例談中考數(shù)學(xué)能力考查

1、. .jz*例談中考數(shù)學(xué)能力考查南安國光初級中學(xué)吳文獻聯(lián)系電話：縱觀近幾年的泉州市數(shù)學(xué)中考試題和每年的各區(qū)市數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)綜合題的重點都放在高中繼續(xù)學(xué)習的函數(shù)問題上。此類題在中考中往往有起點不高、但要求較全面的特點。常常以數(shù)與形、代數(shù)計算與幾何證明、相似三角形和四邊形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角函數(shù)相結(jié)合的綜合性試題。同時考查學(xué)生初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運動變化等數(shù)學(xué)思想。此類題融入了動態(tài)幾何的變和不變，對給定的圖形施行平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。這些題目的特

2、點是：注重考查學(xué)生的實驗、猜想、證明的探索能力。解題靈活多變，能夠考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有一定難度，但上手還是容易的。此類題還常常會以幾個小問題的形式出現(xiàn)，相當于幾個臺階，這種恰當?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生發(fā)揮正常水平。(一)函數(shù)型綜合題：壓軸題的靈魂是數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的精髓是函數(shù)，函數(shù)的核心是運動變化。這類題型是先給定直角坐標系和幾何圖形，求(已知 )函數(shù)的解析式 (即求解前已知函數(shù)的類型)，然后進行圖形的研究，求點的坐標或研究圖形的某些性質(zhì)。初中已知函數(shù)有一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))和常值函數(shù)，它們所對應(yīng)的圖像是直線；反比例函數(shù)，它所對應(yīng)的圖像是雙曲線；二次函數(shù)，它所

3、對應(yīng)的圖像是拋物線。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法(圖形法 )和代數(shù)法 (解析法 )。例 1（2011 四川涼山）二次函數(shù)2yaxbxc的圖象如圖所示，反比例函數(shù)ayx與正比例函數(shù)ybx在同一坐標系內(nèi)的大致圖像是（）. .jz*【答案】 b。【分析】本題把二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)融合在一起。主要考察數(shù)形結(jié)合思想?！窘忸}思路】 由二次函數(shù)2yaxbxc的圖象可知， 圖象開口向下，0a；對稱軸在y軸左側(cè)，02ba，由0a ，知0b。根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，當0a時，函數(shù)ayx圖象在二、四象限；根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，當

4、0b時，函數(shù)ybx圖象經(jīng)過二、四象限。故選b。變式題 1 （2010 龍巖） 對于反比例函數(shù)kyx，當 x0 時， y 隨 x 的增大而增大， 則二次函數(shù)2ykxkx的大致圖象是 （）例 2（2011 廣西桂林）已知二次函數(shù)21342yxx的圖象如圖（1）求它的對稱軸與x軸交點 d 的坐標；（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為a、b、c 三點，若acb=90 ，求此時拋物線的解析式；. .jz*（3）設(shè)（ 2）中平移后的拋物線的頂點為m，以 ab 為直徑， d 為圓心作 d，試判斷直線cm 與d的位置關(guān)系，并說明理由【分析】該題通過平移拋物線，把觀察、

5、探究、計算融合在一起，將二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等初中數(shù)學(xué)的主干知識融為一體。蘊含著數(shù)形結(jié)合思想、化歸的思想、方程與函數(shù)的思想、運動變化等數(shù)學(xué)思想?！窘忸}思路】 （ 1）根據(jù)對稱軸公式求出2bxa，求出即可。（2）用待定系數(shù)法設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點坐標，再利用勾股定理求出即可。（3）由拋物線的解析式213442yxx可得， a，b，c，m 各點的坐標，再利用勾股定理逆定理求出 cdcm，即可證明?！敬鸢浮拷猓?（ 1）由21342yxx，得32bxa，d（3，0） 。. .j

6、z*（2）如圖 1，設(shè)平移后的拋物線的解析式為21342yxxk，則 c（0，k） ，oc=k，令y=0，即213042xxk，法一：得12349 , 349xkxk。a349 , 0k，b349 , 0k，22ab4933491636kkk，2222222acbc349 +349 2836kkkkkk。ac2+bc2=ab2，即：21636836kkk，得k1=4，k2=0（舍去），拋物線的解析式為213442yxx。法二：可證aoccob，得2ocoa ob，即216,4kk（3）如圖 2，由拋物線的解析式213442yxx可得，a（ 2，0） ，b（8， 0） ，c（ 4，0） ， d（

