放回取樣與不放回取樣

1、例談放回取樣與不放回取樣江蘇省吳江市南麻中學(xué)姜明在裝有若干個(gè)小球的袋中，第一次取一個(gè)球，然后放回袋中，第二次再取一個(gè)球，然 后再放回袋中，以此循環(huán)下去，這種情況叫放回取樣；若第一次取一個(gè)球，不放回袋中， 第二次再取一個(gè)球，不放回袋中，以此循環(huán)下去，這種情況叫不放回取樣。許多探求事件 發(fā)生機(jī)會(huì)大小的問(wèn)題?？梢赞D(zhuǎn)化為放回取樣問(wèn)題和不放回取樣問(wèn)題。例1、 一個(gè)不透明的袋中有 3個(gè)白球，2個(gè)黑球，試解答下列問(wèn)題：（1 ）若每次從袋中取一個(gè)球，然后放回，則連續(xù)兩次都取到白球的機(jī)會(huì)為多少？（2 ）若每次從袋中取一個(gè)球，然后放回，則連續(xù)兩次取到球的顏色不同的機(jī)會(huì)為多 少？（3 ）若每次從袋中取兩個(gè)球，則正好

2、取到兩個(gè)黑球的機(jī)會(huì)為多少？（4 ）若每次從袋中取兩個(gè)球，則取到兩個(gè)不同的顏色的球機(jī)會(huì)為多少？分析：（1 ）、（ 2）可看作是放回取樣問(wèn)題，（3）、（ 4）可轉(zhuǎn)化為不放回取樣問(wèn)題，即可看作取兩次球，每次取一個(gè)。解：（1 ）每次取的球?yàn)榘浊虻臋C(jī)會(huì)都是3 3丄； ；55 2533，所以連續(xù)兩次都取到白球的機(jī)會(huì)為5-，所以先取到黑球后取到白球的機(jī)5-3=仝，則連續(xù)兩次取到球55 253（2）取到白球的機(jī)會(huì)為 -，取到黑球的機(jī)會(huì)為5會(huì)為2 2 3 3 + =。 4 5 4 5例2、初二（3）班有60名同學(xué)，問(wèn)至少有兩名同學(xué)生日相同（出生年份可以不同）2 =2，所以先取到白球后取到黑球的機(jī)會(huì)為5525的顏

3、色不同的機(jī)會(huì)為：+ = ；252525（3）取兩個(gè)球相當(dāng)于取兩次球，從而看成是不放回取樣問(wèn)題。第一次取到黑球的機(jī)2會(huì)為第一次取球后，球的總數(shù)降為 4個(gè)，黑球的個(gè)數(shù)降為 1個(gè)，所以第二次取到黑球51 2 1 1的機(jī)會(huì)為-，從而取到兩個(gè)黑球的機(jī)會(huì)為 -=；4 54 10（4）取兩個(gè)球相當(dāng)于取兩次球，從而看成是不放回取樣問(wèn)題。若先取得白球后取得32黑球的話，先取的白球的機(jī)會(huì)為 3，后取得黑球的機(jī)會(huì)為 2 ;若先取得黑球后取得白球的5 42 3話，先取得黑球的機(jī)會(huì)為 2，后取的白球的機(jī)會(huì)為 3，故取到兩個(gè)球的顏色不同的機(jī)會(huì)為54的機(jī)會(huì)有多大？“沒(méi)分析：直接求解很困難，不如從反面考慮，“至少有兩名同學(xué)生日相同” 的反面即 有同學(xué)生日相同”，而這可看作是一個(gè)不放回取樣問(wèn)題。解：對(duì)于任意兩名同學(xué)，他們生日不同的機(jī)會(huì)為:365364學(xué)他們生日不同的機(jī)會(huì)為365 364 365365而60名同學(xué)中至少有兩名同學(xué)生日相同的機(jī)會(huì)為 會(huì)是很大的。365364，同理，對(duì)于60365365365 364306365365601 - 0.006 = 0.994 = 99.4%名同3060.006，從。可見(jiàn)，機(jī)練習(xí)：1、小梅家的防盜門需要用兩把鑰匙才能打開(kāi)，若小梅有四把外形一樣的鑰匙, 問(wèn)小梅一