數(shù)列知識(shí)點(diǎn)和常用的解題方法歸納

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)和常用的解題方法歸納一、等差數(shù)列的定義及性質(zhì)0的二次函數(shù)）項(xiàng)，即：二、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)三、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法1、公式法2、；3、求差（商）法解：練習(xí)4、疊乘法解：5、等差型遞推公式練習(xí)6、等比型遞推公式練習(xí)7、倒數(shù)法三、求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法1、公式法：等差、等比前n項(xiàng)和公式2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。解：練習(xí)3、錯(cuò)位相減法：4、倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再及原來(lái)順序的數(shù)列相加。練習(xí)例1設(shè)an是等差數(shù)列，若a2=3，a=13，則數(shù)列an前8項(xiàng)的和為（ ）A128 B80 C64 D56 （福建卷第3題） 略解：a2 +a=

2、 a+a=16，an前8項(xiàng)的和為64，故應(yīng)選C例2 已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則（ ）A64B81C128D243 （全國(guó)卷第7題）答案：A例3 已知等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于（ ）A30B45C90D186 （北京卷第7題）略解：a-a=3d=9， d=3，b=，b=a=30，的前5項(xiàng)和等于90，故答案是C例4 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則該數(shù)列的公差（ ）A2 B3 C6 D7 （廣東卷第4題）略解：,故選B.例5在數(shù)列中，,其中為常數(shù)，則（安徽卷第15題）答案：1例6 在數(shù)列中， ，則（ ）ABC D（江西卷第5題）答案：A例7 設(shè)數(shù)列中，則通項(xiàng) _（四川卷第16題）此題重點(diǎn)考查由數(shù)列

3、的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，抓住中系數(shù)相同是找到方法的突破口略解：，將以上各式相加，得，故應(yīng)填+1例8 若(x+)n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)為( )A6B7C8 D9 (重慶卷第10題)答案：B使用選擇題、填空題形式考查的文科數(shù)列試題，充分考慮到文、理科考生在能力上的差異，側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，命題設(shè)計(jì)時(shí)以教材中學(xué)習(xí)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應(yīng)用為主，如，例4以前的例題例5考查考生對(duì)于等差數(shù)列作為自變量離散變化的一種特殊函數(shù)的理解；例6、例7考查由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的能力；例8則考查二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)、等差數(shù)列等概念的綜合運(yùn)用重慶卷

4、第1題，浙江卷第4題，陜西卷第4題，天津卷第4題，上海卷第14題，全國(guó)卷第19題等，都是關(guān)于數(shù)列的客觀題，可供大家作為練習(xí)例9 已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)（）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上. ()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； ()若數(shù)列bn滿(mǎn)足b1=1，bn+1=bn+，求證：bn·bn+2b2n+1. （福建卷第20題）略解：（）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列故an=1+(n-1)×1=n.()由（）知，an=n，從而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）

5、+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1. bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, bn·bn+2b對(duì)于第（）小題，我們也可以作如下的證明：b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n<0， bn-bn+2<b2n+1.例10 在數(shù)列中，（）設(shè)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和（全國(guó)卷第19題）

6、略解：（）=1，則為等差數(shù)列，（），兩式相減，得=對(duì)于例10第（）小題，基本的思路不外乎推出后項(xiàng)減前項(xiàng)差相等，即差是一個(gè)常數(shù)可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限個(gè)的驗(yàn)證歸納得到為等差數(shù)列的結(jié)論，犯“以偏蓋全”的錯(cuò)誤第（）小題的“等比差數(shù)列”，在高考數(shù)列考題中出現(xiàn)的頻率很高，求和中運(yùn)用的“錯(cuò)項(xiàng)相減”的方法，在教材中求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)給出，是“等比差數(shù)列”求和時(shí)最重要的方法一般地，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為重要的內(nèi)容常常并不在結(jié)論本身，而在于獲得這一結(jié)論的路徑給予人們的有益啟示例9、例10是高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題的一種常見(jiàn)的重要題型，類(lèi)似的題目還有浙江卷第18題，江蘇卷第19題，遼寧卷第2

7、0題等，其共同特征就是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為依托構(gòu)造新的數(shù)列主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化及化歸思想，考查推理及運(yùn)算能力考慮到文、理科考生在能力上的差異，及理科試卷側(cè)重于理性思維，命題設(shè)計(jì)時(shí)以一般數(shù)列為主，以抽象思維和邏輯思維為主的特點(diǎn)不同；文科試卷則側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，以考查具體思維、演繹思維為主例11 等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列, ，且()求及； ()求和：（江西卷第19題）略解：()設(shè)的公差為，的公比為，依題意有解之，得或(舍去，為什么？)故“裂項(xiàng)相消”是一些特殊數(shù)列求和時(shí)常用的方法使用解答題形式考查數(shù)列的試題，其內(nèi)容還往往是一般數(shù)列的內(nèi)容，

8、其方法是研究數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的一般方法，并且往往不單一考查數(shù)列，而是及其他內(nèi)容相綜合，以體現(xiàn)出對(duì)解決綜合問(wèn)題的考查力度數(shù)列綜合題對(duì)能力有較高的要求，有一定的難度，對(duì)合理區(qū)分較高能力的考生起到重要的作用例12 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求；（）證明：是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式（四川卷第21題）略解：（），所以由知，得，（）由題設(shè)和式知，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列此題重點(diǎn)考查數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)，通項(xiàng)公式等推移腳標(biāo)，兩式相減是解決含有的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)化為不含的遞推公式，從而有針對(duì)性地解決問(wèn)題在由遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，首項(xiàng)是否可以被吸收是易錯(cuò)點(diǎn)同時(shí)，還應(yīng)注意到題目設(shè)問(wèn)的層層深入，前一問(wèn)常為解決后一問(wèn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為求解下一問(wèn)指明方向例13 數(shù)列滿(mǎn)足（I）求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求使的所有k的值，并說(shuō)明理由（湖南卷第20題）