數(shù)學(xué)幾何必會(huì)定理

1、1. 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）2. 射影定理（歐幾里得定理）在 Rt ABC 中，ACB=90 °，cd 是斜邊 ab 上的高，則有射影定理如下：CD 2=AD ·DBBC 2 =BD ·BA AC 2=AD ·AB AC ·BC=AB ·CD （等積式，可用面積來證明）3.三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且，各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2： 1 的兩部分4. 四邊形兩邊中心的連線和兩條對(duì)角線中心的連線交于一點(diǎn)5. 間隔的連接六邊形的邊的中心所做出的兩個(gè)三角形的重心是重合的（可忽略）6. 三角形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)另：三角形五心重心定義：三角

2、形的三條 中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2 倍。該點(diǎn)叫做三角形的重心。外心定義：三角形的三邊的垂直平分線 交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的外心。垂心定義：三角形的三條高交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的垂心。內(nèi)心定義：三角形的三內(nèi)角平分線 交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。旁心定義：三角形 一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)。 該點(diǎn)叫做三角形的旁心。三角形有三個(gè)旁心。三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。三角形的重心三角形的三條中線交于一點(diǎn)三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍三角形的內(nèi)心和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的

3、內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形叫做圓的外接三角形三角形的三條內(nèi)角平分線有一個(gè)且只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，就是三角形的內(nèi)心三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓內(nèi)切圓的半徑公式：這個(gè)s 為三角形周長(zhǎng)的一半三角形的外心經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形三角形三邊的垂直平分線有一個(gè)且只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，就是三角形的外心三角形有且只有一個(gè)外接圓設(shè)三角形 ABC 的外心為 O，垂心為 H，從 O 向 BC 邊引垂線， 設(shè)垂足為 L，則 AH=2OL三角形的垂心三角形的三條高線交于一點(diǎn)三角

4、形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心在三角形外三角形的旁心與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)到三角形一邊及其他兩邊延長(zhǎng)線的距離相等，就是三角形的旁心三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心7. （九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上8. 歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上9. 庫(kù)立奇大上定

5、理： （圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓） 圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上， 我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。10. 中線定理：（巴布斯定理）設(shè)三角形ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)為 P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)11. 斯圖爾特定理： P 將三角形 ABC 的邊 BC 分成 m 和 n 兩段，則有 n×AB2+m ×AC2=BC×（AP2+mn ）12. 波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD 的對(duì)角線互相垂直時(shí)，連接AB 中點(diǎn) M 和對(duì)角線交點(diǎn)E 的直線垂直于CD13. 阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、

6、 B 的距離之比為定比m:n （值不為 1 ）的點(diǎn) P，位于將線段 AB 分成 m:n 的內(nèi)分點(diǎn) C 和外分點(diǎn) D 為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上14. 托勒密定理：設(shè)四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓，則有 AB ×CD+AD ×BC=AC ×BD15. 以任意三角形ABC 的邊 BC 、CA 、 AB 為底邊，分別向外作底角都是30 度的等腰BDC 、CEA 、AFB ，則DEF 是正三角形16. 愛爾可斯定理定理 1：若ABC 和DEF 都是正三角形，則由線段AD 、BE 、CF 的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形定理 2：若ABC 、DEF 、GHI 都是正三角形，則由三角形

7、ADG 、BEH 、CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形17. 梅涅勞斯定理設(shè)ABC 的三邊 BC 、CA 、 AB 或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為 P、Q、 R 則有 BP/PC ×CQ/QA ×AR/RB=1逆定理：（略）應(yīng)用定理 1：設(shè)ABC 的A 的外角平分線交邊CA 于 Q、C 的平分線交邊AB 于 R，、B 的平分線交邊CA 于 Q，則 P、Q、R 三點(diǎn)共線應(yīng)用定理 2：過任意ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、 C 作它的外接圓的切線，分別和BC 、CA、AB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則 P、Q、 R 三點(diǎn)共線18. 塞瓦定理設(shè)ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A

8、、B、 C 的不在三角形的邊或它們的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)S 連接面成的三條直線，分別與邊 BC 、CA 、AB 或它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則 BP/PC ×CQ/QA×AR/RB=1逆定理 ：（略）應(yīng)用定理 1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)應(yīng)用定理 2：設(shè)ABC 的內(nèi)切圓和邊BC 、 CA 、AB 分別相切于點(diǎn)R、 S、T，則 AR 、BS 、 CT 交于一點(diǎn)19. 西摩松定理從ABC 的外接圓上任意一點(diǎn)P 向三邊 BC 、 CA 、AB 或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是 D、E、 R，則 D、E、 R 共線（這條直線叫西摩松線）逆定理：（略）20. 史坦納定理設(shè)ABC 的垂心

9、為 H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于ABC 的點(diǎn) P 的西摩松線通過線段 PH 的中心應(yīng)用定理： ABC 的外接圓上的一點(diǎn)P 的關(guān)于邊 BC 、 CA 、 AB 的對(duì)稱點(diǎn)和 ABC 的垂心 H 同在一條（與西摩松線平行的）直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P 關(guān)于ABC 的鏡象線21. 波朗杰、騰下定理設(shè)ABC 的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則 P、 Q、R 關(guān)于ABC 交于一點(diǎn)的充要條件是：弧 AP+ 弧 BQ+ 弧 CR=360 °的倍數(shù)推論 1：設(shè) P、Q、 R 為ABC 的外接圓上的三點(diǎn)，若P、 Q、 R 關(guān)于ABC 的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、 B、C 三點(diǎn)關(guān)于 PQR 的的西摩松線交

