第4章 恒定電場與恒定磁場

1、1第第4章章 恒定電場與恒定磁場恒定電場與恒定磁場電容的計算電容的計算電感電感/互感的計算互感的計算重點內容24.1 恒定電場恒定電場恒定電場：恒定電流恒定電場：恒定電流( (運動電荷運動電荷) )產生的電場。產生的電場。一、恒定電場基本方程一、恒定電場基本方程恒定電場的基本量：恒定電場的基本量：EJ由電流守恒定律：由電流守恒定律：0Jt00tJ 恒定電場仍然是保守場，因此恒定電場仍然是保守場，因此0E恒定電場基本方程為恒定電場基本方程為0000SlJ dSJEE dl0JEJ 將代入可得電位方程203二、恒定電場邊界條件二、恒定電場邊界條件 用類比關系推導恒定電場邊界條件。比較可知，將靜電場

2、用類比關系推導恒定電場邊界條件。比較可知，將靜電場基本方程中的基本方程中的 代換為代換為 ，則兩者基本方程形式完全相同。，則兩者基本方程形式完全相同。0SJ dS12()0JJn12nnJJ0lE dl12EnEn 電位邊界條件電位邊界條件 的邊界條件的邊界條件J 的邊界條件的邊界條件E12ttEEDJ2121120nnJE 4 212En1E212J1J12111222tantantantan若若 , ,則則 。 2 10在理想導體表面上，在理想導體表面上， 和和 都垂直于邊都垂直于邊界面。界面。JE三、靜電場和恒定電場性質比較三、靜電場和恒定電場性質比較討論：討論： 場性質相同，均為保守場

3、場性質相同，均為保守場 場均不隨時間改變場均不隨時間改變 均不能存在于理想導體內部均不能存在于理想導體內部 相同點：相同點： 源不同。靜電場的源為靜止電荷，恒定電場的源為源不同。靜電場的源為靜止電荷，恒定電場的源為運動電荷運動電荷 存在區(qū)域不同。靜電場只能存在于導體外，恒定電存在區(qū)域不同。靜電場只能存在于導體外，恒定電場可以存在于非理想導體內場可以存在于非理想導體內 不同點：不同點：52212121212121221212121DD000000000D0DDllSSttttnnnnE dlE dlJ dSdSEEJJEEEEEEJJnnnn 622112211SSSSDJdSE dSqCUE

4、dlE dlJDdSE dSIGUE dlE dl 例題例題4.1.14.1.1計算同軸線單位長度的絕緣電阻。計算同軸線單位長度的絕緣電阻。例題例題4.1.24.1.2計算半球形接地器的接地電阻。計算半球形接地器的接地電阻。自學自學7 同軸線填充兩種介質，結構如圖所示。兩同軸線填充兩種介質，結構如圖所示。兩種介質介電常數分別為種介質介電常數分別為 和和 ，導電率分別為，導電率分別為 和和 ，設同軸線內外導體電壓為，設同軸線內外導體電壓為U U。 求：求：(1)(1)導體間的導體間的 ， ， ； (2)(2)分界面上自由電荷分布。分界面上自由電荷分布。1221EJ 2a2b2c11 22 a22

5、 11 EJ解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應用解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應用高斯定理求解。高斯定理求解。設單位長度內從內導體流向外導體電流為設單位長度內從內導體流向外導體電流為I I。則：則：rIJeS()2rIearcr由邊界條件，邊界兩邊電流連續(xù)。由邊界條件，邊界兩邊電流連續(xù)。例例 由導電媒質內電場本構關系，可知媒質內電場為：由導電媒質內電場本構關系，可知媒質內電場為：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr812bcabUE drEdr12(lnln )(lnln )22IIbacb120212ln( / )ln( / )UIb ac b 1202

6、1()ln( / )ln( / )UJarcb ac b r 201121()ln( / )ln( / )rUJEearbb ac b r102221()ln( / )ln( / )rUJEebrcb ac b r22()crEdrbrc112()bcrbE drEdrarb92 2）由邊界條件：）由邊界條件： 在在 面上：面上：ra11SD n12021ln( / )ln( / )Ub ac b a 在在 面上：面上：rc21021ln( / )ln( / )Ub ac b c 32SrDe 在在 面上：面上：rb221()SrDDe2112021()ln( / )ln( / )Ub ac

7、b b 100CSSH dl =J dSB dS4.2 恒定磁場恒定磁場基本方程和邊界條件基本方程和邊界條件 基本方程與邊界條件基本方程與邊界條件H = J0B B HnnSeBBeHHJ1212()0() 114.3. 矢量磁位矢量磁位一、矢量磁位的引入一、矢量磁位的引入0B()0A 式中：式中： 稱為恒定磁場的矢量磁位。稱為恒定磁場的矢量磁位。( )A r 引入矢量磁位的意義：引入輔助函數，可通過間接求解方法求解引入矢量磁位的意義：引入輔助函數，可通過間接求解方法求解空間磁場分布，簡化電磁問題求解?？臻g磁場分布，簡化電磁問題求解。若：若： ，則對于，則對于 有：有：二、庫侖規(guī)范二、庫侖規(guī)范

