高中數(shù)學(xué)空間幾何體知識點總結(jié)(20210908144517)

1、空 間 幾 何 體 知 識 點 總 結(jié)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1 .柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征由假設(shè)干個平面多邊形圍成的幾何體稱之為多面體。圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個 面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的圭寸閉幾何體稱之為旋轉(zhuǎn)體，其中定直線稱為旋轉(zhuǎn) 體的軸。(1 )柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平 行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面 叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共

2、頂點叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱注：相關(guān)棱柱幾何體系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的關(guān)系：斜棱柱棱柱.W '直棱柱四棱柱痕面為平行四邊寵平行天面加側(cè)棱垂亙于鹿両直平行六面悴底面為瞪瞪棱柱的性質(zhì):Ifc右體|底両為正方形.(1E四械柱|側(cè)櫃與底面越氏相管 正片阿 側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形; 兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形; 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形； 直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形。圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸 叫做圓柱的軸；垂直于軸的

3、邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都 叫做圓柱側(cè)面的母線。圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面軸截面是全等的矩形。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；2 錐棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做 正棱錐。注：棱錐的性質(zhì)： 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似

4、比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比； 正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形； 正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構(gòu) 成四個直角三角形。圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫 做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐 的側(cè)面。*B 盍面圓錐的性質(zhì)： 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比; 軸截面是等腰三角形；棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。(3 )臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐

5、，底面和截面之間的局部叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分 別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點。正棱臺的性質(zhì)： 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形； 正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形； 棱臺經(jīng)常補成棱錐研究。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的局部叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。圓臺的性質(zhì): 圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓; 圓臺的軸截面是等腰梯形； 圓臺經(jīng)常補成圓錐來研究。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。(4 )球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓

6、心 叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決。(5)組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。2. 空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。具體包括：(1) 正視圖：物體前前方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；(2) 側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；(3) 俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；3. 空間幾何體的直觀圖(1)斜二測畫法建立直角坐標系，在水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX OY建立直角坐標

7、系;''''illc 畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上平面上畫出對應(yīng)的0X ,0 Y ,使 X0Y =45° 或135°,它們確定的平面表示水平平面； 畫對應(yīng)圖形，在圖形平行于 X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 X軸，且長度保持不變； 在已知圖形平行于 Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于丫軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線虛線。結(jié)論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍。4注：解決兩種常見的題型時應(yīng)注意1由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖2由幾何體的直觀圖畫三視圖

8、時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。2平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點。4. 知識歸納及拓展1幾種常凸多面體間的關(guān)系亍人頁悚卜I平行六適卄2 些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖形定義有兩個面互相平 行，而其余每相 需兩個面的交線 都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面杲正多辺形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形疋存丁 r 而6*1而與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形半仃丁丿氐E irJStOO的形狀名稱棱

9、錐正陵錐樓臺正棱臺圖形定天有一個面昱塞 邊形，其余各面是有一個公共頂點的三埔形的多面體丿氐面是正塞邊 形，且頂點在底 面的射影是底 面的射影是廊 面和截面之間 的局部用一個平行于 棱錐底面的平面去截棱錐，&面和截面之間的局部由正J麥錐截得的棱臺側(cè)棱相交于一點但不一左相等相交于一點且相等延長銭父于點相等且延長銭交一點惻面的形狀三幫形全等的等腰三帚形梯形全等的等腰梯形對角而的形狀三角形等腰三誹形梯形礬腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的與底面相彳以的正蟲邊形與底面相似的劈邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中北弓1®棱與底面、側(cè) 面與底面、相鄰 兩側(cè)面所成帝 都相等兩鹿中心連

10、線 艮卩高,側(cè)橫與底 面亠側(cè)面與底 而、相鄰兩側(cè)面 所成角都相等、空間幾何體的外表積和體積1 .多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積5書全面祝5魚體 4R (v)棱柱直截面周長XIS廠？ s宦S * h=S 亦 hckS亍h棱椎各側(cè)面和之和S oi+S «-S h3正棱錐-ch12棱臺按臺各18面面積之和S cr+S ±T-S 空lh(S jc+S t«+3亶 s下直正棱臺(c+c )h2表中S表喬面積，c1 、匚分別表不上、"F底面周長，h表斜高，If表不斜高，1表不側(cè)棱長.2 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式園柱19%El臺球3 :21113Lrlx Cr 七：1S全兀 T (1+r)x (n+ri)l+ trl+rS)4玄苦Vzr3h (即 m")k /h3y XJ-XK'J表中L h分別表示母綣高,r表示圓柱、融£與球冠的底半徑,環(huán)口分別表示圓臺 上下底面半徑'R表嚇半徑R附注：1兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離