結構力學-單自由度體系

1、單自由度體系建立振動方程重重 點：建立方程點：建立方程難難 點：達朗貝原理建立方程點：達朗貝原理建立方程 柔度系數、剛度系數柔度系數、剛度系數單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 自由振動自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。靜平衡位置靜平衡位置m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y自由振動產生原因自由振動產生原因：體系在初始時刻（：體系在初始時刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。受到外界的干擾。研究單自由度體系的自由振動重要性在于：研究單自由度體系的自由振動重要性在于：1 1、它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。、它代表

2、了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。2 2、它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。、它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。自由振動反映了體系的固有動力特性。自由振動反映了體系的固有動力特性。應用條件：微幅振動（線性微分方程）應用條件：微幅振動（線性微分方程） P(t) y(t) EI1. 阻尼力阻尼力 稱為粘滯阻尼力，阻尼力與運動方向相反稱為粘滯阻尼力，阻尼力與運動方向相反 )(tyCFD一切引起振動衰減的因素均稱為阻尼，包括一切引起振動衰減的因素均稱為阻尼，包括: :材料的內摩擦引起的機械能轉化為熱能消失材料的內摩擦引起的機械能轉化為熱能消失周圍介質對結構的阻尼（如，

3、空氣的阻力）周圍介質對結構的阻尼（如，空氣的阻力）節(jié)點，構件與支座連接之間的摩擦阻力節(jié)點，構件與支座連接之間的摩擦阻力通過基礎散失的能量通過基礎散失的能量 振動方程的建立：振動方程的建立：考慮圖示單質點的振動過程。桿考慮圖示單質點的振動過程。桿件的剛度為件的剛度為EI，質點的質量為，質點的質量為m, 時刻時刻 t 質點的位移質點的位移y(t) 阻尼器簡介阻尼器簡介位移感應位移感應 電流（電壓）變化電流（電壓）變化 液體粘性變化液體粘性變化 磁流變阻尼器磁流變阻尼器 P線圈 P普通油壓阻尼器普通油壓阻尼器 應用實例應用實例構造說明構造說明2. 彈性恢復力彈性恢復力 FE= - K y(t) ，K

4、為側移剛度系數，彈性恢復力與運動方向相反為側移剛度系數，彈性恢復力與運動方向相反 3慣性力慣性力 FI= ，為質點運動加速度，慣性力與運，為質點運動加速度，慣性力與運動方向相反動方向相反 )(tym 4動力荷載動力荷載 P(t)，直接作用在質點上，它與質點運動方向相同，直接作用在質點上，它與質點運動方向相同 5振動方程的建立振動方程的建立 FDFEFIP(t)mFD+ FE+ FI+ P(t) = 0 P(t) y(t) EI例題例題1:已知，阻尼系數為已知，阻尼系數為C3112aEIK aEIK42ADEFGCEI=mK1K1K2試建立體系的運動微分方程試建立體系的運動微分方程解：解：1）動

5、力自由度為）動力自由度為1， 設設E處的豎向位移是處的豎向位移是y(t) ADEFGCEI=mK1K1K2y(t)ADEFGCEI=mK1K1K2ADEFGCEI=mK1K1K2ADEFGCEI=mK1K1K2EFGxy(t)RK1y(t)/2dxm2)考慮考慮EFG部分的受力部分的受力 LtyKLR2)(210)2)(20 xLtxydxmL由由MG=0 得：得： ADEFGCEI=mK1K1K23）考慮）考慮ABDE部分的受力部分的受力 由由MA=0 得得 xC /3)(ty 2K1y(t)/3y(t)dxmADER0)3)(3)(3)(23)(233021 xxLtydxmLtyKLty

6、CLtyKLRL由以上兩式消去由以上兩式消去R后整理得后整理得 0)(79)()(1534tEIytyCLtymL m.yj.yd靜平衡位置質量質量m在任一時刻的位移在任一時刻的位移 y(t)=yj+ydk力學模型力學模型.ydmmWS(t)I(t)+重力：重力： W彈性力：彈性力： )()()(djyyktkytS恒與位移反向恒與位移反向慣性力：慣性力：)()()(djyymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)其中其中 kyj=W 及0jy 上式可以簡化為上式可以簡化為0ddkyym 或或).(.0bkyym 注意：注意：振動方程中的振動方程中的 僅僅是動力作用下產生的，不包括

7、靜位移?？烧J僅僅是動力作用下產生的，不包括靜位移?？烧J為為 是從靜平衡位置算起的。以后，我們也只計算是從靜平衡位置算起的。以后，我們也只計算動位移動位移 ty ty例題例題2 2 試建立圖示結構的振動方程，質點的質量試建立圖示結構的振動方程，質點的質量m , EI=m , EI=常數常數 LLm tym tKym ty原理：任意時刻受力平衡原理：任意時刻受力平衡 0tKytym KK16i/L6i/L324LEIK K練習題練習題1解解:振動模態(tài)振動模態(tài)mEAmEILLL解解:振動模態(tài)振動模態(tài)mEAmEIBy(t)xdx022220 xLxydxmLyLEALymL 0BM建立振動方程，阻尼建