10、于與前相同的一點(diǎn)推論 2：在推論 1 中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、 B、C、 P、Q、 R 六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)推論 3：考查ABC 的外接圓上的一點(diǎn)P 的關(guān)于ABC 的西摩松線，如設(shè)QR 為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、 Q、 R 的關(guān)于ABC 的西摩松線交于一點(diǎn)推論 4：從ABC 的頂點(diǎn)向邊BC、 CA 、 AB 引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、 F，且設(shè)邊 BC、CA、AB 的中點(diǎn)分別是 L 、M、N，則 D、E、F、L、M、N 六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí) L、M 、 N 點(diǎn)關(guān)于關(guān)于 ABC 的西摩松線交于一點(diǎn)關(guān)于西摩松線的定理

11、 1：ABC 的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn) P、 Q 關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上關(guān)于西摩松線的定理 2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有 4 點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)22. 卡諾定理通過ABC 的外接圓的一點(diǎn)P，引與ABC 的三邊 BC 、 CA 、AB 分別成同向的等角的直線 PD 、PE、 PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、 F，則 D、E、F 三點(diǎn)共線23. 奧倍爾定理通過ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC 的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M 、 N，在ABC 的外接圓取一點(diǎn)P，則 PL 、PM 、PN 與ABC

12、 的三邊 BC 、 CA 、AB 或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、 E、F，則 D、 E、F 三點(diǎn)共線24. 清宮定理：設(shè) P、Q 為ABC 的外接圓的異于 A、B、C 的兩點(diǎn)， P 點(diǎn)的關(guān)于三邊 BC 、CA、AB 的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)， QU、QV、QW 和邊 BC、CA 、AB 或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則 D、E、F 三點(diǎn)共線25. 他拿定理：設(shè)P、Q 為關(guān)于ABC 的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P 的關(guān)于三邊BC 、CA 、AB 的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、 W，這時(shí)，如果QU、QV 、QW 與邊 BC 、CA 、AB 或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為ED 、E、F，則 D、E、 F 三點(diǎn)共線。

13、（反點(diǎn)：P、Q 分別為圓 O 的半徑 OC 和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC 2 =OQ ×OP 則稱 P、 Q 兩點(diǎn)關(guān)于圓O 互為反點(diǎn)）26. 朗古來定理：在同一圓同上有 A1B1C1D14 點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn) P，作 P 點(diǎn)的關(guān)于這4 個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜 向這 4 條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上27. 從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心28. 一個(gè)圓周上有 n 個(gè)點(diǎn)，從其中任意 n-1 個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)29. 康托爾定理定理 1：一個(gè)圓周上有n

14、 個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2 個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)定理 2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D 四點(diǎn)及 M、 N 兩點(diǎn)，則 M 和 N 點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形BCD 、CDA 、DAB 、ABC 中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做 M 、 N 兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD 的康托爾線定理 3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D 四點(diǎn)及 M、 N、L 三點(diǎn)，則 M、N 兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線、 L、N 兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD 的康托爾線、 M、 L 兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形 ABCD 的康托爾線交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M 、N、L 三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD 的康托爾點(diǎn)定理 4：一個(gè)圓

15、周上有A、B、C、D、E 五點(diǎn)及 M、N、L 三點(diǎn)，則 M、N、L 三點(diǎn)關(guān)于四邊形 BCDE 、CDEA 、 DEAB 、 EABC 中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做 M、N、L 三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E 的康托爾線30. 費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切31. 莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形32. 牛頓定理定理 1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線定理 2：圓外切四邊形的兩條對(duì)

16、角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線33. 笛沙格定理定理 1：平面上有兩個(gè)三角形 ABC 、DEF ，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線定理 2：相異平面上有兩個(gè)三角形ABC 、DEF ，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A 和 D、B 和E、C 和 F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線34. 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF 相對(duì)的頂點(diǎn) A 和 D、B 和 E、C 和F，則這三線共點(diǎn)35. 巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形 ABCDEF 相對(duì)的邊 AB 和 DE 、BC 和 EF、CD 和

17、FA 的（或延長(zhǎng)線的）交點(diǎn)共線36. 蝴蝶定理： P 是圓 O 的弦 AB 的中點(diǎn)，過 P 點(diǎn)引圓 O 的兩弦 CD 、 EF ，連結(jié) DE 交AB于 M，連結(jié)CF交AB于 N，則有MP=NP37. 帕普斯定理： 設(shè)六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)交替分布在兩條直線a 和b 上，那么它的三雙對(duì)邊所在直線的交點(diǎn)X、Y、 Z在一直線上38. 高斯線定理： 四邊形 ABCD 中，直線 AB 與直線 CD 交于 E，直線 BC 與直線 AD 交于 F，M、N、Q 分別為 AC 、BD 、EF 的中點(diǎn)，則有 M、N、 O 共線39. 莫勒定理三角形三個(gè)角的三等分線共有6 條，每相鄰的（不在同一個(gè)角的） 兩條三等分線的交點(diǎn)，是一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)逆定理：在三角形ABC 三邊所在直線BC 、CA 、 AB 上各取一點(diǎn) D、 E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，則 AD 、BE 、 CE 平行或共點(diǎn)40. 斯特瓦爾特定理： 在三角形 ABC 中，若 D 是 BC 上一點(diǎn)，且 BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，則 AD2=(b*b*p+c*c*q)/(p+q)-pq41. 泰博定理：取平行四邊形的邊為正方形的邊，作四個(gè)正方形（同時(shí)在平行四邊形內(nèi)或外皆可）。正方形的中心點(diǎn)所組成的四邊形為正方形；取正