簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性

1、簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性簡諧激勵下強(qiáng)迫振動的響應(yīng)特性強(qiáng)迫振動的幾種形式強(qiáng)迫振動的幾種形式強(qiáng)迫振動的運動方程強(qiáng)迫振動的運動方程取不同形式時，振動特點不同取不同形式時，振動特點不同其中簡諧激勵為最簡單的激勵形式其中簡諧激勵為最簡單的激勵形式單自由度運動微分方程的一般形式單自由度運動微分方程的一般形式)()()(txtxtxph其中其中, 為相應(yīng)齊次方程的解為相應(yīng)齊次方程的解 為方程的特解為方程的特解 運動微分方程的解運動微分方程的解 簡諧激勵下的響應(yīng)簡諧激勵下的響應(yīng))(txh)(txp（有阻尼系統(tǒng)中該項解將逐漸消失）（有阻尼系統(tǒng)中該項解將逐漸消失）振動的時域波形振動的時域波形一、無阻尼情形一、

2、無阻尼情形無阻尼情形的運動方程無阻尼情形的運動方程瞬態(tài)解的一般形式：瞬態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的一般形式：代入運動方程，得到振幅：代入運動方程，得到振幅：因此，總振動的一般形式為：因此，總振動的一般形式為：放大系數(shù)與靜位移放大系數(shù)與靜位移總振動方程中總振動方程中代入初始條件，可求得待定常數(shù)代入初始條件，可求得待定常數(shù) 得到總振動的表達(dá)式得到總振動的表達(dá)式振幅放大系數(shù)（幅值比）振幅放大系數(shù)（幅值比）靜位移靜位移無量綱頻率比無量綱頻率比穩(wěn)態(tài)解的振幅穩(wěn)態(tài)解的振幅 X 通?？杀磉_(dá)成通?？杀磉_(dá)成211stXr0/stFk/nr 其中：X無阻尼系統(tǒng)幅頻特性無阻尼系統(tǒng)幅頻特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)

3、特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)特性總響應(yīng)總響應(yīng)共共 振振由羅比塔法則由羅比塔法則00( )cossinsin2stnnnnnxtx txttt 此時此時Case 4: n 設(shè)激勵頻率與固有頻率接近激勵頻率與固有頻率接近000 xx，則：令， 為一小正數(shù)。則：2n2n224n2n因此有：激勵頻率與固有頻率接近激勵頻率與固有頻率接近 0/sinsin2Fmx ttt0/sin2Fmt可變幅值可變幅值幅值變化周期為2/ 出現(xiàn)拍的現(xiàn)象出現(xiàn)拍的現(xiàn)象激勵頻率與固有頻率接近激勵頻率與固有頻率接近拍振周期拍振周期：兩零幅值點或最大幅值點對應(yīng)的時間：兩零幅值點或最大幅值點對應(yīng)的時間222bn拍頻拍頻：2(:)bnbnor

4、fff 拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象tFxkxmsin0 txxsin 1, 1, 10Fkm1.121.061.11.8Period of beating:?Max. Amplitude: ?拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象激勵頻率與固有頻率比不同時的情況激勵頻率與固有頻率比不同時的情況mgmkcxokFFcF如右圖所示的單自由度系統(tǒng): m=5kg, c=0 Ns/m, and k=2000 N/m.如果如果F F( (t t)=10sin(20)=10sin(20t t)(N), )(N), 所有初條所有初條件為零件為零, , 求系統(tǒng)響應(yīng)求系統(tǒng)響應(yīng)x x( (t t)=?)=?Solution The equatio

5、n of motion: 5200010sin20 xxtn200020 rad/s5例（例（1）mgmkcxokFFcF tctcttx20sin20cos212 tctcttctctx20cos20sin2020sin20cos21212 tctcttctctx20sin20cos40020cos20sin4021212 ttctcttctcttctc20sin1020sin20cos200020sin20cos200020cos20sin20021212102c)m(05. 0200101cParticular solution:Substitute above equations in

6、 equation of motion to obtain例例 （1） tttBtAtx20cos05. 020sin20cosThe solution: 000Ax 20 cos200.05cos20sin20 x tBtttt 0.05000.0025 (m)20 xBA and B are determined using the initial conditionsHence, the complete response of the undamped system is 0.0025sin200.05 cos20mx tttt例（例（1）The solution: 0.0025sin

7、200.05 cos20mx tttt例（例（1）二、有阻尼情形二、有阻尼情形運動方程一般形式運動方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運動方程得假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運動方程得用三角函數(shù)公式展開用三角函數(shù)公式展開令兩邊同諧波項相等令兩邊同諧波項相等幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)和瞬和瞬態(tài)問態(tài)問題！題！全解！全解！無量綱化無量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：力函數(shù)和響應(yīng)相位差力函數(shù)和響應(yīng)相位差 Vector relationshipExcitationF(t)F00oRestoringkX0Lag F(t) DampingExceed x (t) 90oInertiam

8、2X0Exceed x (t) 180ocx 2xm 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位特性cX0kx(Stiffness domination)212arctan2222112220021kFX000,1,0,FXk 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的低頻低頻特性特性r0stX（習(xí)慣表達(dá)方式）（外力主要與彈性力平衡）（外力主要與彈性力平衡）若若(Inertia domination)212arctan2222112220021kFX200022,0,nFFXkm 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的高頻高頻特性特性（外力主要與慣性力平衡）（外力主要與慣性力平衡）(Damping domination)212arctan22