8、立振動方程，阻尼器的阻尼系數為器的阻尼系數為C C 練習題練習題2 EI1= mCPsint EIEI振動模態(tài)振動模態(tài) EI1= mLLCPsint EIEI EI1= mCPsint EIEI振動模態(tài)振動模態(tài)y(t)K1K324LEIK tPKyycymsin Li 6Li6Li6ym ycKytPsin例題例題3試建立圖示結構的振動方程，質點的質量都是試建立圖示結構的振動方程，質點的質量都是m , EI=常數常數 LLPsint 質點受力質點受力：1. 慣性力，慣性力，2. 剛架的彈性恢復力，剛架的彈性恢復力，3. 動荷載。動荷載。1. 慣性力慣性力)(2tym 負號表示方向向左負號表示方

9、向向左建立方程的依據：質點在任意時刻受力平衡建立方程的依據：質點在任意時刻受力平衡2. 2. 剛架的彈性恢復力剛架的彈性恢復力意義：意義：質點單位側移需施加的力質點單位側移需施加的力-側移剛度側移剛度K11 K要求要求K, K, 就要取水平力的平衡就要取水平力的平衡y y 變形圖ABCDVBAVDCK因而，就要確定因而，就要確定2 2個柱的剪力，這就個柱的剪力，這就要作出結構在側移為要作出結構在側移為1 1 時的彎矩圖。時的彎矩圖。支座水平移動單位位移下支座水平移動單位位移下引起的柱間剪力引起的柱間剪力 = K/2= K/2k/21等價問題等價問題1K問題問題=1取半結構取半結構即，即，“支座

10、移動支座移動”結構內力的計算問結構內力的計算問題題1R6i/L6i/L4i2i6ir等價問題等價問題1位移法方程：位移法方程：r11+ R = 0 ，解得，解得 LB53VBAK/23584LEIK 24i/5L18i/5LM圖11R6i/L6i/L4i2i6ir柔度法求柔度法求 K 1 求剛架在求剛架在P=1下產生的位移，再取倒數下產生的位移，再取倒數1/2用力法作出彎矩圖 4L/143L/14P=1LEIL8453EILK845133. 振動方程振動方程 tPtyLEItymsin)(584)(23 Psint LLL/2L/2例題例題4 : EI =常數，質點常數，質點質量為質量為m,建

11、立結構的振建立結構的振動方程動方程 解：一、用柔度法解：一、用柔度法 依據依據：質點位移：質點位移 y(t)，由質點慣性，由質點慣性力與動力荷載共同產生。力與動力荷載共同產生。1. 求慣性力為求慣性力為1時質點的位移時質點的位移1 P=1問題問題求位移的方法：求位移的方法：用位移法求位移用位移法求位移1. 用變形體系虛功原理用變形體系虛功原理 21sintPtymty y(t) Psint 用位移法求位移用位移法求位移 MP圖 1M2MR1P R2P 1 r11 r21 r12 r22R1P=0, R2P= -1 , r11=10 i , r21= r12= 3i/L r22=18i/L2 解

12、位移法方程得：解位移法方程得：1=10L3/171EI 2. 求動力荷載為求動力荷載為1時在質點處產生的位移時在質點處產生的位移21MP圖 1M2MR1P R2P 1 r11 r21 r12 r22用位移法用位移法解位移法方程得：解位移法方程得：2= 37L3/1368EI 3. 質點慣性力與動力荷載共同產生的位移質點慣性力與動力荷載共同產生的位移 y(t) 為：為： 21sintPtymty mtPtymLEIty80sin37101173 二、用剛度法二、用剛度法Psint LLL/2L/2建立方程的依據：建立方程的依據：時刻時刻t t 結構體系受力平衡結構體系受力平衡注意：動荷載不作用在

13、質點上，注意：動荷載不作用在質點上，怎么考慮受力平衡？怎么考慮受力平衡？方法一、方法一、1M2MR2P MP圖 R1P Psint r11 r21 r12 r22R1P= -PLsint/8 , R2P= - Psint/2 , r11=10 i , r21= r12= 3i/Lr22=18i/L2 ym VAEVACVBDM圖圖 R1P ABCDER1P= -PLsint/8 , R2P= - Psint/2 +my/, r11=10 i , r21= r12= 3i/L，r22=18i/L2 消去附加約束，再考慮慣性力。當結點轉角為消去附加約束，再考慮慣性力。當結點轉角為，水平，水平位移為

14、位移為y y（t t）時）時MP圖 1M2MR1P R2P Psint r11 r21 r12 r22方法二、方法二、FI 02sin08sin22211211tPtymtyrrtPLtyrr mtPtymLEIty80sin37101173 MP圖 1M2MR1P R2P Psint r11 r21 r12 r22FI單自由度振動模型單自由度振動模型 tPmKC小結：小結：練習題練習題3LLmEILLmEIym kyK 為梁提供的彈性恢復力系數為梁提供的彈性恢復力系數-剛度系數剛度系數振動方程：振動方程：0 kyym K1K的意義K1KRLi 6Li 6LiR6rir5i 4i 2iKV左V右065LiiL56Li 5/18Li 5/63524LEIK LLmEIEAEIEAEI共同形式的振動方程：共同形式的振動方程：0 kyym EAEILLmEIEAEI桿長都是L三