8、( )BA r ( )( )( )A rA rr要求：要求： 與與 間滿足一一對應關系。間滿足一一對應關系。B( )A r( )( )( )( )A rA rrA rB 矢量位的任意性矢量位的任意性 矢量位矢量位A A不是唯一確定的，它加上任意一個標量不是唯一確定的，它加上任意一個標量 的梯度以后，仍的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即然表示同一個磁場，即( )BA r 12而：而： 2( )( )( )( )( )( )0A rA rrA rA rr 式中：式中： 為任意標量場。為任意標量場。 ( )r 上式表明：上式表明： 和和 為性質不同的兩種矢量場。這意味著滿為性質不同的兩種矢量場。這意

9、味著滿足足 的的 有無限多個。有無限多個。( )A r( )A r( )BA r ( )A r 必須引入新的限定條件，對必須引入新的限定條件，對 取值進行限定。這種新引入的限取值進行限定。這種新引入的限定條件稱為規(guī)范條件。定條件稱為規(guī)范條件。 ( )A r 在恒定磁場中，一般采用庫侖規(guī)范條件，即令在恒定磁場中，一般采用庫侖規(guī)范條件，即令 ( )0A r 注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件。注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件。 庫侖規(guī)范條件庫侖規(guī)范條件 由亥姆霍茲定理可知，矢量場的性質由其散度和旋度決定，對于由亥姆霍茲定理可知，矢量場的性質由其散度和旋度決定，對于矢量磁位函數矢量磁位函數A A，

10、其旋度值已確定（等于，其旋度值已確定（等于B B），必須要引入限定條件），必須要引入限定條件對其散度值進行限定。對其散度值進行限定。13 矢量磁位矢量磁位 的方向與電流的方向與電流 的方向相同。的方向相同。 引入矢量磁位可以大大簡化磁場的計算。引入矢量磁位可以大大簡化磁場的計算。AJ對矢量磁位的說明：對矢量磁位的說明：VJAdVCrr 4 三、矢量磁位的邊界條件三、矢量磁位的邊界條件nnSnSeBBeHHJeHHJB 1212121212()011()()AAA 由由14小結：求解磁場的方法小結：求解磁場的方法1 1、場源積分法（畢奧薩伐爾定律）、場源積分法（畢奧薩伐爾定律）2 2、非齊次方程

11、法（、非齊次方程法（ ) )2HJ 3 3、安培環(huán)路定律、安培環(huán)路定律4 4、通過矢量磁位間接求解、通過矢量磁位間接求解154.4 電感電感 在各向同性線性媒質中，穿過任意電流回路的磁通量與回路電在各向同性線性媒質中，穿過任意電流回路的磁通量與回路電流強度成正比。流強度成正比。 電感的定義電感的定義 電感定義：穿過某電流回路的磁通量與回路中電流強度之比稱電感定義：穿過某電流回路的磁通量與回路中電流強度之比稱為電感（電感系數），用為電感（電感系數），用L L表示，即：表示，即：LI 說明：若回路由說明：若回路由N N匝線圈繞成，則線圈的總磁通量為各單匝線圈匝線圈繞成，則線圈的總磁通量為各單匝線圈

12、磁通量之和，稱為磁鏈。若磁通量之和，稱為磁鏈。若N N匝線圈密繞，回路總磁通量為：匝線圈密繞，回路總磁通量為： N 為單匝線圈磁通量 自感自感 若某回路若某回路C C載流為載流為I I，其產生的磁場穿過回路，其產生的磁場穿過回路C C所形成的自感磁鏈所形成的自感磁鏈為為 ，則定義回路，則定義回路C C的自感系數為：的自感系數為：()LHI16 回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸和媒質磁導率有關，回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸和媒質磁導率有關，與回路中載流無關。與回路中載流無關。 若回路導線直徑較粗，則若回路導線直徑較粗，則ioLLL關于回路自感的討論關于回路自感的討論式中：式中： 為回

13、路內自感，即導體內部磁場與部分電流交鏈所形成電感為回路內自感，即導體內部磁場與部分電流交鏈所形成電感iL 為回路外自感，即導體外磁場與回路交鏈所形成電感為回路外自感，即導體外磁場與回路交鏈所形成電感oL 1I1C122C21 互感互感 兩個彼此靠近的回路兩個彼此靠近的回路C C1 1和和C C2 2，回路，回路C C1 1中中電流電流I I1 1產生的磁場與回路產生的磁場與回路C C2 2交鏈的磁通量交鏈的磁通量為為 ，則定義回路，則定義回路C C1 1對對C C2 2的互感系數為：的互感系數為：21211MI17同理定義回路同理定義回路C C2 2對對C C1 1的互感系數為：的互感系數為：

