常用的巧算和速算方法

1、精品文檔常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“ 順逆相加 ” 算式可求出若干個連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國）小時候就做過的“ 百數(shù)求和 ” 題，可以計算為1+2+99+100所以， 1 2 3 4 99100=101× 100÷ 2=5050?！?3+5+7+ 97+99=？3+5 7 97+99=（ 993） × 49÷ 2= 2499 。這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的張丘建算經(jīng)。張丘建利用這一思路巧妙地解答了 “ 有女不善織 ” 這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”題目的意

2、思是： 有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5 尺布，最后一天織了1 尺，一共織了30 天。問她一共織了多少布？張丘建在算經(jīng)上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄?答曰：二匹一丈” 。這一解法，用現(xiàn)代的算式表達，就是1 匹 =4 丈， 1 丈=10 尺，90 尺 =9 丈=2 匹 1 丈。（答略）張丘建這一解法的思路， 據(jù)推測為：如果把這婦女從第一天直到第 30 天所織的布都加起來，算式就是5 1在這一算式中， 每一個往后加的加數(shù)， 都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)， 要遞減一個相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會是個整數(shù)。若把

3、這個式子反過來，則算式便是1+ 5此時，每一個往后的加數(shù)， 就都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)， 要遞增一個相同的數(shù)。 同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個整數(shù)。假若把上面這兩個式子相加，并在相加時，利用“ 對應(yīng)的數(shù)相加和會相等”。11歡迎下載精品文檔這一特點，那么，就會出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是6× 30=180（尺）但這婦女用30 天織的布沒有180 尺，而只有 180 尺布的一半。 所以， 這婦女 30 天織的布是180÷ 2=90（尺）可見，這種解法的確是簡單、巧妙和饒有趣味的?！痉纸M計算】一些看似很難計算的題目，采用“ 分組計算 ” 的方法，往往可以使它很快地

4、解答出來。例如：求 1 到 10 億這 10 億個自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求 “ 10 億個自然數(shù)的數(shù)字之和” ，而不是 “ 10 億個自然數(shù)之和”。什么是 “ 數(shù)字之和 ”？例如，求1 到 12 這 12 個自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是1 2 3 4 5+6+7 8+9+10+1+1+1+1 2=5l 。顯然， 10 億個自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個一個地相加，那是極麻煩，也極費時間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10 億個自然數(shù)的前面添上一個“ 0” ，改變數(shù)字的個數(shù)，但不會改變計算的結(jié)果。然后，將它們分組：0 和 999，999， 999； 1 和 999， 999， 99

5、8；2 和 999，999， 997； 3 和 999， 999， 996；4 和 999，999， 995； 5 和 999， 999， 994 ； 依次類推， 可知除最后一個數(shù)， 1，000，000，000 以外，其他的自然數(shù)與添上的0共10億個數(shù)，共可以分為 5 億組，各組數(shù)字之和都是81，如0+9+9+9+9 9 9 9 9 9=811+9+9 99 9+9+9+9 8=81最后的一個數(shù)1， 000， 000，000 不成對，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計算結(jié)果是（ 81× 500， 000， 000） 1 =40， 500，000， 000 1 =40， 500，000，

6、 001【由小推大】“由小推大 ” 是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多， 關(guān)系復(fù)雜時，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個 “ 100× 100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察 “ 5× 5” 的方陣，如下圖（圖4.1 ）所示。22歡迎下載精品文檔容易看到，對角線上五個“ 5”之和為 25。這時，如果將對角線下面的部分（右下部分）用剪刀剪開，如圖4.2那樣拼接，那么將會發(fā)現(xiàn)，這五個斜行，每行數(shù)之和都是25。所以， “ 5&

7、#215; 5”方陣的所有數(shù)之和為25× 5=125，即 5×3=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣“ 100× 100”的方陣所有數(shù)之和為100×3=1，000， 000。（ 2）把自然數(shù)中的偶數(shù)， 像圖 4.3 那樣排成五列。 最左邊的叫第一列， 按從左到右的順序，其他叫第二、第三 第五列。那么 2002 出現(xiàn)在哪一列：因為從 2 到 2002，共有偶數(shù) 2002÷ 2=1001（個）。從前到后，是每 8 個偶數(shù)為一組，每組都是前四個偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個偶數(shù)分別在第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由1001

8、 ÷8=125 1，可知這1001 個偶數(shù)可以分為125 組，還余 1 個。故 2002 應(yīng)排在第二列。【湊整巧算】用“ 湊整方法 ” 巧算，常常能使計算變得比較簡便、快速。例如（ 1） 99.9+11.1= （ 90 10）+（ 9+1）（ 0.9+0.1 ） =111（ 2） 9 97 998 6=（ 9+1）（ 973）（ 998 2）=10 1001000=1110（ 3） 125125 125 125120 125 125 125 =155 125 125 125（ 120+5） 125 125+125-5 =125× 8-5 =1000-5 =995【恒等變形】

9、恒等變形是一種重要的思想和方法，也是一種重要的解題技巧。它利用我們學(xué)過的知識，去進行有目的的數(shù)學(xué)變形，常常能使題目很快地獲得解答。例如（ 1） 1832 68=（ 1832-32 ）（ 68+32）=1800 100=1900。33歡迎下載精品文檔（ 2） 359.7-9.9= （ 359.7+0.1 ） - （ 9.9+O.1 ）=359.8-10=349.8【拆數(shù)加減】在分數(shù)加減法運算中，把一個分數(shù)拆成兩個分數(shù)相減或相加，使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗化，并抵消其中的一些分數(shù)，往往可大大地簡化運算。（1）拆成兩個分數(shù)相減。例如。44歡迎下載精品文檔又如【同分子分數(shù)加減】同分子分數(shù)的加減法，有以下的計算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個分數(shù)相加（減）時，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母，用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。分子相同， 分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個分數(shù)相加減， 也可按上述規(guī)律計算， 只是最后需要注意把得數(shù)約簡為既約（最簡）分數(shù)。由上面的規(guī)律還可以推出，當分子都是1，分母是連續(xù)的兩個自然數(shù)時，這兩個分數(shù)的差就是這兩個分數(shù)的積，。55歡迎下載精品文檔根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡化運算過程。例如【先借后還】“先借后還 ” 是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解題技巧。例如做這道題， 按先通分后相加的一般辦法， 勢必影響解題速度。 現(xiàn)在從 “ 湊整 ” 著眼，采用 “ 先借后還