最新蘇教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第十二章二次根式知識(shí)點(diǎn)4頁(yè)

1、 第十二章 二次根式一、 二次根式的概念一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)。 正確理解二次根式的概念，要把握以下五點(diǎn)：（1） 二次根式的概念是從形式上界定的，必須含有二次根號(hào)“”，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們一般省略根指數(shù)2，寫作“”。如可以寫作。（2） 二次根式中的被開(kāi)方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子。（3） 式子表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a0，0。其中a0是有意義的前提條件。（4） 在具體問(wèn)題中，如果已知二次根式，就意味著給出了a0這一隱含條件。（5） 形如b（a0）的式子也是二次根式，b與是相乘的關(guān)系。要注意當(dāng)b是分?jǐn)?shù)時(shí)不能寫成帶分?jǐn)?shù)，例如

2、可寫成，但不能寫成2 。二、二次根式的性質(zhì)：二次根式的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言應(yīng)用與拓展注意（a0）的性質(zhì)0（a0）一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)。（1）二次根式的非負(fù)性（0，a0）應(yīng)用較多，如：+=0，則a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如+，則x的取值范圍是x-a0，a-x0，解得x=a。（2）具有非負(fù)性的性質(zhì)：a20；a0；0（a0）（3）若a2+b+=0，則a=0，b=0，c=0，即若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0。（a0）的最小值為0。（）2（a0）的性質(zhì)（）2 = a（a0）一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1；

3、逆用公式：若a0，則a=（）2如：2=（）2，=（）2逆用公式可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)的性質(zhì)=a=a（a0）或=a= - a（a0）一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。（1）正用公式：=3-=3- （2）逆用公式：3=3化簡(jiǎn)形如的式子時(shí)，先轉(zhuǎn)化為a形式，再根據(jù)a的符號(hào)去掉絕對(duì)值號(hào)。（）2（a0）與的區(qū)別與聯(lián)系：（）2 區(qū) 別表示的意義不同表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示a2的算術(shù)平方根取值范圍不同a0a為任意實(shí)數(shù)讀法不同讀作“根號(hào)a的平方”或“a的算術(shù)平方根的平方”讀作“根號(hào)a2”或“a的平方的算術(shù)平方根”被開(kāi)方數(shù)不同被開(kāi)方數(shù)是a被開(kāi)方數(shù)

4、是a2運(yùn)算順序不同先開(kāi)放后平方先平方后開(kāi)方運(yùn)算結(jié)果，運(yùn)算依據(jù)不同（）2 =a，依據(jù)平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算得到依據(jù)算術(shù)平方根的定義得到作用不同（）2 = a（a0），正向運(yùn)用可化簡(jiǎn)二次根式，逆向運(yùn)用可以將任意一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式=a，正向運(yùn)用可以將根號(hào)內(nèi)的非負(fù)因式取算術(shù)平方根移到根號(hào)外，逆用運(yùn)用可以將根號(hào)外的非負(fù)因式平方后移到根號(hào)內(nèi)聯(lián) 系含有兩種相同的運(yùn)算，都要進(jìn)行平方與開(kāi)方結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；a0時(shí)，（）2=三、代數(shù)式用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫代數(shù)式。例：3，x，x+y，（x0），-ab，（t0，x3都是代數(shù)式注（1）單獨(dú)

5、一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式；（2）代數(shù)式中不能含有關(guān)系符號(hào)（，=等）（1） 將兩個(gè)代數(shù)式用關(guān)系符號(hào)（，=等）連接起來(lái)的式子叫關(guān)系式，方程和不等式都是關(guān)系式。如2x+33x-5是關(guān)系式。列代數(shù)式的常用方法：（1） 直接法：根據(jù)問(wèn)題的語(yǔ)言敘述直接寫出代數(shù)式。（2） 公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式。（3） 探究規(guī)律法：將蘊(yùn)含在一組數(shù)或一組圖形中的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)。四、二次根式的乘除1、 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2、 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則

6、連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。五、二次根式的乘法法則=（a0，b0）即：二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變（1） 進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算時(shí)，一定不能忽略其被開(kāi)方數(shù)a，b均為非負(fù)數(shù)這一條件。（2） 推廣=（a0，b0，c0）ac=ac乘法交換律和結(jié)合律在二次根式的乘法中任然可應(yīng)用。練習(xí)：（1）；（2）；（3）4(4)6（-2）六、二次根式乘法法則的逆用=（a0，b0）即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積利用這個(gè)性質(zhì)可以把二次根式化簡(jiǎn)，在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因式分解或因數(shù)分解，然后再將能開(kāi)得盡方的因式或因數(shù)開(kāi)方后移到根號(hào)外。注：（1）公式中的a，b可以是數(shù)，也

7、可以是代數(shù)式，但必須滿足a0，b0，實(shí)際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要ab0即可，如。（2）在本章中如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：=（a0，b0，c0，d0）三、二次根式的除法法則=（a0，b0）即：二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注：（1）a必須是非負(fù)數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負(fù)數(shù)，雖然0，有意義，但，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義；若b=0，則無(wú)意義。（2）如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，如必須先化成，以免出現(xiàn)=×這樣的錯(cuò)誤。（3）在二次根式的計(jì)算中，最后結(jié)果應(yīng)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，同時(shí)分母中不含二次根式。推廣

8、：（m）÷（n）=（m÷n）×（÷），其中a0，b0，n0。七、二次根式除法法則的逆用=（a0，b0）即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a0，b0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要0即可。例如計(jì)算，不能寫為=，而應(yīng)寫為=。利用這個(gè)公式，同樣可以達(dá)到化簡(jiǎn)二次根式的目的，在化簡(jiǎn)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)（或分式）的二次根式時(shí)，先將其化為（a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)囊蚴?，化去分母中的根?hào)即可。當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先把它化成假分?jǐn)?shù)

9、。八、最簡(jiǎn)二次根式的概念滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的概念我們可作如下解釋：（1）被開(kāi)方數(shù)中不含分母，因此被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都是1。拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式），化去分母中的根號(hào)。分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)

10、便為宜。常用的有理化因式有：與；與；與；+與-；a+c與a-c等。九、二次根式的加減1、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，例如3ab與-4ab2、合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)和，且字母部分不變。3、整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2 5、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（a+b）（m+

11、n）=am+an+bm+bn十、可以合并的二次根式將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并。合并的方法與合并同類項(xiàng)類似，把括號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律，如m+n=（m+n）練習(xí)：化簡(jiǎn)下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1）；（2）-；（3）；（4）（a0，b0）；（5）b；（6）2； （7）（a0，b0）； （8）3（a0，b0）；十一、二次根式的加減二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：（1）將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次

12、根式；（2）找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；（3）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變，可簡(jiǎn)記為：化簡(jiǎn)判斷合并。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下：運(yùn)算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)系數(shù)相乘除系數(shù)相加減被開(kāi)方數(shù)被開(kāi)方數(shù)相乘除被開(kāi)方數(shù)不變化簡(jiǎn)結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式先化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式注：（1）化成最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)不同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分；（2）整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號(hào)法則、添括號(hào)法則在二次根式運(yùn)算中仍然適用；（3）根號(hào)外的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù)的形式。練習(xí)：計(jì)算：（1）+6 - 2x