14、 諾伊曼公式諾伊曼公式12121212 11 MM II2212 11212SSM IBdSAdS212 112CM IAdl1111124rrCIAdl21112 112124 CCIM IdldlR21121122r4r CCdldlM諾伊曼公式諾伊曼公式諾伊曼公式給出了兩個簡單回路間互感的計算方法。諾伊曼公式給出了兩個簡單回路間互感的計算方法。12122MI18 從諾伊曼公式可知，兩個回路間互感相等，即：從諾伊曼公式可知，兩個回路間互感相等，即： 把電流看作集中于導線軸線把電流看作集中于導線軸線C1C1上，把計算磁通的回路取座導線上，把計算磁通的回路取座導線邊緣的回路邊緣的回路C2,C2

15、,則利用諾伊曼公式求解回路外自感：則利用諾伊曼公式求解回路外自感：1221MM關于諾伊曼公式的說明關于諾伊曼公式的說明21012124 CCdldlLR19分析：內導體為粗導體，故內導體存在內自感。分析：內導體為粗導體，故內導體存在內自感。因此同軸線自感由同軸線內自感和內外導體間互因此同軸線自感由同軸線內自感和內外導體間互感組成。感組成。解：設同軸線內導體載流為解：設同軸線內導體載流為I I，則由安培環(huán)路定律，知，則由安培環(huán)路定律，知020()2()2IreraaBIearbr ab例例 求同軸線單位長度的自感。設同軸線內徑為求同軸線單位長度的自感。設同軸線內徑為a a，外徑為，外徑為b b，

16、內外導體間為真空。導體磁導率為，內外導體間為真空。導體磁導率為0同軸線單位長度自感由內導體內自感和內外導體互感構成。即：同軸線單位長度自感由內導體內自感和內外導體互感構成。即：ioLLL20 a1dra 如圖，在內導體內取一長為單位長度，寬為如圖，在內導體內取一長為單位長度，寬為drdr的的矩形面元，則通過該面元的磁通為：矩形面元，則通過該面元的磁通為：022 iIrdB dSdra 令與令與 所交鏈的電流為所交鏈的電流為I I, ,可知可知id2222IIrIraa若將整個內導體電流看作若將整個內導體電流看作1 1匝，則與匝，則與 交鏈的電流交鏈的電流為為 d22()IrNIa匝 由磁鏈定義

17、，知與由磁鏈定義，知與 對應的磁鏈為：對應的磁鏈為：d3042iiIrdNddra 整個內導體單位長度的內磁鏈為整個內導體單位長度的內磁鏈為3004028aiiIrIddra 2108iiLI 故內導體單位長度的內自感為故內導體單位長度的內自感為 易求得，內外導體間單位長度磁鏈為：易求得，內外導體間單位長度磁鏈為：00ln22boaIIbdrra 0ln2oobLIa00ln82iobLLLa22例例4.4-1 4.4-1 求雙傳輸線單位長度自感。設導線半徑為求雙傳輸線單位長度自感。設導線半徑為a a，導線間距為導線間距為D D。(Da)(Da) yxDIIdxxDx分析：導線為細導線，故只需

18、考慮導體間分析：導線為細導線，故只需考慮導體間的互感。的互感。解：由安培環(huán)路定律，可以求得在導體間解：由安培環(huán)路定律，可以求得在導體間 磁感應強度分布：磁感應強度分布：12BBB00()()22 ()yyIIeexDx則導體間單位長度的磁通量為則導體間單位長度的磁通量為0lnln()2 D aD aaaBdxDxxI0lnIDaa0lnDaLIa234.5 磁場能量磁場能量 電流回路系統(tǒng)的磁場能量電流回路系統(tǒng)的磁場能量 N N個回路系統(tǒng)，個回路系統(tǒng)，i i回路自感為回路自感為 ，i i回路與回路與j j回路間互感為回路間互感為 ，i i回回路電流為路電流為 ，則磁回路系統(tǒng)的磁場能量為，則磁回路系統(tǒng)的磁場能量為: :iiLijL1112NNmijijiiWL I I 若回路為單回路系統(tǒng)，則若回路為單回路系統(tǒng)，則212mijWL I 若回路為雙回路系統(tǒng)，則若回路為雙回路系統(tǒng)，則2211 112 1 221 2 122211112222mWL IL I IL I IL I2211 112 1 22221122L I