9、22112220021kFX00011,222FFXkc 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性（共振時，外力與阻尼力平衡，慣性力與彈性力平衡）（共振時，外力與阻尼力平衡，慣性力與彈性力平衡）1max1222112dn0212821232222222221122120221 2 21 2122222max1212142111振幅達(dá)到最大值時的頻率振幅達(dá)到最大值時的頻率受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏移，略向左偏移， 對于小阻尼對于小阻尼 (i.e., for light damping).2121n22211nd1n

10、dpeak2arctanckmpeakdn相位特性和振幅一樣，相位特性和振幅一樣，振幅達(dá)到最大值時的頻率振幅達(dá)到最大值時的頻率0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx2arctanmkc自由振動自由振動 受迫振動受迫振動相位差特性相位差特性相頻曲線相頻曲線總響應(yīng)總響應(yīng)（1）當(dāng)外激勵）當(dāng)外激勵 F(t)=10sin(10t)(N), 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)應(yīng)x2(t)=?（2）當(dāng)）當(dāng) F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值條件為零，而所有的初值條件為零，即即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬態(tài)解及總響應(yīng)求瞬態(tài)解及總響應(yīng) x(t)?當(dāng)當(dāng) t = 1 s,

11、2 s, 3 s時，瞬態(tài)響應(yīng)時，瞬態(tài)響應(yīng)x1(t) 的幅值及穩(wěn)態(tài)響的幅值及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)應(yīng) x2(t)的幅值的幅值 mgmkcxokFFcF如右圖所示的單自由度系統(tǒng): m=5kg, c=20 Ns/m, and k=2000 N/m.例例 （2）作受力分析圖作受力分析圖kFFcFmmgmgmkcxokFFcF例例 （2）代入 m=5kg, c=20Ns/m, and k=2000N/m.tFxkxcxmsin0 n20 (rad/s)km100.52022211.32210.520.50.1200.12002cmkF(t)=10sin(10t) ，2dn119.9(rad/s)例例 （2）00FXk

12、3101.3226.61 10 (m)2000222 0.5 0.1arctanarctan0.133rad10.5ckm 26.61 sin 100.133mmxtt例例 （2） 133. 0sin61. 60A，mm87. 0133. 0sin61. 6A tBtAtxtdd2sincose2 133. 010cos1 .66cossinedddd2ttBtAt 133. 0cos1 .669 .1920BA mm2 . 39 .19/133. 0cos1 .662AB 2ddecossin6.61sin 100.133tx tAtBtt例例 （2）1x 2e0.87 cos 19.93.

13、2 sin19.9tx ttt6.61 sin 100.133mmt23.32ecos 19.91.316.61sin 100.133mmttt例例 （2）注意：即使初始條件均為零，瞬態(tài)解仍然不為零！注意：即使初始條件均為零，瞬態(tài)解仍然不為零！ ttxtd21cose316. 3 mm133. 010sin61. 62ttxAmplitude of x2(t) =6.61mmt=1s, Amplitude of x1 = 0.45mmt=2s, Amplitude of x1 = 0.061mmt=3s, Amplitude of x1 = 810-3mm例例 （2）衰減有、無阻尼系統(tǒng)對比有、

14、無阻尼系統(tǒng)對比無阻尼無阻尼有阻尼有阻尼無阻尼系統(tǒng)的無阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線幅頻響應(yīng)曲線一般激勵下的響應(yīng)特性一般激勵下的響應(yīng)特性沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧考慮具有粘性阻尼的彈簧 - 質(zhì)量系統(tǒng)在質(zhì)量系統(tǒng)在 t = 0 時受到一個單位沖量作用時受到一個單位沖量作用:對沖量的響應(yīng)對沖量的響應(yīng)對于欠阻尼系統(tǒng)，其運動方程為對于欠阻尼系統(tǒng)，其運動方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中其中對沖量的響應(yīng)對沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)閯t系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為我們有我們有

15、:稱為稱為 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對沖量的響應(yīng)對沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是如果沖量的大小是 而不是而不是1，那么初始速度，那么初始速度 變?yōu)樽優(yōu)榇藭r系統(tǒng)的響應(yīng)成為此時系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量如果沖量 是作用在任意時刻是作用在任意時刻 處，處，則該時刻速度變化為則該時刻速度變化為 。假設(shè)沖量。假設(shè)沖量作用前作用前 ，則系統(tǒng)響應(yīng)為，則系統(tǒng)響應(yīng)為 脈沖發(fā)生的時刻脈沖發(fā)生的時刻對任意外力的作用，可將任意力看成對任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。是一系列大小變化的沖量組成的。對一般力的響應(yīng)對一般力的響應(yīng)假設(shè)在假設(shè)在 時刻，力時刻，力 在很短的在很短的時間時間 作用在系統(tǒng)上，則在這一時刻作用在系統(tǒng)上，則在這一時刻的沖量就是的沖量就是 ，對于任意時刻，對于任意時刻 ，沖量發(fā)生的時間為沖量發(fā)生的時間為 ，則該沖量在，則該沖量在 時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為時刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在 t 時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引起的時刻的總響應(yīng)等于之前所有時刻的微沖量引起的響應(yīng)的疊加：響應(yīng)的疊加：對一般力的響應(yīng)對一般力的響應(yīng)將單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式代入，得將單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式代入，得式中的積分稱作式中的積分稱作 杜哈梅積分杜哈梅積分