7、3，0） ， m253 , 4，過 c、m 作直線，連接cd，過 m 作 mh 垂直 y 軸于 h，則 mh=3，2225625dm416，. .jz*2222225225cmmhch34416。在 rtcod中，22cd345ad，點 c在d 上。2225625dm416，dm2=cm2+cd2。 cdm是直角三角形。cdcm。法二：可證codmhc，得 cdcm。直線 cm 與d 相切。變式題 2（ 2011 湖北荊州）如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形oabc與cdef的邊oc、oa所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（o、c、f三點在 x 軸正半軸上） .若p過a、b、e三點 (圓心

8、在x軸上 )，拋物線cbxxy241經(jīng)過a、c兩點，與x軸的另一交點為g，m是fg的中點，正方形cdef的面積為1.（1）求b點坐標；（2）求證：me是p的切線；（3）設(shè)直線ac與拋物線對稱軸交于n，q點是此對稱軸上不與n點重合的一動點，求acq周長的最小值；若fqt，sacqs，直接寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式.圖乙（備用圖）. .jz*dcba412 16xyooyx161248816xyo416xyo8888(二)幾何型綜合題：這類題型是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進行計算，然后有動點(或動線段 )運動，對應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化， 求對應(yīng)的 (未知 )函數(shù)的解析式(即在沒有求出之前，不知

9、道函數(shù)解析式的形式是什么)和求函數(shù)的定義域，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進行探索研究，探索研究的一般類型有：在什么條件下三角形是等腰三角形、直角三角形； 四邊形是菱形、梯形等； 探索兩個三角形滿足什么條件相似；探究線段之間的位置關(guān)系等；探索面積之間滿足一定關(guān)系求 x 的值等； 直線與圓的相切時求自變量的值等。求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系(即列出含有x、y 的方程 )，變形寫成 yf(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x 和 y 的方程 )和復(fù)合法 (列出含有x 和 y 和第三個變量的方程，然后求出第三個變量和x 之間的函數(shù)關(guān)系式，代入消去第三個變量，得到y(tǒng)f(x)

10、的形式 )等。找等量關(guān)系的途徑主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等 求定義域主要是尋找圖形的特殊位置(極限位置 )和根據(jù)解析式求解。而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x 的值。例3（2011 四川宜賓）如圖，正方形abcd 的邊長為4， p 為正方形邊上一動點，運動路線是adc ba,設(shè) p點經(jīng)過的路程為x，以點 a、p、d 為頂點的三角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的是（）【答案】 b。pdcba. .jz*【分析】該題主要考察動點問題的函數(shù)圖象?！窘忸}思路】當點p 由點 a向點 d 運動時， y 的

11、值為 0；當點 p 在 dc 山運動時， y隨著 x 的增大而增大；當點 p 在 cb 上運動時， y 不變；當點p 在 ca上運動時， y 隨 x 的增大而減小。故選b。變式題 3（2011 安徽）如圖2，點 p 是菱形 abcd的對角線ac 上的一個動點，過點 p 垂直于 ac 的直線交菱形abcd的邊于 m、 n 兩點設(shè)，amn 的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致形狀是（）例 4（ 2011 湖南長沙）如圖，在平面直角坐標系中，已知點a（0，2） ，點 p是x軸上一動點，以線段ap 為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線apq。當點 p運動到原點o 處時，記 q 的位置為 b。（1）求點 b的坐標；（

12、2）求證：當點 p 在x軸上運動 （p 不與 o 重合）時，abq為定值；（3）是否存在點 p，使得以 a、o、q、b為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出p點的坐標；若不存在，請說明理由?！痉治觥勘绢}通過“ 點動 ”帶來 “形動 ”，把觀察、操作、探究、計算融合在一起，巧妙將等邊三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形的判定等初中數(shù)學(xué)的主干知識綜合在一起。蘊含著數(shù)形結(jié)合思想、化歸的思想、分類討論思想、運動變化等數(shù)學(xué)思想。【解題思路】 （ 1）根據(jù)題意作輔助線過點b 作 bcy 軸于點 c，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出點b. .jz*的坐標。（2）根據(jù) paq oab

