 o1，以 o 為原點，如圖建立空間直角坐標系o-xyz，則b(2,0,0)，d(- 2,2,0)，a1(- 4,2,2 3)，a(0,0,2 3)，b1(2,4,0)，ab1=(2,4,- 2 3)， bd=(- 4,2,0)， ba1=(2,4,23)， ab1 bd=0， ab1 ba1=0， ab1 bd， ab1 ba1， ab1平面 a1bd。(2)設平面 a1ad 的法向量為 n=(x,y,z),ad=(- 2,2,- 2 3)， aa1=(0,4,

38、0)。n ad， n aa1，- 2x+2y- 2 3z=04y=0，令 z=1，得 n=(-3,0,1)為平面 a1ad 的一個法向量，由(1) ab1=(2,4,2 3)為平面 a1bd 的法向量，得 cos=64，所以二面角 a-a1d-b 的大小為 arccos64。18、如圖，四棱錐 p-abcd 的底面 abcd 是正方形，側棱 pd底面 abcd，pd=cd，e 是 pc 的中點。(1)證明 pa 平面 bde；(2)求二面角 b-de-c 的平面角的余弦值；(3)在棱 pb 上是否存在點 f,使 pb平面 def? 證明你的結論。解：(1) 以 d 為坐標原點 ,分別以 da、

39、dc、dp 所在直線為 x軸、y 軸、z軸建立空間直角坐標系，設pd=cd= 2，則 a(2,0,0)，p(0,0,2)，e(0,1,1)，b(2,2,0)， pa=(2,0,- 2)，de=(0,1,1)， db=(2,2,0)。設 n=(x,y,z)是平面 bde 的一個法向量，則由n1 de=0n db=0，得y +z=02x+2y=0；取=- 1，n1=(1,- 1,1)，33 n=2- 2=0， pan1，又 pa?平面 bde，pa平面 bde。(2) 由(1)知 n1=(1,- 1,1)是平面 bde 的一個法向量 ,又n2= da=(2,0,0)是平面 dec 的一個法向量。設

40、二面角 b-de-c 的平面角為 ,由圖可知 =， cos =cos=n1 n2|n1| |n2|=23 2=33，故二面角 b-de-c 余弦值為33。(3) pb=(2,2,- 2)， de=(0,1,1)， pb de=0+2- 2=0，pbde。假設棱 pb 上存在點 f，使 pb平面 def，設 pf=pb(0 1)，則pf=(2 , 2 ,- 2 )， df= dp+ pf=(2 , 2 ,2-2 )，由 pf df=0 得 42 +42-2 (2-2 )=0， =13(0,1)，此時 pf=13pb，即在棱 pb 上存在點 f，pf=13pb，使得 pb平面 def。九、隨機變量

41、題（理科附加）19、某班從 6名干部中 (其中男生 4 人，女生 2 人)，選 3 人參加學校的義務勞動。(1)設所選 3 人中女生人數 ，求 的分布列及數學期望；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率。解：(1) 的所有可能取值為0，1，2，依題意得：p( =0)= c34c36=15，p( =1)= c34c12c36=35，p( =2)= c14c22c36=15。 的分布列為e =015+135+215=1。選中”為事件 c，則 p(c)= c34c36(2)設“男生甲、女生乙都不被=15，所求概率為 p(c)=1- p(c)= 45。

42、(3)設“男生甲被選中”為事件a，“女生乙被選中”為事件b，則p(a)= c25c36=12，p(ab)= c14c36=15，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為p(b|a)= p(ab)p(a)=25。20、一袋中有 m(mn*)個紅球， 3 個黑球和 2 個白球，現從中任取2 個球。(1)當 m=4 時，求取出的 2 個球顏色相同的概率；(2)當 m=3 時，設 表示取出的 2 個球中黑球的個數，求 的概率分布及數學期望 ; (3)如果取出的 2 個球顏色不相同的概率小于23，求 m 的最小值。解：(1)設“取出的 2 個球顏色相同”為事件a，p(a)= c24+c23+c22c29=518。514+11528+2328=34。(2) e =0(3)設“取出的2 個球中顏色不相同”為事件b，則c1xc13+c1xc12+c13c12c2 x+5 23, p(b)=x2- 6x+20，x3+7或 x3-7，x 的最小值為 6。十、混合題 ( 理科附加 ) 21、如圖，已知二次函數f(x)=ax2+bx+c，直線 l1: x=2，直線 l2: y=3tx（其中- 1t1，t 為常數）；若直線l2與函數 f(x)的圖象以及直線l1，l2與函數 f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示。(1)求 y= f(x)的解