13、=60 ，可知 pao=qab，得出 apo aqb總成立，得出當點p 在 x 軸上運動（ p不與 q重合）時， abq為定值 90 。（3）根據(jù)點p 在x的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果。【答案】解： （ 1）過點 b作 bcy 軸于點 c，a(0,2)，aob為等邊三角形，ab=ob=2，bao=60 ，bc=3，oc=ac=1 。即 b（3 1，） 。（2）不失一般性，當點p在x軸上運動（ p不與 o重合）時， paq=oab=60 ， pao=qab，在apo和aqb中， ap=aq ，pao=qab，ao=ab ， apo aqb總成立。 abq=a

14、op=90 總成立。當點 p在 x 軸上運動（ p不與 q重合）時， abq為定值 90 。（3）由（ 2）可知，點q總在過點b 且與 ab垂直的直線上，ao與 bq不平行。當點 p在x軸負半軸上時，點q在點 b的下方，此時，若aboq，四邊形aoqb即是梯形，當 aboq時， bqo=90 ， boq= abo=60 。又 ob=oa=2 ，可求得bq=3。. .jz*由（ 2）可知， apo aqb，op=bq=3，此時 p的坐標為（3 0，） 。當點 p在x軸正半軸上時，點q在點 b的上方，此時，若aqob，四邊形aoqb即是梯形，當 aqob時， abq=90 ，qab= abo=60

15、 。又 ab= 2，可求得bq=2 3，由（ 2）可知， apo aqb，op=bq=2 3，此時 p的坐標為（2 3 0，） 。綜上所述， p 的坐標為（3 0，）或（2 3 0，） 。變式題 4（2011 江蘇泰州）在平面直角坐標系xoy中，邊長為a（a為大于 0 的常數(shù)）的正方形abcd的對角線ac、bd 相交于點p，頂點 a 在 x 軸正半軸上運動，頂點 b在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點o） ，頂點 c、d 都在第一象限。（1）當 bao45 時，求點p 的坐標；（2）求證：無論點a 在 x 軸正半軸上、點b 在y軸正半軸上怎樣運動，點 p都在 aob的平分

16、線上；（3）設(shè)點 p到 x 軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由。. .jz*近幾年的中考數(shù)學(xué)綜合題都重視知識間的聯(lián)系與整合，在知識交匯處，設(shè)置多層次的開放性、觀察操作、閱讀理解、合理猜想、推理探究，考查數(shù)學(xué)思考和解決問題的能力。這啟示我們在進行綜合思維的時候要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，方程函數(shù)是工具，計算推理得嚴謹，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。附變式題答案：1. 【答案】 b 2. 【答案】解： （1）如圖，連接pe 、pb，設(shè) pcn，正方形 cdef面積為 1，cdcf1。根據(jù)圓和正方形的對稱性知oppcn，bc2pc2n。而 pbpe，22222

17、2pb =bc +pc45nnn，2222pe =pf +ef11n，2251)1(nn。解得1n(21n舍去 ) 。bcoc2。b點坐標為(2,2)。（2）如圖，由（1）知 a(0,2)，c(2,0)，a，c在拋物線上，2412bxxy，23b。. .jz*拋物線的解析式為223412xxy，即41)3(412xy。拋物線的對稱軸為3x即 ef所在直線。c 與 g關(guān)于直線3x對稱， cffg 1、fm12fg 12。在 rtpef與 rtemf中，pf2ef，ef11:2fm2，pfefeffm， pef emf 。 epf fem， pempef+ fempef+ epf 90 。me 與

18、p相切。（3）如圖，延長ab 交拋物線于a ，連接 ca 交對稱軸3x于 q，連接 aq，則有 aqaq，acq周長的最小值為（ac+ a c）的長。a 與 a 關(guān)于直線3x對稱， a(0,2)，a(6,2)。ac522)26(22。而 ac=222222， acq周長的最小值為2 22 5。當 q點在 f點上方時，1st；當 q 點在線段 fn上時，1st；當 q 點在 n 點下方時，1st。（當 q點在 f點上方時，如上圖，. .jz*s=saofqs aocsqcf=12（t+2） 312 2 212 1t=t1；當 q 點在線段 fn上時，如右圖，s=sahqsaoc socqh=12（t+2） 312 2 212 （2 3）t=1t；當 q 點在 n 點下方時，如右圖，s=saqisaifcscfq=12（t+2） 312 （13） 212 1t=t1。 ）3. 【答案】 c。4. 【答案】解： （1）當 bao45 時，四邊形oapb為正方形。oaoba cos45 =22a。p 點坐標為（22a，22a） 。（2）作 de x 軸于 e,pf x 軸于 f, 設(shè) a點坐標為（m， 0） ，b點坐標為（ 0， n） ， baodaebao abo